Lezioni di analisi matematica/Capitolo 7/Paragrafo 42

by Guido Fubini

Capitolo 7 - Definizioni e primi teoremi

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 42. — Definizioni e primi teoremi.

α) Siano date infinite quantità $u_{1},u_{2},u_{3}.\cdots ,u_{n},\cdots$ determinate dal valore dell'indice supposto intero positivo. Consideriamo la somma $s_{n}$ delle prime $n$ tra esse; poniamo cioè:

$s_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n-1}+u_{n}$.

Se esiste ed è finito il

$\mathbf {\lim _{n=\infty }} s_{n}$,

la serie           $s=u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots +u_{n}+\cdots$

si dice convergente; e il valore $s$ di questo limite si chiama somma della serie. E si scrive:

$s=u_{1}+u_{2}+u_{3}+\ldots +u_{n}+\ldots$

Se $\lim _{n=\infty }s_{n}$ esiste ma è infinito, la serie

$u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots +u_{n}+\cdots$

si dice divergente. Se il $\lim _{n=\infty }s_{n}$ non esiste, la serie dicesi indeterminata. Una serie non convergente è dunque un simbolo privo di significato; e (come, p. es., le frazioni a denominatore nullo) si deve escludere dai nostri calcoli¹.

Se moltiplichiamo i termini di una serie convergente, per una stessa costante k, la serie resta ancora convergente; e la sua somma resta moltiplicata per k. Se le $u_{n}$ sono numeri complessi, se, p. es., $u_{n}=v_{n}+iw_{n}(v_{n},w_{n}{\text{reali}})$, dire che la serie delle $u_{n}$ converge ed ha per somma $a+ib$ equivale a dire che la serie delle $v_{n}$ converge ed ha per somma a e che la serie delle $w_{n}$ converge ed ha per somma b.

Il lettore cerchi gli errori della seguente dimostrazione che conduce ad erronei risultati. È

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots =\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\cdots \right)+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}+\cdots \right)$.

Donde

$\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)+\cdots =1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\cdots$

cioè

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}+\cdots =1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\cdots$

Poichè ${\frac {1}{3}}>{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}}>{\frac {1}{6}}$ ecc., se ne deduce

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\cdots >{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}+\cdots =1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\cdots$

cioè ${\frac {1}{2}}>1$, ciò che è assurdo.

β) Se a, q sono numeri qualsiasi, la serie

$a+aq+aq^{2}+aq^{3}+\cdots$

è convergente se $|q|<1$, perchè in tal caso la somma $s_{n}$ dei primi n termini è data dalla

$s_{n}=a{\frac {1-q^{n}}{1-q}}$,

ed ha per $n=\infty$ il limite ${\frac {a}{a-q}}$; cosicchè

${\frac {a}{1-q}}=a+aq+aq^{3}+\cdots$

Una tal serie si dice una progressione geometrica decrescente.

Se $|q|>1$ (e $a\not =0)$ la nostra serie diverge, perchè la $s_{n}=a{\frac {1-q^{n}}{1-q}}$ ha per $n=\infty$ il limite $\infty$.

Se $a\not =0,q=1$, la serie è divergente, perchè la somma $s_{n}=na$ dei primi n termini ha ancora per $n=\infty$ il limite infinito.

Se $a\not =0,q=-1$ la serie è indeterminata, perchè la somma $s_{n}$ è uguale a $+a$ per n dispari, a zero per n pari, e quindi non tende ad alcun limite per $n=\infty$. Altrettanto avviene (come si potrebbe provare) se $|q|=1$, e q è complesso.

Se $a=0$, a nostra serie è convergente, ed ha somma nulla.

γ) Se la serie $S=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$ è convergente, e se $b_{1},b_{2}\cdots ,b_{m}$ sono costanti qualasiasi, la serie

(1)      $b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{m}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$

(essendo $m=$intero positivo finito) converge ed ha per somma

$S'=S+b_{1}+b_{2}+\cdots b_{m}$.

Se S diverge od è indeterminata, altrettanto avviene di (1), o viceversa.

Per definizione di serie la prima parte del nostro teorema equivale alla

$S+b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{m}=\lim _{n=\infty }(b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{m}+a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n})$.

Ma questa formola è evidente, perchè, essendo per definizione $S=\lim _{n=\infty }(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n})$ si ha:

$\lim _{n=\infty }(b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{m}+a_{1}+a_{3}+\cdots a_{n})=$

$=b_{1}+b_{2}+\cdots b_{m}+\lim _{n=\infty }(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n})=$

$=b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{m}+S$.

La seconda parte del nostro teorema se ne deduce pure immediatamente.

δ) Se le serie $u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots ,v_{1}+v_{2}+v_{3}\cdots$ convergono ed hanno per somma U e V, anche la serie

$(u_{1}+v_{1})+(u_{2}+v_{2})+(n_{3}+v_{3})+\cdots$

converge ed ha per somma $U+V$

Infatti:

$(u_{1}+v_{1})+(u_{2}+v_{2})+\cdots =$

$\lim _{n=\infty }[(u_{1}+v_{1})+(u_{2}+v_{2})+\cdots +(u_{n}+v_{n})]=$

$=\lim _{n=\infty }[(u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n})+(v_{1}+v_{2}+\cdots +v_{n})]=$

$=\lim _{n=\infty }(u_{1}+u_{3}+\cdots +u_{n})+\lim _{n=\infty }(v_{1}+v_{2}+\cdots +v_{n})=$

$=U+V$.

ε) Se la serie $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$ converge, allora $\lim _{n=\infty }a_{n}=0$.

Infatti la somma S della serie si può definire con l'una o l'altra delle $S=\lim _{n=\infty }(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n});S=\lim _{n=\infty }(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1})$.

Sottraendo membro a membro si deduce appunto $0=\lim _{n=\infty }a_{n}$.

La $\lim _{n=\infty }a_{n}=0$ è dunque una condizione necessaria (ma non sufficiente) per la convergenza della nostra serie. ζ) Se le $u_{n}$ sono reali e positive, se $u_{n}+1<u_{n}$, se $\lim _{n=\infty }u_{n}=0$ la serie $u_{1}-u_{2}+u_{3}-u_{4}+u_{5}-\cdots$ converge.

È facile riconoscere la somma $s_{2m}$ dei primi 2m termini aumenta con m, che la somma $s_{2m+1}$ dei primi $2m+1$ diminuisce con m, che le prime somme sono minori delle seconde, che la classe formata dalle prime è contigua alla classe formata dalle seconde, e che il numero di separazione delle due classi è la somma delle serie.

Note

1. Si potrebbe chiamare valore s di una serie, anzichè il $\lim _{x=\infty }s_{n}$, qualche altro limite, p. es. il $\lim _{x=\infty }{\frac {s_{1}+s_{2}+\cdots +s_{n}}{n}}$. Con questa nuova definizione alcune serie non convergenti acquistano significato e si possono introdurre nel calcolo. (Le serie convergenti non mutano di valore con la nuova definizione). Con la nuova definizione, p. es., la serie indeterminata $1-1+1-1+1-1+\cdots$ ha il valore ${\frac {1}{2}}$. Esistono molte definizioni di tale tipo: il significato della frase: valore di una serie non varia con la definizione scelta. Noi ci atterremo a quella classica data nel testo.