Lezioni di analisi matematica/Capitolo 15/Paragrafo 96 bis

by Guido Fubini

Capitolo 15 - Il metodo dei rettangoli per il calcolo approssimato degli integrali definiti

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 15 - Il metodo dei rettangoli per il calcolo approssimato degli integrali definiti

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§ 96 bis. — Il metodo dei rettangoli
per il calcolo approssimato degli integrali definiti.

$\alpha$ Abbiamo riconosciuto al § 96 che, diviso l'intervallo $(a,b)$ in un numero finito di intervalli parziali $\delta _{i}$, si ha:

$\int _{a}^{b}F(x)dx=\Sigma {\bar {F_{i}}}\delta _{i}$

ove ${\bar {F}}_{1}$ è uno dei valori assunti da m<ath>F(x)</math> in $\delta _{i}$, scelto in modo conveniente. Cosicchè, se noi, data $F(x)$, e scelti i $\delta _{i}$, sapessimo scegliere tali valori ${\bar {F}}_{i}$, il calolco dell'integrali sarebbe ridotto a operazioni elementari (somma dei prodotti). Ma poichè invece in generale non sappiamo scegliere tali ${\bar {F}}_{i}$, sostituiamo ad ${\bar {F}}_{i}$ uno qualsiasi $F_{i}$ dei valori che $F(x)$ assume in $\delta _{i}$, assumendo poi la somma $\Sigma F_{i}\delta _{i}$, come valore approssimato del nostro integrale. È questo un procedimento molto usato; la teoria, d'accordo con l'intuizione, lo giustifica, come vedremo in $\beta$), provando che l'approssimazione raggiunta si potrà render grande a piacere, cioè che la differenza $\int _{a}^{b}F(x)dx-\Sigma F_{i}\delta _{i}$ si può render pilla a piacere in valore assoluto, prendendo tutti i $\delta _{i}$ abbastanza piccoli (e ciò indipendentemente dal modo con cui si è scelto il valore $F_{i}$ di $F(x)$ in <math>\delta_1/math>). Ciò, che con una facile estensione del concetto di limite si scrive $\int _{a}^{b}F(x)dx=\lim _{\delta _{i}=0}\Sigma F_{i}\delta _{i}$. L'errore commesso sostituendo $F_{i}$ ad ${\bar {F}}_{i}$ viene cioè eliminato passando al limite per $\delta _{i}=0$.

Tale metodo di calcolo approssimato si può chiamare metodo dei rettangoli.

Infatti il calcolo del nostro integrale equivale a quello dell'area del rettangoloide definito dalla curva $y=F(x)$, che ha per base il segmento $(a,b)$. Diviso $(a,b)$ in segmenti $\delta _{i}$, il rettangoloide resta diviso in rettangoloidi parziali; all'area di uno di questi noi sostituiamo il prodotto $\delta _{i}F_{i}$, cioè l'area di un rettangolo che ha ancora $\delta _{i}$ per base, e che ha per altezza $F_{i}$, essendo $F_{i}$ uno qualsiasi dei valori che $F(x)$ ha in $\delta _{i}$.

Per $F_{i}$ possiamo assumere p. es. il valore di $F(x)$ ad uno degli estremi di $\delta _{i}$, oppure il massimo valore di $M_{i}$ od il minimo valore di $m_{i}$ di $F(x)$ in $\delta _{i}$, oppure un nuero qualsiasi compreso tra $M_{1}$ ed $_{i}$.

$\beta$) Con gli stessi metodi con cui si è provato che l'area esterna di un rettangoloide è uguale all'interna, si può dimostrare intanto che il limite inferiore di $\mathrm {\Sigma M\delta }$ è uguale al limite superiore di $\mathrm {\Sigma m\delta }$; e che quindi entrambi sono uguali al numero $\mathrm {S(a,b)=\int _{a}^{b}F(x)dx}$, che è sompreso tra le due somme citate. Resta così provato che questo integrale si può perciò definire come il numero che separa le classi contigue descritte rispettivamente dalle $\mathrm {\Sigma M\delta ,\Sigma m\delta }$.

È intuitivo poi (come il lettore può riconoscere pensando all'area di un rettangoloide, e ricordando la trattazione elementare per l'area del cerchio) e si può facilmente provare¹ che

Si può rendere piccola a piacere (minore di un $\epsilon >0$ piccolo a piacere) la differenza $\mathrm {\Sigma M\delta -\Sigma m\delta }$, considerando degli intervallini $\mathrm {\delta }$ abbastanza piccoli [che tale differenza (non conveniente scelta dei $\delta$] si possa rendere piccola, segue dal precedente teorema; la presente osservazione precisa che i $\delta$ saranno scelti convenientemente, se saranno scelti abbastanza piccoli]. A fortiori, se indichiamo con $F$ uno qualunque dei valori asunti da $F(x)$ in $\delta$, cosicchè $m\geq F\geq M$, allora, poichè $\int _{a}^{b}F(x)dx$ e $\Sigma F\delta$ sono entrambi compresi tra $\Sigma m\delta$ e $\Sigma M\delta$, avremo che:

Dato che un numero $\epsilon$ piccolo a piacere, posso scegliere i $\delta$ così piccoli che

$|\Sigma F\delta -\int _{a}^{b}F(x)dx|<\epsilon$.

Cosicchè con facile estensione della definizione di limite, possiamo enunciare il seguente teorema:

Lo $\mathrm {\int _{a}^{b}F(x)dx}$ non solo è il numero che supera le classi contigue descritte dalle $\mathrm {\Sigma m\delta ,\Sigma M\delta }$, ma è anche il limite di ${\Sigma F\delta }$ quando tutti i $\delta$ tendono a zero, se $\mathrm {F}$ è un qualsiasi numero compreso tra $\mathrm {M}$ ed $\mathrm {m}$ (od eventualmente uguale anche ad $M$ o a $m$).

Se noi confrontiamo quest'ultimo teorema $\int _{a}^{b}F(x)dx=\lim _{\delta =0}\Sigma F\delta$ col teorema dato in ($\alpha$), pag. 315, cioè $\int _{a}^{b}F(x)dx=\Sigma {\bar {F}}\delta$, vediamo che tanto $F$ che ${\bar {F}}$ rappresentano una quantità compresa tra $m$ ed $M$. Ma mentre $F$ è una quantità arbitrariamente scelta tra $m$ e $M$, la ${\bar {F}}$ è un numero convenientemente scelto tra $m$ ed $M$. Cosicchè nella

$\int _{a}^{b}F(x)dx=\lim _{\delta =0}(F_{1}\delta _{1}+F_{2}\delta _{2}+.....+F_{n}\delta _{n})$

si potrebbe quasi dire che il passaggio al limite (quando tutti i $\delta$ tendono a zero) corregge l'errore commesso scegliendo i valori intermedi $F_{i}$ in modo arbitrario tra $m_{i}$ ed $M_{i}$.

$\gamma$) Un caso particolare della nostra formola si ottiene nel modo seguente:

Si divida l'intervallo $(a,b)$ in $n$ intervallini parziali $\delta _{i}$, i cui estremi $a:1=a,a_{2},a_{3},.....,a_{n+1}=b$ formino una progressione aritmetica; tutti questi intervallini saranno uguali tra di loro ed avranno ${\frac {b-a}{n}}$ come lunghezza comune.

Se come $F_{r}$ scegliamo il valore di $F(x)$, p. es., nell'estremo destro $a+r{\frac {b-a}{n}}$ del corrispondente intervallo $\delta _{r}$, otterremo che:

(I)     $\int _{a}^{b}F(X)dx=\lim _{n=\infty }{\frac {b-a}{n}}\left\{F\left(a+{\frac {b-a}{n}}\right)+\right.$

$\left.+F\left(a+2{\frac {b-a}{n}}\right)+F\left(a+3{\frac {b-a}{n}}\right)+...+F\left(a+m{\frac {b-a}{n}}\right)\right\}$.

Similmente, supposto $b>a$, e posto $k={\sqrt[{n}]{\frac {b}{a}}}$, i punti $a,ak,ak^{2},.....,ak^{n-1},ak^{n}=b$ formano una progressione geometrica e dividono l'intervallo $(a,b)$ in intervallini che tendono a zero per $n=\infty$, ossia per $k=1$.

Si ritrova (ricordando che $\left.k={\sqrt[{n}]{\frac {b}{a}}}\right)$:

(II)          $\int _{a}^{b}f(x)dx=\lim a(k-1)\left\{f(a)+kf(ak)+\right.$

$\left.+k^{2}f(ak^{2})+.....+k^{n-1}f(ak^{n-1})\right\}$.

Questa è in fondo la formola applicata a pag. 128, es. 3°, quando si è calcolata un'area, il cui valore è, come ora sappiamo, l'integrale di ${\frac {1}{x}}$ tra $a$ e $b$.

Esempio.

1° Si calcoli $\int _{a}^{b}xdx$ col metodo precedente dalla (I).

Si trova:

$\int _{a}^{b}xdx=\lim _{n=\infty }{\frac {b-a}{n}}\sum _{1}^{n}\left[a+r{\frac {b-a}{n}}\right]=$

$=\lim _{n=\infty }{\frac {b-a}{n}}\left\{na+{\frac {n(n+1=}{2}}{\frac {b-a}{n}}\right\}=\lim _{n=-\infty }\left\{a(b-a)+\right.$

$\left.{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)(b-a)^{2}\right\}=a(b-a)+{\frac {1}{2}}(b-a)^{2}={\frac {b^{2}-a^{2}}{2}}$.

Note

1. Ciò si può dedurre dal teorema di Heins (§ 40 e § 63, pagina 197), perchè, in virtù di questo teorema, si possono scegliere i $\delta _{1}$ così piccoli che tutte le corrispondenti oscillazioni $M_{i}-m_{1}$ risultano minori di ${\frac {\epsilon }{b-a}}$. Allora sarà $|\Sigma M\delta _{i}-\Sigma M_{1}\delta _{1}|<{\frac {\epsilon }{b-a}}\Sigma \delta _{1}=\epsilon$, come volevasi provare. Allo stesso risultato si giunge direttamente così: Dato un sistema di intervallini $\delta$ e un altro sistema di intervallini $\delta '$, ottenuto dal precedente intercalando nuovi punti di divisione, le somme corrispondenti soddisfano alle $\Sigma M\delta <geq\,\Sigma M'\delta '$ e $\Sigma m\delta \leq \,\Sigma m'\delta '$. E ciò, perchè il massimo $M$ (il minimo $m$) di $F(x)$ in un $\epsilon$ non è inferiore ad alcuno dei massimi $M'$ (non supera alcuno dei minimi $m'$ che $F(x)$ ha nel intervallini $\delta '$, in cui è stato suddiviso l'intervallo $\delta$ considerato, mentre la lunghezza $\delta$ vale la somma della lunghezza di questi $\delta '$. Sia $\epsilon$>0 un numero piccolo a piacere; e consideriamo, p. es., le $\Sigma m\delta$ Esisterà un sistema di intervallini parziali $\theta _{1},\theta _{2},.....,\theta _{n}$ tali che, se $\mu$ è il minimo di $F(x)$ in $\theta$, sia

   $\int _{a}^{b}F(x)dx\geq \Sigma \mu \theta \geq \int _{a}^{b}F(x)dx-{\frac {\epsilon }{2}}.$

   E ciò perchè $\int _{a}^{b}F(x)dx$ è proprio il limite superiore delle $\Sigma m\delta$ (o delle $\Sigma \mu \theta$).

   Consideriamo un altro qualsiasi sistema di intervalli $\delta$, ciascuno dei quali sia più piccolo del minimo tra gli intervalli $\theta$ e sia più piccolo anche di ${\frac {\epsilon }{2nH}}$, se $H$ è il massimo di $|f(x)|$ in $(a,b)$. Sia $\delta '$ quel sistema di intervallini che si ottiene dividendo $(a,b)$ in parti sia coi punti estremi dei $\theta$, sia coi punti estremi del $\delta$. Poichè i $\delta '$ sono ottenuti sia dai $\delta$ che dai $\theta$, intercalando nuovi punti di divisione, sarà: $\Sigma m'\delta '\geq \Sigma \mu \theta$; $\Sigma m'\delta '\geq \Sigma m\delta$,mentre è $\int _{a}^{b}F(x)dx\geq \Sigma m'\delta '$.

   Ora nel passare dai $\delta$ agli intervallini $\delta '$, al più $n$ degli intervalli $\delta$ sono stati divisi in (due) parti (perchè un $\delta$ non può contenere tutto un $\theta$ per l'ipotesi fatta) e gli intervallini $\delta '$, che si ottengono dividendo oin due parti al più $n$ intervalli $\delta$ hanno complessivamente una lunghezza che non può superare ${\frac {\epsilon }{2nH}}$ $\left({\text{perch+ ogni}}\delta {\text{non supera}}{\frac {\epsilon }{2nH}}\right)$. Il contributo che essi danno nella somma $\Sigma m'\delta '$ non può superare $nH{\frac {\epsilon }{2nH}}={\frac {\epsilon }{2}}$.

   Poichè gli altri intervalli $\delta$ sono contemporaneamente intervalli $\delta '$, la somma $\Sigma m'\delta '$ superarà $\Sigma m\delta$ al più di ${\frac {\epsilon }{2}}$; cosicchè $\Sigma m\delta \geq \Sigma m'\delta '-{\frac {\epsilon }{2}}$.

   Poichè $\Sigma m'\delta '\geq \Sigma \mu \theta \int _{a}^{b}F(x)dx-{\frac {\epsilon }{2}}$, sarà: $m\delta \geq \int _{a}^{b}F(x)dx-\epsilon$. È già noto che $\int _{a}^{b}F(x)dx\geq \Sigma m\delta$. Cosicchè, se i $\delta$ sono scelti abbastanza piccoli (nel modo sopra precisato), la $\Sigma m\delta$ differisce da $\int _{a}^{b}F(x)$ per mendo di $\epsilon$

   In modo analogo si prova che, se i $\delta$ sono abbastanza piccoli, $\Sigma M\delta$ differisce da $\int _{a}^{b}F(x)dx$ per meno di $\epsilon$. Quindi, preso un numero $2\epsilon >$ piccolo a piacere, possiamo scegliere un numero $\tau$ tale che, se tutti i $\delta$ sono minori di $\tau$, allora $[\Sigma M\delta -\Sigma m\delta ]$ sia minore di $2\epsilon$. c.d.d.