Lezioni di analisi matematica/Capitolo 10/Paragrafo 68

by Guido Fubini

Capitolo 10 - Formole di Mac-Laurin e di Taylor

../Paragrafo 67 ../Paragrafo 69 IncludiIntestazione 30 dicembre 2022 75% Da definire

Questo testo è completo.

Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 10 - Formole di Mac-Laurin e di Taylor

◄

Capitolo 10 - Paragrafo 67

Capitolo 10 - Paragrafo 69

►

§ 68. — Formole di Mac-Laurin e di Taylor.

Se dunque poniamo entro il cerchio di convergenza

$f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+.....$

sarà

$f'(x)=a_{1}+2a_{2}x+.....$

$f''(x)=\lfloor {2}a_{2}+3\,.\,2a_{3}x+.....$

$f'''(x)=\lfloor {3}a_{3}+4\,.\,3\,.\,2a_{4}x+.....$

$.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.$

$f^{(n)}(x)=\lfloor {n}a_{n}+(n+1)n(n-1).....3\,.\,2a_{n+1}+.....$

$.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.$ Ponendo $x=0$, ne deduciamo

$f(0)=a_{0}$;   $f'(0)=a_{1}$;   $f''(0)=\lfloor {2}a_{2}$;   $f'''(0)=\lfloor {3}a_{3}$;   .....

.....$f^{(n)}(0)=\lfloor {n}a_{n}$; ecc.

ossia: $a_{0}=f(0)$;   $a_{1}={\frac {f'(0)}{\lfloor {1}}}$;   $a_{2}={\frac {f''(0)}{\lfloor {2}}}$;   .....;   $a_{n}={\frac {f^{(n)}(0)}{\lfloor {n}}}$;   ecc.

Quindi:

(4)     $f(x)=f(0)+{\frac {f'(0)}{1}}x+{\frac {f''(0)}{\lfloor {2}}}x^{2}+{\frac {f'''(0)}{\lfloor {3}}}x^{3}+.....$

$.....+{\frac {f^{(n)}(0)}{\lfloor {n}}}x^{n}+.....$

Cioè:

Se $\mathrm {f(x)}$ è una funzione definita da una serie di potenze della x, tale serie di potenze è la serie (4).

Questo celebre teorema si chiama teorema di Mac-Laurin. Esso costituisce, tra l'altro, il punto di partenza del calcolo infinitesimale per le funzioni di variabile complessa. (Cfr. il teorema citato in nota al § 66, pag. 209.).

Una prima conseguenza molto importante è che, se una funzione $f(x)$ è sviluppabile in serie di potenze, questa serie è certo il secondo membro di (4); cioè due serie differenti di potenze della $x$ non possono avere la stessa somma $f(x)$.

Uno studio affatto analogo si può compiere per le funzioni $f(x)$ definite da una serie di potenze della variabile $x-\alpha$($\alpha ={\text{cost.}}$), cioè da una serie

(5)     $f(x)=a_{0}+a_{1}(x-\alpha )+a_{2}(x-\alpha )^{2}+.....$

Si troverebbe anche qui un cerchio di convergenza, il quale però ha per centro il punto $\mathrm {x=\alpha }$, anzichè il punto $\mathrm {x=0}$. Si troverenne pure che la (5) è derivabile termine a termine, cosicchè la (5) coincide con

(6)     $f(\alpha )+{\frac {f'(\alpha )}{1}}(x-\alpha )+{\frac {f''(\alpha )}{\lfloor {2}}}(x-\alpha )^{2}+...+{\frac {f^{(n)}(\alpha )}{\lfloor {n}}}+...$

La (6) ha il nome di serie di Taylor. Del resto la (6) si deduce dalla (4), ponendo $x-1\alpha$ al posto della z$x$.

Come caso estremamente particolare della serie di potenze noi abbiamo i polinomi $P_{n}(x)$ di grado $n$. Ad essi è dunque applicabile il nostro risultato: essi sono, cioè, sviluppabili in serie (6): anzi in tal serie saranno naturalmente nulli i coefficienti dei termini di grado superiore ad $n$. Ciò che si può verificare, osservando che un polinomio di grado $n$ ha nulle tutte le derivate di ordine superiore ad $n$. per ogni polinomio $P_{n}(x)$ di grado $n$ vale dunque (posto $P=P_{n}$) la:

(7)     $P_{n}(x)=P(\alpha )+{\frac {P'(\alpha )}{1}}(x-\alpha )+{\frac {P''(\alpha )}{\lfloor {2}}}(x-\alpha )^{2}+.....$

$.....+{\frac {P^{(n)}(\alpha )}{\lfloor {n}}}(x-\alpha )^{n}$.

il lettore verifichi direttamente che (7) è un'identità, viluppando i singoli termini del secondo membro con la formola del binomio.