Lezioni di analisi matematica/Capitolo 21/Paragrafo 133

by Guido Fubini

Capitolo 21 - Le serie di Fourier

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 21 - Le serie di Fourier

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§ 133. — Le serie di Fourier,

Sia una funzione $f(x)$ che ammette il periodo $2\pi$, che cioè assume valori uguali in punti che differiscono per un multiplo di $2\pi$. Supponiamo che $f(x)$ sia sviluppabile in una serie (di Fuorier):

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\,{\text{cos}}\,nx+b_{n}\,{\text{sen}}\,nx),\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$(1)

dove $n$ assume i valori $0,1,2,3.....$, e le $a_{n},b_{n}$ sono cosanti da determinarsi. Osserviamo che il termine corrispondente ad $n=0$ si riduce ad $a_{0}$; cosicchè la (1) si può scrivere:

$f(x)=a_{0}+\sum _{1}^{n}(a_{n}\,{\text{cos}}\,nx+b_{n}\,{\text{sen}}\,nx).\,\,\,\,\,$(1)_bis

Ricordando che, se $\alpha$ è intero, $\int _{0}^{2\pi }\,{\text{cos}}\,\alpha \,xdx$ è nullo, se $\alpha \not =0$, ed è uguale a $2\pi$ se $\alpha =0$, e osservando che:

$\int _{0}^{2\pi }\,{\text{cos}}\,nx\,{\text{cos}}\,mxdx={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }\,{\text{cos}}(n+m)xdx+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }\,{\text{cos}}\,(n-m)xdx$,

troviamo, se $n,m$ sono interi positivi o nulli:

$\int _{0}^{2\pi }\,{\text{cos}}\,nx\,{\text{cos}}\,mx\,dx=\left\{{\begin{matrix}2\pi \,{\text{se}}\,n=m=0\\\pi \,{\text{se}}\,n=m\not =0\\0\,{\text{se}}\,n\not =m.\end{matrix}}\right.$

In modo simile si prova:

$\int _{0}^{2\pi }\,{\text{cos}}\,nx\,{\text{sen}}\,mx\,dx=0$

$\int _{0}^{2\pi }\,{\text{sen}}\,nx\,{\text{sen}}\,mx\,dx=\left\{{\begin{matrix}0\,{\text{se}}\,n=m=0\\0\,{\text{se}}\,n\not =m\\\pi \,{\text{se}}\,n=m\not =0.\end{matrix}}\right.$

Integrando la (1)_bis da $0$ a $2\pi$, dopo averla moltiplicata per $1$ o per ${\text{cos}}\,mx$ o per ${\text{sen}}\,mx$, supposto che le serie così ottenute sieno integrabili termine a termine, si avrà, ricordando le precedenti identità:

$\int _{0}^{2\pi }f(x)dx=\int _{0}^{2\pi }a_{0}\,dx+$

$+\sum _{1}^{\infty }\left\{a_{n}\int _{0}^{2\pi }\,{\text{cos}}\,nx\,dx+b_{0}\int _{0}^{2\pi }\,{\text{sen}}\,nx\,dx\right\}=2\,\pi \,a_{0}\,\,$¹

e per $m>0$.

$\int _{0}^{2\pi }f(x)\,{\text{cos}}\,mx\,dx=\sum _{1}^{\infty }\left\{a_{n}\int _{0}^{2\pi }\,{\text{cos}}\,nx\,{\text{cos}}\,mx\,dx\,+\right.$

$\left.+b_{n}\int _{0}^{2\pi }\,{\text{sen}}\,nx\,{\text{cos}}\,mx\,dx\right\}=\pi \,a_{m}\,\,$²

$\int _{0}^{2\pi }f(x)\,{\text{sen}}\,mx\,dx=\sum _{1}^{\infty }\left\{a_{n}\int _{0}^{2\pi }\,{\text{cos}}\,nx\,{\text{sen}}\,mx\,dx+\right.$

Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle \left.+b_n\int_0^{2\\pi}\, \text{sen}\, nx\, \text{sen}\, mx\, dx\right\}=\pi\, b_m\, \, \, } ³

Se ne deduce dunque nelle nostre ipotesi:

$m>0\,\,\,$           $\left.{\begin{matrix}a_{0}={\frac {1}{2\,\pi }}\int _{0}^{2\pi }\,f(x)dx\\a_{m}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }\,f(x)\,{\text{cos}}\,mx\,dx\\b_{m}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }\,f(x)\,{\text{sen}}\,mx\ dx\end{matrix}}\right\}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$          (2)

Noi ci chiediamo:

Quando avviene che sia vera la (1)_bis, ove alla $a_{i},b_{i}$ si diano i valori definiti dalla (2)?

Si può dimostrare (Dirichlet, Dini, Lebesgue) che ciò avviene in casi molto generali. Noi lo dimostreremo nel caso particolarissimo che le $f'(x),f''(x)$ esistano e siano continue e quindi limitate (e necessariamente ammettano anch'essere il periodo $2\pi$). Dimostriamo intanto che in tali ipotesi la (1)_bis è totalmente convergente.

Sia $M$ una costante maggiore dei valori assoluti delle $f'(x),f''(x)$. Integrando per parti, si ha per $m\geq \,1$:

$a_{m}={\frac {1}{m}}\left[{\frac {{\text{sen}}\,mx}{m}}f(x)\,dx\right]_{0}^{2\pi }-{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {{\text{sen}}\,mx}{m}}f'(x)\,dx=$

$=-{\frac {1}{m\pi }}\int _{0}^{2\pi }\,{\text{sen}}\,mx\,f'(x)\,dx=-{\frac {1}{\pi m^{2}}}\int _{0}^{2\pi }\,{\text{cos}}\,mx\,f''(x)\,dx$,

donde:

$|a_{m}|\leq {\frac {1}{\pi m^{3}}}\int _{0}^{2\pi }|{\text{cos}}\,mx\,f''(x)|\,dx\leq {\frac {1}{\pi m^{2}}}\int _{0}^{2\pi }|f''(x)|dx\leq \,{\frac {M}{\pi m^{2}}}\int _{0}^{2\pi }\,dx$

ossia:                              $|a_{m}|\leq 2{\frac {M}{m^{2}}}$          ($m>1$).

Similmente $|b_{m}|\leq 2{\frac {M}{m^{2}}}$; e quindi per $n\geq 2$

$|a_{n}\,{\text{cos}}\,nx+b_{n}\,{\text{sen}}\,nx|\leq {\frac {4\,M}{n^{2}}}<{\frac {4\,M}{n(n-1)}}=$

$=4\,M\,\left\{{\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}\right\}$.

La serie a termini positivi e costanti $\sum _{2}^{\infty }\left({\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}\right)$ converge, perchè la somma dei primi suoi $k$ termini vale $1-{\frac {1}{k}}$, che tende ad $1$ per $k=\infty$; quindi sia la $\sum _{2}^{\infty }(a_{n}\,{\text{cos}}\,nx+b_{n}\,{\text{sen}}\,nx)$, che òa (1)_bis sono totalmente convergenti.

Sia $\varphi (x)$ uguale al secondo membro di (1)_bis. Gli integrali di $\varphi (x),\varphi (x)\,{\text{cos}}\,mx,\varphi (x)\,{\text{sen}}\,mx$ si ottengono dalla (1)_bis moltiplicandola rispettivamente per $1,{\text{sen}}\,mx,\,{\text{cos}}\,mx$, e integrando poi termine a termine, perchè la (1)_bis è convergente totalmente. Tali integrali sono perciò uguali a quelli di

$f(x),f(x)\,{\text{cos}}\,mx,f(x)\,{\text{sen}}\,mx$.

Cosicchè, posto $\psi (x)=f(x)-\varphi (x)$, sarà:

$\psi (x)dx=0$; $\int _{0}^{2\pi }\psi (x)\,{\text{cos}}\,mx\,dx=0$; $\int _{0}^{2\pi }\psi (x)\,{\text{sen}}\,mx\,dx=0$.

il nostro teorema sarà dimostrato, sa riusciamo a dedurne che la $\psi (x)=0.$ Dalle (3) si sa che, qualunque siano le costanti $b_{i},c_{i}$, è:

$\int _{0}^{2\pi }\psi (x)|b_{0}+\sum _{r=1}^{n}\,b_{r}\,{\text{cos}}\,rx+\sum _{1}^{n}\,c_{r}\,{\text{sen}}\,rx|dx=0\,\,\,$(4)

e quindi, per il risultato dell'es. 15°, pag. 58, è:

$\int _{0}^{2\pi }\,\psi (x)\,F(x)\,dx=0,\,\,\,\,\,$(5)

se $F(x)$ è un qualsiasi polinomio nelle ${\text{sen}}\,x,{\text{cos}}\,x$ a coefficienti costanti. Supponiamo ora che la funzione (continua) $\psi 8x)$ sia differente da zero in un punto $A$; essa sarà pure differente da zero in tutto un intorno di $A$, p. es. nell'intervallo ($\alpha ,\beta$), dove sarà, p. es., positiva, ossia avrà un minimo $m$ positivo. Vogliamo dimostrare che ciò è assurdo. Poniamo:

$F(x)=\left\{1+{\text{cos}}\,\left[x-{\frac {\alpha +\beta }{2}}\right]-{\text{cos}}\,{\frac {\alpha -\beta }{2}}\right\}^{2},\,\,\,\,\,$(6)

dove $n$ è un qualsiasi intero positivo. La espressione tra $\left\{\,\,\,\right\}$ supererà sempre $-{\text{cos}}\,\left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)<-1$ e sarà maggiore di $1$ soltanto quando l'angolo $x$ varia nell'intervallo $(\alpha ,\beta$).

Indicheremo con $N$ il massimo finito della $\psi (x)$. L'intervallo $(0,2\pi$) si può decomporre nei seguenti intervalli parziali:

1° L'intervallo $(\alpha ,\beta )$.

2° Un intorno di $\alpha$ di lunghezza non superiore ad $\epsilon ={\frac {m}{4N}}|\beta -\alpha |$⁴.

3° Un intorno di $\beta$ di lunghezza non superiore ad $\epsilon ={\frac {m}{4\,N}}|\beta -\alpha |$⁵.

4° La parte residua di $\gamma$ di lunghezza

$\gamma \geq 2\,\pi -|\beta -\alpha |-2\,\epsilon$

Nell'intervallo $(\alpha ,\beta )$ è $\psi (x)\geq m>0,F(x)>1$; quindi l'integrale di $\psi (x)F(x)$ esteso a tele intervallo supera $m|\beta -\alpha |$. Nei due intorni ricordati di $\alpha$ e $\beta$ è $|F(x)|\leq 1$, $|\psi (x)|<N$. Quindi l'integrale di $\psi (x)F(x)$ esteso a questi due intorni non supera $2\,\epsilon \,N={\frac {m}{2}}|\beta -\alpha |$.

Consideriamo ora la parte residua $\gamma$. In \gamma</math> è sempre $|\psi (x)|\leq N$. Invece $1+{\text{cos}}\,\left[x-{\frac {\alpha -\beta }{2}}\right]-{\text{cos}}\,{\frac {\alpha -\beta }{2}}$ è sempre minore di $1$ in valore assoluto: cioè il suo massimo valore assoluto è un numero $\sigma <1$. Quindi la $F(x)$ definita dalla (6) è minore di $\sigma ^{n}$. E l'integrale di $\psi (x)F(x)$ esteso a $\gamma$ non supererà $\gamma \,N\,\sigma ^{n}$, e quindi, poichè $\sigma <1$, diventa piccolo a piacere, p. es. minore di ${\frac {m}{4}}|\beta -\alpha |$, quando $n$ è abbastanza grande.

L0integrale di $\psi (x)F(x)$, esteso a tutto l'intervallo $(0,2\pi )$ è uguale alla somma degli integrali di $\psi (x)F(x)$ estesi ai citati intervalli parziali; ed uguale perciò alla somma:

1° di un numero positivo maggiore di $m|\beta -\alpha |$;

2° di un numero che in valore assoluto non supera ${\frac {m}{2}}|\beta -\alpha |$;

3° di un numero che in valore assoluto non supera ${\frac {m}{4}}|\beta -\alpha |$.

Esso è dunque maggiore di $|\beta -\alpha |$ moltiplicato per $m-{\frac {m}{2}}-{\frac {m}{4}}={\frac {m}{4}}$; ciò che è assurdo, perchè noi sappiamo che esso è nullo. È dunque assurdo ammettere che $\psi (x)$ non sia identicamente nullo.

Più generalmente si dimostra che: la (1)_bis, i cui coefficienti siano determinati da (2) in un punto $\mathrm {x=a}$ ove $\mathrm {f(x)}$ sia discontinua, ha per somma $\mathrm {{\frac {1}{2}}[\lim _{x=a+}\,f(x)+\lim _{x=a-}\,f(x)}$ se questi due limiti esistono e sono finiti [purchè esistano e siano finiti anche i $\lim _{x=a\pm }f'(x)$ e $\lim _{x=a\pm }f00(x)$], Anche questo risultato vale del resto in casi estremamente più generali.

Note

1. Si riconosce anche direttamente che tutti i membri del secondo membro sono nulli. Il primo eccettuato.
2. In virtù delle identità scritte più sopra, nel secondo membro il coefficiente di $b_{n}$ è nullo, qualunque sia $m$; il coefficiente di $a_{n}$ è differente da zero (ed uguale a $\pi$) solo se $n=m$.
3. Si dimostra con metodo analogo a quello seguito per la formola precedente.
4. Si suppongono questi intorni essere uno destro, l'altro sinistro, così, da essere entrambi esterni all'intervallo ($\alpha ,\beta$).
5. Si suppongono questi intorni essere uno destro, l'altro sinistro, così, da essere entrambi esterni all'intervallo ($\alpha ,\beta$).