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Lezioni di analisi matematica/Capitolo 6/Paragrafo 41

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Capitolo 6 - Funzioni di più variabili

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Capitolo 6 - Paragrafo 40 Capitolo 7
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§ 41. — Funzioni di più variabili.


Si dice che z è una funzione in n variabili , se per qualche sistema di valori dati alle , la z ha un valore determinato.

L'insieme di questi sistemi di valori si chiama il campo di esistenza della funzione z.

Si scrive in tal caso ; in luogo della lettera f si può scrivere un'altra lettera ecc.

Così, p. es., dalla fisica sappiamo che il volume di z di una certa massa di gas perfetto è funzione della temperatura e della pressione . Il campo G dei valori che possiamo dare alle è formato in questo caso dai valori positivi delle (se adottiamo la scala termometrica assoluta) e non superiori a certi limiti dipendenti dai mezzi sperimentali.

Se , si suole indicare la con , la con ; e in questo caso si adottanto le come coordinate cartesiane in un piano . Ogni sistema di valori per le individua un punto , e viceversa. Il caso più importante è quello in cui i punti di , a cui corrispondono valori delle , per cui esiste la z, riempia tutta un'area connessa di (rettangolare o circolare, ecc.)1. Se noi consideriamo come coordinate cartesiane ortogonali nello spazio, la è in tal caso l'equazione di una superficie, che si può considerare come l'immagine geometrica della funzione .

Nel caso di cessa la possibilità di una simile rappresentazione geometrica (se non si vuole adottare il linguaggio iperspaziale). [p. 138 modifica]Noi, perciò. studieremo specialmente il caso : metodi e risultati sono però generali.

Intorno00 di un punto di ascissa a ed ordinata b' si dice il quadrato lungo dei punti (), per cui dove \sigma</math> è una qualsiasi costante positiva.

Le definizioni di limite, di funzione continua, date nei paragrafi 32, 33, 35, 36, e i teoremi relativi si estendono quasi parola per parola al caso attuale.

Basta soltanto parlare di area piana connessa (area rettangolare, circolare, ellittica, ecc.) invece che di intervallo.

Noteremo che, se z è una funzione delle variabili in un'area piana S, allora se poniamo dove è una costante, la diventa una funzione della sola variabile , che esiste per tutti e olo i valori di , tali che i punti della retta appartenga ad S2; un fatto perfettamente analogo si presenta se si pone ( cost.).

Ciò si suol esprimere dicendo che la se si considera la oppure la come costante, diventa una funzione della sola , o della sola .

Per le funzioni continue di due o più variabili si possono pure estendere i teoremi dell'ultimo § 40.

Si può da ciò dedurre una dim. del teor. di Gauss già anuncaito al § 14, α. Cominciamo a dimostrare che ogni equazione algebrica ammette almeno una radice. Posto , il modulo è una funzione continua di ed . Di più notiamo che

.


Potremo evidentemente scegliere una costante così grande che

α) cioè che il punto sia interno al cerchio C di equazione .

β) per sia .

γ) Per sia .

Dunque, se , cioè se z è esterno a C, è .

Per il teor. di Weierstrass esiste dentr, o sulla periferia di C 3 almeno un punto , ove è minimo, cioè assume un valore , che non è superiore al valore di in ogni altro punto interno a C o posto sulla periferia di C cosicchè in particolare non potrà superare , quando z è fori di C . Perciò è il minimo di tutti i possibili valori che assume , perchè altrimenti (§ 9, pag. 34-35) esisterebbe un valore di z tale che ivi ha un valore minore di . [p. 139 modifica]Per il teor. di Ruffini (essendo radice di ) il polinomio è divisibile per , cosicchè ove è un polinomio di grado , il quale a sua volta ammetterà almeno una radice . Sarà perciò e dove è un polinomio di grado che possiederò almeno una radice , ecc., ecc. Si trova così in conclusione che . Questa decomposizione in fattori è unica. Se infatti per altra via si trovasse anche

.


allora sarebbe

.


Dividendo, caso mai, i due membri per i fattori di primo grado comuni ad entrambi, ne dedurremo un'uguaglianza del medesimo tipo, in cui però nessuna dele α è uguale ad una delle β. Passando allora al limite per , il primo membro avrebbe limite nullo, il secondo membro avrebbe limite differente da zero; ciò che è assurdo. Dunque i fattori del primo membro devono (tutt'al più in altro ordine) coincidere ciascuno con uno dei fattori del secondo membro; e viceversa. Il teorema di Gauss è così completamente provato.








Note

  1. Non insistiamo di più (cfr. § 7) sul significato della parola «area connessa» (area di un sol pezzo).
  2. Naturalmente se la retta non avesse punti comuni con S, non avrebbe senso parlare dela funzione .
  3. Perchè la regione intera a C è finita; il teor. cit. non vale per regioni illimitate.