Lezioni di analisi matematica/Capitolo 12/Paragrafo 77

by Guido Fubini

Capitolo 12 - Integrazione di alcune funzioni trascendenti o irrazionali

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 12 - Integrazione di alcune funzioni trascendenti o irrazionali

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§ 77. — Integrazione di alcune funzioni trascendenti o irrazionali.

$\alpha$) Sia $f$ una funzione razionale (quoziente di polinomi) nella variabile $e^{x}$. Si voglia calcolarne l'integrale $\int f(e^{x})dx$. Posto $e^{x}=z$, $zdx=dz$ questo integrale si riduce all'integrale $\int {\frac {f(z)}{z}}dz$ (che noi sappiamo calcolare) della funzione razionale ${\frac {f(z)}{z}}$.

$\beta$) Sia $F$ una funzione razionale delle funzioni goniometriche ${\text{sen}}\,x$, ${\text{cos}}\,x$, ${\text{tg}}\,x$, ${\text{cotg}}\,x$, ecc. della $x$. Le formole ${\text{tg}}\,x={\frac {{\text{sen}}\,x}{{\text{cos}}\,x}}$, ${\text{cotg}}\,x={\frac {{\text{cos}}\,x}{{\text{sen}}\,x}}$, ecc. ci permettiamo di trasformarla in una funzione razionale $f$ delle sole variabili ${\text{sen}}\,x$, ${\text{cos}}\,x$. Per calcolare l'integrale $\int f({\text{sen}}\,x,{\text{cos}}\,x)dx$ di una tale funzione, si ponga $x={\text{tg}}{\frac {x}{2}}$, cosicchè

$dx=2{\frac {dz}{1+z^{2}}}$,

                    ${\text{sen}}\,x={\frac {2z}{1+z^{2}}}$;          ${\text{cos}}\,x={\frac {1-z^{2}}{1+z^{2}}}$.

Il nostro integrale diventerà:

$2\,\int \,f\left({\frac {2z}{1+z^{2}}},{\frac {1-z^{2}}{1+z^{2}}}\right){\frac {dz}{1+z^{2}}}$.

e si ridurrà così all'integrale, che sappiamo eseguire, della funzione razionale

$f\left({\frac {2z}{1+z^{2}}},{\frac {1-z^{2}}{1+z^{2}}}\right){\frac {dz}{1+z^{2}}}$.

Oss. Se la $f$ è una funzione razionale delle sole ${\text{sen}}^{2}\,x{\text{, cos}}^{2}\,x{\text{, tg}}\,x$, il calcolo diventa più rapido ponendo $z={\text{tg}}\,x$, e quindi $dx={\frac {dz}{1+z^{2}}}$, ${\text{sen}}^{2}x={\frac {z^{2}}{1+z^{2}}}$, ${\text{cos}}^{2}x={\frac {1}{1+z^{2}}}$.

$\gamma$) Si voglia calcolare:

(1)          $\int f\left(x{\text{,}}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\right)dx$          ($a$, $b$, $c=$ cost.)

dove $f$ è una funzione razionale di $x$ e ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$, e quindi irrazionale nella $x$. Distingueremo varii casi:

$\gamma ^{1}$) Supposto $a>0$, porremo $a=k^{2}$, $k={\sqrt {a}}$, e

(2)                         ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=k(x+z)$,

dove $z$ è una nuova variabile. Quadrando e risolvendo rispetto alla $x$, si trova:

(3)                         $x={\frac {az^{2}-c}{b-2az}}$;     $(a=k^{2})$

e quindi:

(3)₁                         $dx={\frac {-2a^{2}z^{2}+sabz-2ac}{(b-2az)^{2}}}dz$,

e, per (2):

(3)₂     ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=k(x+z)={\sqrt {a}}{\frac {-az^{2}+bz-c}{b-2az}}$.

In virtù delle (3) e della regola di integrazione per sostituzione, l'integrale (1) diventa

$-2a\int f\left({\frac {az^{2}-c}{b-2az}}{\text{,}}{\sqrt {a}}{\frac {-az^{2}+bz-c}{b-2az}}\right){\frac {(az^{2}-bz+c)}{(b-2az)^{2}}}dz$;

cioè diventa l'integrale di una funzione razionale della $z$, che noi sappiamo calcolare.

$\gamma ^{2}$) Si calcoli ora (1) nell'ipotesi $a<0$, Se $\alpha$, $\beta$ sono le radici di $ax^{2}+bx+c=0$, è (posto $a=-k^{2}$):

$ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )=-k^{2}(x-\alpha )(x-\beta )$.

Questo polinomio dovendo essere positivo, affinchè (1) abbia significato reale, dovrà essere:

(4)                    $(x-\alpha )(x-\beta )<0$,

cosicchè le $\alpha$, $\beta$ non potranno essere complesse coniugate, nè uguali e reali¹. Le $\alpha$ e $\beta$ saranno quindi reali e distinte. Dalla (4) si deduce che $x-\alpha$ e $x-\beta$ sono di segno contrario, e quindi che $x-\alpha$ e $\beta -x$ hanno lo stesso segno, ossia che si può porre

${\frac {x-\alpha }{\beta -x}}=z^{2}$,

dove $z$ è un'altra variabile reale. Risolvendo rispetto ad $x$ si ha:

     $x={\frac {\alpha +\beta z^{2}}{1+z^{2}}}$;          donde:          $dx=2(\beta -\alpha ){\frac {zdz}{(1+z^{2})^{2}}}$,

${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a(x-\alpha )(x-\beta )}}={\sqrt {-a(x-\alpha )(\beta -x)}}=$

${\sqrt {-a{\frac {x-\alpha }{\beta -x}}(\beta -x)^{2}}}=kz(\beta -x)=kz{\frac {\beta -\alpha }{1+z^{2}}}$,

cosicchè l'integrale (1) diventa:

$2(\beta -\alpha )\int f\left({\frac {\alpha +\beta z^{2}}{1+z^{2}}}<text{,}k(\beta -\alpha ){\frac {z}{1+z^{2}}}\right){\frac {zdz}{(1+z^{2})^{2}}}$,

che è un integrale di una funzione razionale delle $z$, e che noi quindi sappiamo calcolare².

$\delta$) Il caso $a=0$ è (per $m=2$) un caso particolare dell'integrale

     $\int f(x{\text{,}}{\sqrt[{m}]{bx+c}})dx${{spazi|10}($m=$ intero positivo); ($b\not =0)$.

Questo integrale, posto ${\sqrt[{m}]{(}}bx+c)=z$, $x={\frac {z^{m}-c}{b}}$, $dx={\frac {m}{b}}z^{m-1}dz$, diventa l'integrale ${\frac {m}{b}}\int f\left({\frac {z^{m}-c}{b}}{\text{,}}z\right)z^{m-1}dz$ di una funzione razionale della $z$: integrale che quindi sappiamo calcolare.

Oss. Il caso di una funzione $f$ razionale nella $x$, ${\sqrt[{p}]{bx+c}}$, ${\sqrt[{q}]{bx+c}}$, $[r]{bx+c}$, .....($p$, $q$, $r$, ..... interi positivi) si riduce subito al precedente, assumendo per $m$ il minimo comune multiplo di $p$, $q$, $r$, .....

$\epsilon$) Calcoliamo l'integrale $\int f(x,{\sqrt {ax+b}},{\sqrt {cx+d}})dx(a,b,c,d={\text{cost.}})\,(a\not =0)$ di una funzione razionale $f$ di $x,{\sqrt {ax+b}},{\sqrt {cx+d}}$. Posto $z={\sqrt {ax+b}}$ e quindi $x={\frac {z^{2}-b}{a}}$, $dx={\frac {2}{a}}zdz$, questo integrale diventa ${\frac {2}{a}}\int \left({\frac {z^{2}-b}{a}},z,{\sqrt {{\frac {c}{a}}z^{2}+{\frac {(da-cb)}{a}}}}\right)zdz$, che è l'integrale di una funzione razionale di $z$ e di ${\sqrt {{\frac {c}{a}}z^{2}+\left(d-{\frac {cb}{a}}\right)}}$, cioè un integrale del tipo che noi abbiamo già imparato a calcolare in $\gamma$).

$\zeta$) Integrali binomii, — Si voglia calcolare l'integrale $\int x^{m}(ax^{n}+b)^{p}dx$ ove $a$, $b$ sono costanti ed $m$, $n$, $p$ numeri razionali.

$A$) Se $p$ è intero, si ponga $x=z^{s}$, indicando con $s$ il minimo comune multiplo dei denominatori di $m$, $n$, che per ipotesi sono numeri tratti (cfr, $\delta$), e ci si riduce al solito caso dell'integrale di una funzione razionale.

{{smaller|$B$) Se $p$ è una funzione ${\frac {r}{s}}$ (con $r$, $s$ interi), posto

$t=(ax^{n}+b)^{\frac {1}{s}},x=\left({\frac {t^{s}-b}{a}}\right)^{\frac {1}{n}},dx={\frac {s}{na}}\left({\frac {t^{s}-b}{a}}\right)^{{\frac {1}{n}}-1}t^{s-1}dt$,

il nostro integrale diventa:

${\frac {s}{na^{\frac {1+m}{n}}}}\int t^{r+s+1}(t^{r}-b)^{{\frac {m+1}{n}}-1}dt$,

che è l'integrale di una funzione razionale, e noi sappiamo calcolare, se ${\frac {m+1}{n}}$ è intero.

Possiamo trovare un altro caso, in cui possiamo calcolare il nostro integrale. Basti osservare che, posto $x={\frac {1}{y}}$, esso diventa

$-\int y^{\mu }(a+by^{n})^{p}dy$ con $\mu =-(m+2+np)$

che, per quanto dicemmo in $B$ sappiamo calcolare se ${\frac {\mu +1}{n}}$ è intero cioè se ${\frac {-m-1-np}{n}}$ è intero, cioè se ${\frac {m+1}{n}}+p$ è intero.

In conclusione sappiamo calcolare il precedente integrale, riducendolo al calcolo di una funzione razionale, quando è intero uno dei tre numeri $\mathrm {p}$, oppure $\mathrm {\frac {m+1}{n}}$, oppure $\mathrm {{\frac {m+1}{n}}+p}$.

Oltre al quadro del § 74, $\zeta$, pag. 244, noi ne daremo qui un altro che riassume i più importanti risultati ottenuti fin qui. QUADRO DEI METODI DI INTEGRAZIONE (cfr. pag. 244 e 190).

$\int (u+v)dx=\int udx+\int vdx+{\text{cost.}}$ (integrazione per somma) $\int f(x)dx=\int f[x(z)]x'(z)dz+$ cost. (integrazione per sostituzione) $\int u'vdx=uv-\int uv'dx+$ cost. (integrazione per parti).

Se $f$ indica nei singoli casi una funzione razionale della variabile, o delle variabili da cui dipende

$\int f(x)dx$	Si calcola scomponendo $f(x)$ nella somma di frazioni semplici di un polinomio, e di una derivata.
$f({\text{sen}}\,x,{\text{cos}}\,x)dx$	Si calcola introducendo come nuova variabile di integrazione	$z=tg{\frac {x}{2}}$. Si può anche porre $z=tg\,x$, se in $f$ entrano solo $tgx$ e potenze ad esponenti pari di ${\text{sen}}\,x$, ${\text{cos}}\,x$.
$\int f(x,{\sqrt[{m}]{ax+b}}dx$, $a,b={\text{cost.}}$; $a\not =0$, ($m$ intero positivo)	Si calcola introducendo come nuova variabile di integrazione	$z={\sqrt[{m}]{ax+b}}$3
$\int f(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}dc$ $a$, $b$, $c=$ cost.	Si calcola, assumendo a variabile $z$ di integrazione quella definita dalla	${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a}}(x+z)$ se $a>0$ $z^{2}=x-\alpha \choose \beta -x$ se $a>0$, ed $\alpha$, $\beta$ sono le radici di $ax^{2}+bx+c=0$.
$\int f(x,{\sqrt {ax+b}},{\sqrt {cx+d}}dx$ $a,b,c,d={\text{cost.}}$; $a,c\not =0$	Si riduce al caso precedente assumendo a variabile di integrazione	$z={\sqrt {ax+b}}$
$\int f(e^{x})dz$	Si calcola assumendo a variabile di integrazione	$z=e^{x}$
Integrali binomii		cfr. pag. 258.

Note

1. Se $\alpha =a+ib$, con $b=0$, o $b\not =0$, allora $(x-\alpha )(x-\beta )=(x-a)^{2}+b^{2}\geq \,0$.
2. In <math<\gamma^1</math>) e $\gamma ^{2}$) l'indeterminazione del segno per ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ corrisponde all'indeterminazione del segno per $k$.
3. Se capitano parecchi radicali $z={\sqrt[{\mu }]{ax+b}}$, $z={\sqrt[{v}]{ax+b}}$, ecc. si porrà $z={\sqrt[{m}]{ax+b}}$, dove $m$ è il minimo comune multiplo degli indici $\mu$, $v$, ecc.