Lezioni di analisi matematica/Capitolo 10/Paragrafo 67

by Guido Fubini

Capitolo 10 - Derivate di una serie di potenze

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 10 - Derivate di una serie di potenze

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§ 67. — Derivate di una serie di potenze.

Consideriamo la serie

(2)     $a_{1}+2a_{2}x+3a_{2}x^{2}+.....+n\,a_{n}x^{n-1}+.....$,

che si deduce derivando (1) termine a termine. Io dico che anche la (2) converge totalmente in ogni regione tutta interna al cerchio di convergenza della (1). Infatti sia $\gamma$ il massimo valore della $|x|$ in tale regione. Sia $\alpha$ un numero per cui $|\alpha |>\gamma$ ed $|\alpha |<R$. La (1) convergerà per $x0a$. Esisterà quindi, come dicemmo, una costante $k$ tale che $k\geq \,|a_{n}\alpha ^{n}|$ per tutti i valori di $n$.

Quindi, quando $x$ si muove in guisa tale che $|x|\leq \,\gamma$:

$|na_{n}x^{n-1}|\leq \,|na_{n}\gamma ^{n-1}|=\left|na_{n}\alpha ^{n}{\frac {1}{\alpha }}\left({\frac {\gamma }{\alpha }}\right)^{n-1}\right|\leq \,\left|{\frac {k}{\alpha }}\right|n\left|{\frac {\gamma }{\alpha }}\right|^{n-1}=$

$=\left|{\frac {k}{\alpha }}\right|nq^{n-1}$, dove è posto $q=\left|{\frac {\gamma }{\alpha }}\right|<1$.

La serie

(3)     $\sum _{n}\left|{\frac {k}{\alpha }}\right|nq^{n-1}=\left|{\frac {k}{\alpha }}\right|+2\left|{\frac {k}{\alpha }}\right|q+3\left|{\frac {k}{\alpha }}\right|q^{2}+4\left|{\frac {k}{\alpha }}\right|q^{3}+.....$

converge, perchè il rapporto

${\frac {nq^{n-1}\left|{\frac {k}{\alpha }}\right|}{(n-1)q^{n-2}\left|{\frac {k}{\alpha }}\right|}}=\left(1+{\frac {1}{n-1}}\right)q$

di un termine al precedente tende per $n=\infty$ a $q<1$. Dunque, poichè, per quanto si è dimostrato, i termini di (2) non superano nelle nostre ipotesi ($|x|\leq \,\gamma$) i corrispondenti di (3), la (2) convergerà totalmente.

In virtù del teorema dato al § 65 di derivazione per serie se ne deduce quindi (almeno se le $a_{i}$ e la $x$ sono reali) che:

La derivata di una serie 1) di potenze nei punti interni al cerchio di convergenza è uguale alla serie ottenuta derivando 81) termine a termine.

E questo teorema vale anche se i coefficienti dela serie sono complessi e se consideriamo valori complessi della x (corrispondenti a punti interni al cerchio di convergenza) (cfr. § 50, β, pag. 168).

Infatti un rapporto incrementale di un termine $a_{n}x^{n}$ della (1) vale, anche se $x$ ed $a_{n}$ sono numeri complessi:

$a_{n}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{(x+h)-x}}=a_{n}{\begin{Bmatrix}(x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}+x+.....(x+h)x^{n-2}+x^{n-1}\end{Bmatrix}}$.

Il suo modulo non supera in nessun caso pertanto $|na_{n}X^{n-1}|$, se $X$ è il maggiore dei due moduli $|x|$ ed $|x+h|$. Poichè, anche per $a_{n}$ ed $x$ complessi, la $na_{n}x^{n-1}$ la derivata $a_{n}x^{n}$(§ 50), si trova che il modulo del rapporto incrementale, anche in questo caso in generale, non può superare il massimo modulo della derivata prima. Possiamo dunque per le nostre serie di potenze ripetere nel caso più generale le considerazioni svolte al § 65 per le funzioni reali di variabile reale.

Applicando il teorema or ora citato alla serie (2), e così continuando, si trova facilmente:

Tutte le derivate della funzione definita in una serie (1) di potenze esistono entro il cerchio di convergenza; e si ottengono semplicemente derivando termine a termine.