La fisica dei corpuscoli/Capitolo 3/15

by Giuseppe Gianfranceschi

Capitolo 3 - Il raggio delle molecole

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Giuseppe Gianfranceschi - La Fisica dei Corpuscoli (1920)

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15. — Il raggio delle molecole. — Nella formola di Van der Waals il termine $b$ correttivo per il volume è secondo lo stesso autore 4 volte più grande del volume proprio delle molecole se queste si suppongono sferiche. Se chiamiamo con $r$ il raggio di ciascuna molecola il volume totale di $n$ molecole sarà

$\,{\frac {4}{3}}\,\pi \,n\,r^{3}$,

e quindi secondo van der Waals sarà

52)	$b\,=\,{\frac {16}{3}}\,\pi \,n\,r^{3}$ .

Ora $b$ è una grandezza misurabile sperimentalmente come anche l’altra costante $a$ della stessa formola. Se si prende come unità di pressione quella di un metro di mercurio, e per unità di volume quello che assume un chilogrammo del gas a 0° sotto la pressione di un metro di mercurio, i valori numerici che ha trovato Regnault per $a$ e $b$ sono i seguenti

	a	b
Aria	0.0037	0.0026
CO2	0.0115	0.003
H2	0	0.00069

Altre misure sono state fatte dal Roth e da Guye e Friedrich.

Se dunque conosciamo il numero $n$ delle molecole la formola 52) ci permette di assegnare il valore di $r$.

Se invece si conosce il cammino libero medio delle molecole dato dalla 49), tenendo conto che il $\varrho$ che vi comparisce è nient’altro che il doppio del raggio della molecola, combinando la 49) con la 52) si ricava il valore di $r$ in funzione di $b$ e di $\lambda$. E precisamente dalla 49) si ha

53)	$4\,\pi \,n\,r^{2}\,=\,{\frac {k}{\lambda }}$

e quindi

$b\,=\,{\frac {4}{3}}\,r\,{\frac {k}{\lambda }}$

da cui

54)	$r\,=\,{\frac {3}{4}}\,{\frac {\lambda \,b}{k}}$

Se allora diamo a $k$ il valore di Clausius si ottiene

55)	$r\,=\,\lambda \,b$

Se si prende invece col Maxwell $k\,=\,1/{\sqrt {2}}\,=\,0.707$ si avrà

56)	$r\,=\,{\frac {3\,{\sqrt {2}}}{4}}\,\lambda \,b$

Dalla stessa formola 49) si può giungere in altro modo alla conoscenza di $r$ seguendo una ipotesi dovuta a Loschmidt. Sostituendo a $\varrho$ il suo valore $2\,r$, ricordando che $n\,=\,1/l^{3}$ e moltiplicando numeratore e denominatore per $r/3$ la 49) si può scrivere così

$\lambda ={\frac {k.\,r.\,l^{3}}{3.\,{\frac {4}{3}}\,\pi \,r^{3}}}$

in cui $l^{3}$ è la misura del volume occupato dal gas e ${\frac {4}{3}}\,\pi \,r^{3}$ è il volume di una molecola. Ora l’ipotesi di Loschmidt consiste nel porre il rapporto $l^{3}/{\frac {4}{3}}\,\pi \,r^{3}$ eguale al rapporto del volume del gas a quello del liquido in cui il gas si condensa, supponendo così che il volume della sostanza allo stato liquido sia completamente occupato dalle molecole.

È evidente che si ha così non tanto il vero volume delle molecole quanto un limite massimo di questo. Chiamando allora $v_{g}$ il volume del gas e $v_{l}$ quello del liquido corrispondente l’ultima formola si può scrivere

$\lambda ={\frac {kr}{3}}\,{\frac {v_{g}}{v_{l}}}$

da cui

57)	$r\,=\,{\frac {3\,\lambda }{k}}\,{\frac {v_{t}}{v_{g}}}$

che dà il raggio della molecola in funzione di quantità misurabili.

Il rapporto $v_{l}/v_{g}$, che è anche eguale al rapporto inverso dei pesi specifici, si suol chiamare coefficiente di condensazione.

Il valore di questo coefficiente si può ricavare anche dalla legge Lorenz-Lorentz che dà una relazione tra l’indice di rifrazione di una sostanze e la sua densità:

58)	${\frac {n^{2}\,-\,1}{n^{2}\,+\,2}}\,{\frac {1}{d}}\,=\,$cost .

Scegliendo opportunamente le unità di misura e prendendo la densità non in rapporto all’aria o all’acqua ma in rapporto alla sostanza stessa nel suo stato aeriforme si può scrivere

$d\,=\,{\frac {v_{l}}{v_{g}}}\,=\,{\frac {n^{2}\,-\,1}{n^{2}\,+\,2}}$

E allora introducendo questo valore nella 57) e prendendo per $k$ il valore di Maxwell l’espressione che si ricava per $r$ è la seguente

59)	$r\,=\,3\,{\frac {n^{2}\,-\,1}{n^{2}\,+\,2}}\,\lambda \,{\sqrt {2}}$.

I valori che si ottengono così per $r$ non differiscono molto da quelli che si ricavano dalla 56. Sono sempre dello stesso ordine di grandezza e per alcuni corpi sono molto vicini.

Se si prende invece per il coefficiente di condensazione quello che risulta dai pesi specifici, come ha fatto il Loschmidt, si hanno valori ancora dello stesso ordine di grandezza ma troppo grandi.

Nella seguente tabella sono riportati alcuni valori di $r$ pei vari gas, secondo le due formole 56) e 59).

Raggio delle molecole

	$r={\frac {3}{4}}\,{\sqrt {2}}\,\lambda \,b$	$r=3\,{\sqrt {2}}\,{\frac {n^{2}\,-\,1}{n^{2}\,+\,2}}\,\lambda$
Idrogeno	$15,9\times 10^{-9}$ cm	$6,7\,\times \,10^{-9}$cm.
Ossigeno	15.2          »	7.8          »
Azoto	17.2          »	10.2        »
Cloro	10.5          »	10.0        »
Anidride carb.	12.9         »	8.3          »
Ossido di carb.	17.3          »	9.2          »
Anidride solforosa	12.4          »	9.2          »
Acido solfidrico	12.0          »	11.4        »
Vapor acqueo	9.4            »	4.2          »