Lezioni di analisi matematica/Capitolo 6/Paragrafo 41

by Guido Fubini

Capitolo 6 - Funzioni di più variabili

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 6 - Funzioni di più variabili

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§ 41. — Funzioni di più variabili.

Si dice che z è una funzione in n variabili $x_{1},x_{2},\cdots x_{n}$, se per qualche sistema di valori dati alle $x_{1},x_{2},\cdots x_{n}$, la z ha un valore determinato.

L'insieme di questi sistemi di valori si chiama il campo di esistenza della funzione z.

Si scrive in tal caso $z=f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})$; in luogo della lettera f si può scrivere un'altra lettera $F,\varphi ,\mathrm {X} ,$ ecc.

Così, p. es., dalla fisica sappiamo che il volume di z di una certa massa di gas perfetto è funzione della temperatura $x_{1}$ e della pressione $x_{2}$. Il campo G dei valori che possiamo dare alle $x_{1},x_{2}$ è formato in questo caso dai valori positivi delle $x_{1},x_{2}$ (se adottiamo la scala termometrica assoluta) e non superiori a certi limiti dipendenti dai mezzi sperimentali.

Se $n=2$, si suole indicare la $x_{1}$ con $x$, la $x_{2}$ con $y$; e in questo caso si adottanto le $x,y$ come coordinate cartesiane in un piano $\pi$. Ogni sistema di valori per le $x_{1}=x,x_{2}=y$ individua un punto $\pi$, e viceversa. Il caso più importante è quello in cui i punti di $\pi$, a cui corrispondono valori delle $x,y$, per cui esiste la z, riempia tutta un'area connessa di $\pi$ (rettangolare o circolare, ecc.)¹. Se noi consideriamo $x,y,z$ come coordinate cartesiane ortogonali nello spazio, la $z=f(x,y)$ è in tal caso l'equazione di una superficie, che si può considerare come l'immagine geometrica della funzione $f$.

Nel caso di $n>2$ cessa la possibilità di una simile rappresentazione geometrica (se non si vuole adottare il linguaggio iperspaziale). Noi, perciò. studieremo specialmente il caso $n=2$: metodi e risultati sono però generali.

Intorno00 di un punto di ascissa a ed ordinata b' si dice il quadrato lungo dei punti ($x,y$), per cui $|x-a|\leq \sigma ,|y-b|\leq \sigma$ dove \sigma</math> è una qualsiasi costante positiva.

Le definizioni di limite, di funzione continua, date nei paragrafi 32, 33, 35, 36, e i teoremi relativi si estendono quasi parola per parola al caso attuale.

Basta soltanto parlare di area piana connessa (area rettangolare, circolare, ellittica, ecc.) invece che di intervallo.

Noteremo che, se z è una funzione $f(x,y)$ delle variabili $x,y$ in un'area piana S, allora se poniamo $x=x_{0}$ dove $x_{0}$ è una costante, la $f(x,y)$ diventa una funzione $f(x_{0}),y$ della sola variabile $y$, che esiste per tutti e olo i valori di $y$, tali che i punti $(x_{0},y)$ della retta $x=x_{0}$ appartenga ad S²; un fatto perfettamente analogo si presenta se si pone $y=y_{0}$ ($y_{0}=$ cost.).

Ciò si suol esprimere dicendo che la $f(x,y)$ se si considera la $x$ oppure la $y$ come costante, diventa una funzione della sola $y$, o della sola $x$.

Per le funzioni continue di due o più variabili si possono pure estendere i teoremi dell'ultimo § 40.

Si può da ciò dedurre una dim. del teor. di Gauss già anuncaito al § 14, α. Cominciamo a dimostrare che ogni equazione algebrica $P(x)=z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n-1}z+a_{n}=0$ ammette almeno una radice. Posto $z=x+iy$, il modulo $|P(z)|$ è una funzione continua di $x$ ed $y$. Di più notiamo che

$|P(z)|=|z|^{x}|1+{\frac {a_{1}}{z}}+{\frac {a_{2}}{z^{2}}}+\cdots +{\frac {a_{n}}{z^{n}}}|$.

Potremo evidentemente scegliere una costante $\rho$ così grande che

α) $\rho >1$ cioè che il punto $z=1$ sia interno al cerchio C di equazione $|z|^{2}=x^{2}+y^{2}=\rho ^{2}$.

β) per $|z|>\rho$ sia $|z|^{n}>2|P(1)|$.

γ) Per $|z|>\rho$ sia $|1+{\frac {a_{1}}{z}}+\cdots +{\frac {a_{n}}{z^{n}}}|>{\frac {1}{2}}$.

Dunque, se $|z|>\rho$, cioè se z è esterno a C, è $|P(z)|>|P(1)|$.

Per il teor. di Weierstrass esiste dentr, o sulla periferia di C ³ almeno un punto $\alpha _{1}$, ove $|P(z)|$ è minimo, cioè assume un valore $|P(\alpha _{1})|$, che non è superiore al valore di $|P(z)|$ in ogni altro punto interno a C o posto sulla periferia di C cosicchè in particolare $|P(\alpha _{1})|$ non potrà superare $P(1)|,equindi''neanche''alcunodeivaloriassuntida<math>|P(z)|$, quando z è fori di C . Perciò $P(\alpha _{1})|$ è il minimo di tutti i possibili valori che assume $P(\alpha _{1})=0$, perchè altrimenti (§ 9, pag. 34-35) esisterebbe un valore di z tale che ivi $|P(z)|$ ha un valore minore di $|P(\alpha _{1})|$. Per il teor. di Ruffini (essendo $\alpha _{1}$ radice di $P(z)=0$) il polinomio $P(z)$ è divisibile per $z-\alpha _{1}$, cosicchè $P(z)=(z-\alpha _{1})P_{1}(z)$ ove $P_{1}(z)$ è un polinomio di grado $n-1$, il quale a sua volta ammetterà almeno una radice $\alpha _{2}$. Sarà perciò $P_{1}(z)=(z-\alpha _{2})P_{2}(z)$ e $P(z)=(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})P_{z}(z)$ dove $P_{2}(z)$ è un polinomio di grado $n-2$ che possiederò almeno una radice $\alpha _{1}$, ecc., ecc. Si trova così in conclusione che $P(z)=(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})\cdots (z-\alpha _{n})$. Questa decomposizione in fattori è unica. Se infatti per altra via si trovasse anche

$P(z)=(z-\beta _{1})(z-\beta _{2})\cdots (z-\beta _{n})$.

allora sarebbe

$(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})\cdots (z-\alpha _{n})=(z-\beta _{1})(z-\beta _{2})\cdots ((z-\beta _{n})$.

Dividendo, caso mai, i due membri per i fattori di primo grado comuni ad entrambi, ne dedurremo un'uguaglianza del medesimo tipo, in cui però nessuna dele α è uguale ad una delle β. Passando allora al limite per $z=\alpha _{1}$, il primo membro avrebbe limite nullo, il secondo membro avrebbe limite differente da zero; ciò che è assurdo. Dunque i fattori $z-\alpha$ del primo membro devono (tutt'al più in altro ordine) coincidere ciascuno con uno dei fattori $z-\beta$ del secondo membro; e viceversa. Il teorema di Gauss è così completamente provato.

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Note

1. Non insistiamo di più (cfr. § 7) sul significato della parola «area connessa» (area di un sol pezzo).
2. Naturalmente se la retta $x=x_{0}$ non avesse punti comuni con S, non avrebbe senso parlare dela funzione $f(x_{o},y)$.
3. Perchè la regione intera a C è finita; il teor. cit. non vale per regioni illimitate.