Le sfere omocentriche/V. L'ippopeda di Eudosso. Meccanismo delle stazioni e delle retrogradazioni/Proposizione I
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Proposizione I. Problema. — Essendo date le due sfere, in una fase qualunque del loro movimento secondo le ipotesi proannunziate (fig. 2), determinare, sopra di una sfera fissa e concentrica alle due prime, la posizione di quel circolo massimo AOB, sul quale arrivano simultaneamente il polo P della seconda sfera e il pianeta M, che ad essa è attaccato1.
Conducasi pei poli fissi della prima sfera il circolo massimo APB, il quale passi per la posizione, che il polo P occupa nell’istante considerato. E si conduca per A e per B un circolo massimo AOB tale, che l’angolo sferico PAB sia uguale all’angolo sferico MPB. Dico che AOB sarà il circolo massimo dimandato. Infatti, per le supposizioni fondamentali, essendo il moto di M intorno a P uguale e contrario al moto di P intorno ad A, quando l’arco MP avrà girato verso PB in modo da coincidere con PB, l’arco AP si sarà girato di un angolo uguale verso AO, e coinciderà con AO. I due poli ed il pianeta M si troveranno dunque tutti e tre sul circolo massimo AOB, ed M si troverà sul prolungamento dell’arco AP che congiunge i due poli, e giacerà dalla parte di P.
Scolio I. Quando, a partire da AB, il polo P avrà descritto mezza circonferenza del suo parallelo QR, l’angolo MPB sarà pure di mezza circonferenza; quindi anche in quest’altra posizione i tre punti A P M giaceranno sul circolo massimo AOB, ma ordinati fra loro diversamente. Dopo un giro intiero di P intorno ad A e di M intorno a P si ristabilirà completamente la posizione iniziale: onde il moto di M sarà strettamente periodico, e il periodo sarà equivalente alla durata di una rivoluzione delle due sfere.
Scolio II. Se consideriamo dall’altra parte del circolo AOB una posizione P’ del polo mobile simmetrica rispetto a P (cioè prendiamo l’angolo P’AO = PAO), si avrà pure l’angolo M’P’B = MPB; e la posizione del pianeta in M’ sarà simmetrica colla posizione M rispetto al circolo AOB. Di qui si conclude, che la via percorsa dal pianeta M è simmetrica rispetto a questo circolo, il quale perciò chiameremo circolo fondamentale, e il suo piano, piano fondamentale. Per brevità inoltre designeremo il piano CD, perpendicolare all’asse fisso AB della prima sfera, col nome di piano diametrale, e il piano del circolo ACBD, perpendicolare ai due precedenti (del qual circolo O è il polo anteriore), sarà chiamato piano ortogonale. La distanza costante AP dei poli omologhi della sfera fissa e della sfera mobile chiameremo inclinazione. E l’angolo uniformemente variabile OAP = MPB, che determina ad ogni istante la posizione del pianeta, chiameremo l’argomento.
Note
- ↑ Chiamo qui prima e seconda sfera quelle che Eudosso poneva come terza e come quarta. La prima suppongo girevole intorno ai poli AB, la seconda intorno al polo P ed al suo opposto, secondo l’enunciato del problema.