La fisica dei corpuscoli/Capitolo 3/13

by Giuseppe Gianfranceschi

Capitolo 3 - Determinazione del cammino libero medio

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Giuseppe Gianfranceschi - La Fisica dei Corpuscoli (1920)

Capitolo 3 - Determinazione del cammino libero medio

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13. — Determinazione del cammino libero medio. — L’ultima formola ci permette di determinare la lunghezza del cammino libero medio. Seguendo sempre la dimostrazione del Clausius supponiamo che un gran numero di molecole N si muovano tutte nella direzione di $x$. Dividiamo il cammino progressivo in strati elementari di ampiezza $dx$ e il numero totale N delle molecole in classi $n_{1}$, $n_{2}$, $n_{3}$, ... $n_{r}$... delle quali $n_{1}$ sono quelle che attraversano un solo strato elementare, $n_{2}$ ne attraversano due, $n_{3}$ tre ecc. Le $n$ soddisfano all’equazione

$n_{1}\,+\,n_{2}\,+\,n_{3}\,+\,\dots \,+\,n_{r}\,+\,\dots \,=\,{\text{N}}$

La media dei cammini percorsi sarà evidentemente data dall’espressione

44)	$\lambda \,=\,{\frac {n_{1}\,dx\,+\,2\,n_{2}\,dx\,+\,3\,n_{3}\,dx\,+\,\dots \,+\,r\,n_{r}\,dx\,+\,\dots }{\text{N}}}$

Ma poichè resta più facile determinare questo valore con processo integrale vediamo come l’ultima formola viene espressa.

Delle N molecole il numero di quelle che giungono ad una distanza $x$ è dato dalla formola,

${\text{N}}\,e^{-{\frac {\pi \,\varrho ^{2}}{l^{3}}}\,x}$ .

Di queste alcune si fermeranno nello strato $dx$ altre proseguiranno e quelle che giungeranno ad una distanza $x\,+\,dx$ saranno evidentemente

${\text{N}}\,e^{-{\frac {\pi \,\varrho ^{2}}{l^{3}}}\,(x\,+\,dx)}\,=\,{\text{N}}\,e^{-{\frac {\pi \,\varrho ^{2}}{l^{3}}}\,x}\,\left(1\,-\,{\frac {\pi \,\varrho ^{2}}{l^{3}}}\,dx\,\right)$ .

La differenza tra queste due espressioni ci darà il numero delle molecole che percorreranno una distanza $x$ e non più di questa perchè si arrestano nello strato $dx$. Questo numero sarà

45)	${\text{N}}\,e^{-{\frac {\pi \,\varrho ^{2}}{l^{3}}}\,x}\,{\frac {\pi \,\varrho ^{2}}{l^{3}}}\,dx$,

ed è uno dei numeri della classe $n_{r}$ che abbiamo definito; il termine corrispondente nella sommatoria 44) si otterrà moltiplicando questo numero per $x$ ossia sarà

${\text{N}}\,e^{{\frac {\pi \,\varrho ^{2}}{l^{3}}}\,x}\,{\frac {\pi \,\varrho ^{2}}{l^{3}}}\,x\,dx$ .

E allora la sommatoria si ridurrà all’integrale di questa espressione preso rispetto ad $x$ per tutti i valori possibili di $x$ compresi tra $0$ ed $\infty$. Avremo

$\int _{0}^{\infty }\,{\text{N}}\,e^{-{\frac {\pi \,\varrho ^{2}}{l^{3}}}\,x}\,{\frac {\pi \,\varrho ^{2}}{l^{3}}}\,x\,dx\,={\text{N}}\,{\frac {\pi \,\varrho ^{2}}{l^{3}}}\,\int _{0}^{\infty }\,e^{-{\frac {\pi \,\varrho ^{2}}{l^{3}}}\,x}\,x\,dx$,

e poiché in generale

$\int _{0}^{\infty }\,e^{-\alpha \,x}\,x^{n}\,dx\,=\,{\frac {n!}{\alpha ^{n\,+\,1}}}$

nel caso presente sarà

$\int _{0}^{\infty }\,e^{-{\frac {\pi \,\varrho ^{2}}{l^{3}}}\,x}\,x\,dx\,=\,\left({\frac {l^{3}}{\pi \,\varrho ^{2}}}\right)^{2}$

e quindi l’ultima espressione si ridurrà ad

46)	${\text{N}}\,{\frac {l^{3}}{\pi \,\varrho ^{2}}}$

e questa espressione è il valore della sommatoria che costituisce il numeratore della 44). Se dividiamo dunque per N la 46) otterremo il valore cercato per il cammino libero medio delle molecole ossia

47)	$\lambda \,=\,{\frac {l^{3}}{\pi \,\varrho ^{2}}}$

che potrà anche scriversi

48)	$\lambda \,=\,{\frac {1}{\pi \,n\,\varrho ^{2}}}$

Ricordiamo che questo valore corrisponde all’ipotesi fatta che tutte le molecole del gas siano ferme e una sola si muova fra di esse. Se si vuole il valore di $\lambda$ corrispondente al caso vero il valore dato dalla 48) sarà evidentemente troppo grande e si dovrà ridurre secondo un fattore $k$ che si potrà determinare in vari modi.

Scriviamo in generale che il cammino libero medio sarà

49)	$\lambda \,=\,{\frac {k}{\pi \,n\,\varrho ^{2}}}$

in cui $k<1$.

Il Clausius trova per $k$ il valore 3/4. La dimostrazione che egli ne da si basa su questo ragionamento. La probabilità che una molecola in un tempuscolo $dt$ ne incontri un’altra è certo proporzionale alla velocità con cui la molecola si muove. Se tutte le molecole sono ferme e una sola si sposta con la velocità $c$ la probabilità detta sarà proporzionale a $c$, ma se anche le altre molecole si muovessero quella probabilità sarebbe proporzionale alla velocità relativa della molecole rispetto alla velocità delle altre.

Ebbene se tutte le molecole si muovono in tutte le direzioni ma con la velocità comune $c$ il valore che prende la velocità relativa è precisamente $4c/3$. Ciò significa che la probabilità di incontrare una molecola nel tempuscolo $dt$ è cresciuta dal fattore 4/3, e quindi il numero degli urti che darà in un secondo sarà cresciuto nello stesso rapporto. Ma allora la lunghezza dei tratti rettilinei della traiettoria è diminuita e precisamente secondo il fattore 3/4. Così il Clausius giunge al valore

50)	$\lambda \,=\,{\frac {3}{4}}\,{\frac {l^{3}}{\pi \,\varrho ^{2}}}$

Se si confronta questo valore con quello dato nella formola 39) si vede che coincidono. L’intuizione conduceva immediatamente al risultato giusto.

Altri autori con procedimenti diversi giungono a risultati molto vicini. L’espressione di $\lambda$ è sempre la stessa ma varia il valore di $k$. Così il Tait trova $k\,=\,0,677$, il Maxwell $k\,=\,0,707$, mentre quello di Clausius è $k\,=\,0,75$.

Si può giungere al valore di $\lambda$ anche partendo da risultati sperimentali, per es. dalla conoscenza dell’attrito interno.