Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Teoria dell'involuzione

Da Wikisource.
Jump to navigation Jump to search
Art. 4. Teoria dell'involuzione

../Teoria de' centri armonici ../Definizioni relative alle linee piane IncludiIntestazione 30 novembre 2008 75% matematica

Teoria de' centri armonici Definizioni relative alle linee piane

[p. 336 modifica] 21. Data una retta, sia un punto fisso in essa, un punto variabile; inoltre siano quantità costanti ed una quantità variabile. Ora abbiasi un' equazione della forma:

1)

Ogni valore di valori di , cioè dà un gruppo di punti . Invece, se è dato uno di questi punti, sostituendo nella 1) il dato valore di , se ne dedurrà il corrispondente valore di , e quindi, per mezzo dell'equazione medesima, si otterranno gli altri valori di . Dunque, per ogni valore di , l'equazione 1) rappresenta un gruppo di punti così legati fra loro, che uno qualunque di essi determina tutti gli altri. Il sistema degli infiniti gruppi di punti, corrispondenti agli infiniti valori di , dicesi involuzione del grado .1 Una semplice punteggiata può considerarsi come un'involuzione di primo grado (§ 7). Un'involuzione è determinata da due gruppi. Infatti, se le equazioni:


rappresentano i due gruppi dati, ogni altro gruppo dell'involuzione sarà rappresentato dalla :


ove sia una quantità arbitraria.

22. Ogni qualvolta due punti a d'uno stesso gruppo coincidano in un solo, diremo che questo è un punto doppio dell'involuzione. Quanti punti doppi ha l'involuzione rappresentata dall' equazione 1) ? La condizione che quest' equazione abbia due radici eguali si esprime eguagliando a zero il discriminante della medesima. Questo discriminante è una funzione, del grado , de' coefficienti dell'equazione; dunque, egua[p. 337 modifica]gliandolo a zero, si avrà un'equazione del grado in . Ciò significa esservi gruppi, ciascuno de' quali contiene due punti coincidenti, ossia:

Un'involuzione del grado ha punti doppi.2

23. Siano gli punti costituenti un dato gruppo. Il centro armonico , di primo grado, di questi punti, rispetto ad un polo preso ad arbitrio sulla retta data, è determinato dall'equazione:

,


donde, avuto riguardo alla 1), si trae:

Quindi, il segmento compreso fra due punti , centri armonici di due gruppi diversi, si potrà esprimere così:

Siano ora i centri armonici (di primo grado e relativi al polo ) di quattro gruppi, corrispondenti a quattro valori di ; avremo:


questo risultato non si altera, se invece di si assuma un altro punto; cioè il rapporto anarmonico dei quattro centri è indipendente dal polo . Ne segue che la serie de' centri armonici (di primo grado) di tutt' i gruppi, rispetto ad un polo , e la serie de' centri armonici (dello stesso grado) de' gruppi medesimi, rispetto ad un altro polo , sono due punteggiate projettive.

Per rapporto anarmonico di quattro gruppi di un'involuzione, intenderemo il rapporto anarmonico de' loro centri armonici di primo grado, relativi ad un polo arbitrario. [p. 338 modifica]Sia uno de' centri armonici, di grado (rispetto ad un polo ), di un dato gruppo dell'involuzione 1). L'equazione 6) del § 17, avuto riguardo alla 1) del § 21, ci darà:

2)


dunque: i centri armonici, di grado , de' gruppi dell'involuzione 1) formano una nuova involuzione del grado . Ogni valore di dà un gruppo dell'involuzione 1) ed un gruppo dell'involuzione 2), cioè i gruppi delle due involuzioni si corrispondono tra loro ad uno ad uno. E siccome il rapporto anarmonico di quattro gruppi dipende esclusivamente dai quattro corrispondenti valori di , così il rapporto anarmonico di quattro gruppi dell'involuzione 2) è eguale al rapporto anarmonico de' quattro corrispondenti gruppi dell'involuzione 1). La qual cosa risulta anche da ciò, che due gruppi corrispondenti delle due involuzioni hanno, rispetto al polo , lo stesso centro armonico di primo grado (§ 13).3

24. Due involuzioni date sopra una stessa retta o sopra due rette diverse si diranno projettive, quando i centri armonici, di primo grado, de' gruppi dell'una, rispetto ad un polo qualunque, ed i centri armonici, di primo grado, de' gruppi dell'altra, rispetto ad un altro polo qualunque, formino due punteggiate projettive. Da questa definizione e da quella del rapporto anarmonico di quattro gruppi di un'involuzione si raccoglie che:

Date due involuzioni projettive, il rapporto anarmonico di quattro gruppi dell'una è eguale al rapporto anarmonico de' quattro corrispondenti gruppi dell'altra.

Cioè il teorema enunciato alla fine del § 8 comprende anche le involuzioni, purché queste si risguardino quali forme geometriche, i cui elementi sono gruppi di punti.

(a) Cerchiamo come si esprima la projettività di due involuzioni.

La prima di esse si rappresenti coll'equazione 1) e la seconda con quest'altra:

3)

[p. 339 modifica]ove è un punto qualunque della retta, nella quale è data la seconda involuzione; è l'origine de' segmenti in questa retta; sono coefficienti costanti.

Supponiamo, com'è evidentemente lecito, che ai gruppi della prima involuzione corrispondano nella seconda i gruppi . Allora, affinchè le equazioni 1) e 3) rappresentino due gruppi corrispondenti, è necessario e sufficiente che il rapporto anarmonico dei quattro gruppi della prima involuzione sia eguale a quello de' gruppi della seconda, cioè dev'essere . Dunque la seconda involuzione, a cagione della sua projettività colla prima, si potò rappresentare così:

4)


Le equazioni 1) e 4), per uno stesso valore di , danno due gruppi corrispondenti delle due involuzioni projettive. Ed eliminando fra le equazioni medesime si avrà la relazione che esprime il legame o la corrispondenza dei punti .

(b) Se le due involuzioni sono in una stessa retta, i punti si possono riferire ad una sola e medesima origine: cioè al punto può sostituirsi . In questo caso, si può anche domandare quante volte il punto coincida con uno de' corrispondenti punti . Eliminato dalle 1), 4) e posto in luogo di , si ha la:

5)

,


equazione del grado rispetto ad . Dunque:

In una retta, nella quale sian date due involuzioni projettive, l'una di grado , l'altra di grado , esistono generalmente punti, ciascun de' quali considerato come appartenente alla prima involuzione, coincide con uno de' punti corrispondenti nella seconda.

Questi si chiameranno i punti comuni alle due involuzioni.

(c) Se l'equazione 1) contenesse nel suo primo membro il fattore , essa rappresenterebbe un'involuzione del grado , i cui gruppi avrebbero punti comuni, tutti riuniti in ; ossia rappresenterebbe sostanzialmente un'involuzione del grado , a ciascun gruppo della quale è aggiunto volte il punto . In tal caso è manifesto che anche il primo membro dell'equazione 5) sarà divisibile per ; cioè gli punti comuni alle due involuzioni proposte saranno costituiti dal punto preso volte e dagli punti comuni alla seconda involuzione (di grado ) ed a quella di grado , alla quale si riduce la prima, spogliandone i gruppi del punto . [p. 340 modifica]Se inoltre i gruppi della seconda involuzione contenessero volte il punto , questo figurerebbe volte fra i punti comuni alle due involuzioni.

(d) Se un gruppo della prima involuzione (per es. quello che si ha ponendo ) contiene volte uno stesso punto , e se il corrispondente gruppo della seconda involuzione contiene volte lo stesso punto , ove sia , è evidente che l'equazione 5) conterrà nel primo membro il fattore , cioè il punto terrà il posto di punti comuni alle due involuzioni.

25. Merita speciale studio l'involuzione di secondo grado o quadratica, per la quale, fatto nella 1), si ha un'equazione della forma:

6)


Qui ciascun gruppo è composto di due soli punti, i quali diconsi coniugati; e chiamasi punto centrale quello, il cui coniugato è a distanza infinita4. Posta l'origine de' segmenti nel punto centrale ed inoltre assunto il gruppo, al quale esso appartiene, come corrispondente ad , dovrà essere . Pertanto, se sono due punti coniugati qualunque, l'equazione 6) dà:

cost.


Confrontando questa equazione con quella che esprime la projettività di due punteggiate (§ 9):

cost.


si vede che l'involuzione quadratica nasce da due punteggiate projettive, le quali vengano sovrapposte in modo da far coincidere i punti corrispondenti ai punti all'infinito. Altrimenti possiam dire che due punteggiate projettive sovrapposte formano un' involuzione (quadratica), quando un punto , considerato come appartenente all'una o all'altra punteggiata, ha per corrispondente un solo e medesimo punto .

Da tale proprietà si conclude che nell'involuzione quadratica, il rapporto anarmonico di quattro punti è eguale a quello de' loro coniugati.

(a) Siano i due punti doppi (§ 22) dell'involuzione, determinati dall'eguaglianza

[p. 341 modifica] cost.; avremo:


cioè il rapporto anarmonico è eguale al suo reciproco, epperò è , non potendo mai il rapporto anarmonico di quattro punti distinti essere eguale all'unità positiva. Dunque: nell'involuzione quadratica, i due punti doppi e due punti coniugati qualunque formano un sistema armonico.

Ne segue che un'involuzione di secondo grado si può considerare come la serie delle infinite coppie di punti che dividono armonicamente un dato segmento .

(b) Due involuzioni quadratiche situate in una stessa retta hanno un gruppo comune, cioè vi sono due punti tali, che il segmento è diviso armonicamente sì dai punti doppi della prima, che dai punti doppi della seconda involuzione. Infatti: sia preso un punto qualunque nella retta data; siano ed , i coniugati di nelle due involuzioni. Variando , i punti , generano due punteggiate projettive, i punti comuni delle quali costituiscono evidentemente il gruppo comune alle due involuzioni proposte.

È pure evidente che due involuzioni di grado eguale, ma superiore al secondo, situate in una stessa retta, non avranno in generale alcun gruppo comune.

26. La teoria dell'involuzione quadratica ci servirà nel risolvere il problema che segue.

Se sono quattro punti in linea retta, abbiamo denominati fondamentali1) i tre rapporti anarmonici:


Se i primi due rapporti sono eguali fra loro, vale a dire, se:

7)
ossia


si ha anche:


cioè tutti e tre i rapporti anarmonici fondamentali sono eguali fra loro.

Dati i punti in una retta, cerchiamo di determinare in questa un punto , tale che sodisfaccia all'eguaglianza:


ossia:

[p. 342 modifica]Assunto ad arbitrio nella retta data un punto , si determini un punto per modo che sia


Variando simultaneamente generano due punteggiate proiettive, nelle quali ai punti corrispondono ordinatamente . Se chiamansi i punti comuni di queste punteggiate, si avrà:


cioè il proposto problema è risoluto da ciascuno de' punti .

Ora siano i tre punti della retta data, che rendono armonici i tre sistemi , , ; i due sistemi , saranno projettivi, e siccome al punto , considerato come appartenente all' uno o all'altro sistema, corrisponde sempre , così le tre coppie sono in involuzione, cioè è un punto doppio dell'involuzione quadratica determinata dalle coppie . L'altro punto doppio della stessa involuzione è , poiché il segmento è diviso armonicamente dai punti . Dunque dividono armonicamente non solo , ma anche . Si ha perciò:


ossia i sistemi , sono projettivi: la qual cosa torna a dire che le coppie sono in involuzione.5 [45]

Da un punto preso ad arbitrio fuori della retta data imagininsi condotti i raggi e , i quali tutti si seghino con una trasversale parallela ad nei punti . Avremo:


onde la 7) diverrà:

8)


Essendo , si ha , cioè è il punto medio del segmento . Quindi, per le identità: , , la 8) diviene:

9)

[p. 343 modifica]donde si ricava che è il punto medio del segmento , cioè si ha , epperò . Similmente si dimostra essere , ; vale a dire sono i punti doppi dell'involuzione .6

Il rapporto anarmonico è dato dall' equazione 7), ossia è una radice cubica imaginaria di . Per conseguenza, i quattro punti od non possono essere tutti reali. L'equazione 9) ha il secondo membro negativo o positivo, secondo che siano punti reali o imaginari coniugati. Dunque, se i tre punti dati sono tutti reali, i punti sono imaginari coniugati; ma se due de' tre punti dati sono imaginari coniugati, i punti sono reali.

L'equazione 8) poi mostra che, se , anche ; cioè, se due de' punti dati coincidono in un solo, in questo cadono riuniti anche i punti .

27. Chiameremo equianarmonico un sistema di quattro punti, i cui rapporti anarmonici fondamentali siano eguali, ossia un sistema di quattro punti aventi per rapporti anarmonici le radici cubiche imaginarie di .

Quattro punti in linea retta siano rappresentati (§ 6) dall'equazione:

10)


Se il sistema di questi quattro punti è equianarmonico, si avrà:


ovvero, sostituendo ai segmenti le differenze :



Sviluppando le operazioni indicate, quest' equazione si manifesta simmetrica rispetto ai quattro segmenti , onde si potrà esprimerla per mezzo dei soli coefficienti della 10). Ed invero, coll' aiuto delle note relazioni fra i coefficienti e le radici di un'equazione, si trova senza difficoltà:


come condizione necessaria e sufficiente affinchè i quattro punti rappresentati dalla 10) formino un sistema equianarmonico.7

Note

  1. Jonquières, Généralisation de la théorie de l'involution (Annali di Matematica, tomo 2.°, Roma 1859, pag. 86).
  2. [Altra dimostrazione, ricorrendo ai § 23, 24] < I centri armonici di grado dei gruppi dell'involuzione, rispetto a due poli formano due nuove involuzioni di grado , projettive alla data, epperò projettive fra loro. Queste due nuove involuzioni hanno punti comuni, che sono i punti doppi della data >.
  3. < I centri armonici di grado di un dato gruppo di punti in linea retta, rispetto ai vari punti di questa retta presi successivamente come poli, costituiscono gruppi in involuzione. (Per esempio, se i punti dati sono , i centri armonici di 2° grado, rispetto ai poli , sono , ove siano i coniugati armonici di rispetto alle coppie . Dunque le coppie sono in involuzione). In generale i punti doppi di quella involuzione costituiscono l'Hessiano del sistema dato.>
  4. |L'involuzione ha i punti doppi reali o no, secondo che il rapporto anarmonico è positivo o negativo.|
  5. Staudt, Geometrie der Lage, Nuernberg 1847, p. 121.
  6. Staudt, Beiträge zur Geometrie der Lage, Nürnberg 1856-57-60, p. 178.
  7. Painvin, Équation des rapports anharmoniques etc. (Nouvelles Annales de Mathématiques, t. 19. Paris 1860, p. 412).