Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Del rapporto anarmonico

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Introduzione Projettività delle punteggiate e delle stelle
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Sezione I.

PRINCIPII FONDAMENTALI



Art. I.

Del rapporto anarmonico.

1. In una retta siano dati quattro punti ; i punti determinano col punto due segmenti, il cui rapporto è , e col punto due altri segmenti, il rapporto de’ quali è . Il quoziente dei due rapporti,


dicesi rapporto anarmonico1 de’ quattro punti e si indica col simbolo 2. Mutando l’ordine, nel quale i punti dati sono presi in considerazione, si hanno ventiquattro rapporti anarmonici, quante sono le permutazioni di quattro cose. Ma siccome:

.


ossia :

,


così que’ ventiquattro rapporti anarmonici sono a quattro a quattro eguali fra loro. [p. 320 modifica]Ossia, fra essi, sei soli sono essenzialmente diversi tali sono i seguenti:


1)
,

.


Si ha poi:

,


ossia:

,


ed analogamente:

,


ossia i sei rapporti anarmonici 1) sono a due a due reciproci. Chiamati fondamentali i tre rapporti

,


gli altri tre sono i valori reciproci de’ precedenti.

Fra quattro punti in linea retta ha luogo, com’è noto, la relazione:

,


dalla quale si ricava:


ossia:

,


e così pure:

,

,


cioè i sei rapporti anarmonici 1), presi a due a due, danno una somma eguale all'unità (rapporti anarmonici complementari).

Dalle precedenti relazioni segue che dat uno de’ sei rapporti anarmonici (1), gli altri cinque sono determinati. Infatti, posto , il rapporto reciproco è . I rapporti complementari di questi due sono , . Ed i rapporti reciproci degli ultimi due sono , . [p. 321 modifica]2. Congiungansi i dati punti ad un arbitrario punto situato fuori della retta (fig. l.a), cioè formisi un fascio di quattro rette che passino rispettivamente per e tutte concorrano nel centro . I triangoli danno:

.


Fig. 1.

Similmente dai triangoli si ricava:

,


epperò:

;


ovvero, indicando con le quattro direzioni e con gli angoli da esse compresi:

,


eguaglianza che scriveremo simbolicamente così:

.


All'espressione del secondo membro di quest'equazione si dà il nome di rapporto anarmonico delle quattro rette . Dunque: il rapporto anarmonico di quattro rette concorrenti in un centro è eguale al rapporto anarmonico del quattro punti in cui esse sono incontrate da una trasversale. Per conseguenza, se le quattro rette sono segate da un'altra trasversale in il rapporto anarmonico di questi nuovi punti sarà eguale a quello de' primi . E così pure se i punti vengono uniti ad un altro centro mediante quattro rette , il rapporto anarmonico di queste sarà eguale a quello delle quattro .

3. Dati quattro punti in linea retta e tre altri punti in un'altra [p. 322 modifica]retta, esiste in questa un solo e determinato punto , tale che sia:

.


Ciò riesce evidente, osservando che il segmento dev'esser diviso dal punto in modo che si abbia:

.


Donde segue che, se i punti coincidono (fig. 2.a), le rette concorreranno in uno stesso punto .

Fig. 2

Analogamente: dati due fasci di quattro rette , i centri de'quali siano ed i rapporti anarmonici


siano eguali, se i raggi coincidono in una retta unica (passante per e per ), i tre punti , sono in linea retta.

Fig. 3

Dati quattro punti in una retta ed altri quattro punti in una seconda retta (fig. 3.a), se i rapporti anarmonici ( sono eguali, anche i due fasci di quattro rette avranno eguali rapporti anarmonici (§ 2). Ma in questi due fasci i raggi corrispondenti coincidono; dunque i tre punti [p. 323 modifica], , sono in linea retta. Questa proprietà offre una semplice regola per costruire il punto , quando siano dati .

Ed in modo somigliante si risolve l'analogo problema rispetto a due fasci di quattro rette.

4. Quattro punti in linea retta diconsi armonici quando sia:

,


epperò anche:

.


I punti e così pure diconsi coniugati fra loro3.

Se il punto si allontana a distanza infinita, il rapporto ha per limite ; quindi dall'equazione si ha , ossia è il punto di mezzo del segmento .

La relazione armonica , ossia


mostra che uno de' punti , per esempio , è situato fra e , mentre l'altro punto è fuori del segmento finito . Laonde, se coincide con , anche coincide con essi. E dalla stessa relazione segue che, se coincide con , anche coincide con .

La relazione armonica individua uno de' quattro punti, quando sian dati gli altri tre. Ma se questi sono coincidenti, il quarto riesce indeterminato.

Analogamente: quattro rette , concorrenti in un punto, diconsi armoniche quando si abbia:

,


cioè quando esse siano incontrate da una trasversale qualunque in quattro punti armonici.

Fig. 4

5. Sia dato (fig. 4.a) un quadrilatero completo, ossia il sistema di quattro rette segantisi [p. 324 modifica]a due a due in sei punti , . Le tre diagonali formano un triangolo . Sia il punto coniugato armonico di rispetto a e sia il coniugato armonico di rispetto a . La retta coniugata armonica di rispetto alle ed anche la retta coniugata armonica di rispetto alle dovranno passare per e per . Dunque questi punti coincidono insieme con , punto comune alle . Donde segue che ciascuna diagonale è divisa armonicamente dalle altre due.

Di qui una semplice regola per costruire uno de' quattro punti armonici , quando siano dati gli altri tre.

Una somigliante proprietà appartiene al quadrangolo completo (sistema di quattro punti situati a due a due in sei rette) e dà luogo alla costruzione di un fascio armonico di quattro rette.

6. Quattro punti in linea retta, riferiti ad un punto della retta medesima, siano rappresentati dall'equazione di quarto grado:

2)
,


cioè siano le radici dell'equazione medesima.

Se il rapporto anarmonico è eguale a , si avrà:

,


ovvero, sostituendo ai segmenti le differenze ed avendo riguardo alle note relazioni fra i coefficienti e le radici di un'equazione:

.


Analogamente: le equazioni danno:

,

.


Moltiplicando fra loro queste tre equazioni si otterrà la condizione necessaria e sufficiente, affinchè uno de' tre sistemi , , sia armonico. Il risultato è simmetrico rispetto ai segmenti , epperò si potrà esprimere coi soli coefficienti dell'equazione 2). Si ottiene così:


come condizione perchè i punti rappresentati dalla data equazione 2), presi in alcuno degli ordini possibili, formino un sistema armonico4.

Note

  1. Chasles, Aperçu historique sur l’origine et le développement des méthodes en géométrie (présenté à l’Académie de Bruxelles en janvier 1830). Bruxelles 1837, pag. 34.
  2. Moebius, Der barycentrische Calcul, Leipzig 1827, pag. 244 e seg. — Witzschel, Grundlinien der neueren Geometrie, Leipzig 1858, pag. 21 e seg.
  3. Il punto dicesi coniugato armonico di rispetto ai due , ecc.
  4. Salmon, Lessons introductory to the modern higher algebra, Dublin 1859, p. 100.