Teoria degli errori e fondamenti di statistica/12.3

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

12.3 Compatibilità con un valore prefissato

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12.3 Compatibilità con un valore prefissato

Un altro caso che frequentemente si presenta è il seguente: si vuole controllare se un determinato valore numerico, a priori attribuibile alla grandezza fisica in esame, è o non è confermato dai risultati della misura; cioè se quel valore è o non è compatibile con i nostri risultati — più precisamente, a che livello di probabilità (o, per usare la terminologia statistica, a che livello di confidenza) è con essi compatibile.

Ammettiamo che gli errori di misura seguano la legge normale; sappiamo che la probabilità per il risultato di cadere in un qualunque intervallo prefissato dell’asse reale si può calcolare integrando la funzione di Gauss fra gli estremi dell’intervallo stesso. Riferiamoci per comodità alla variabile scarto normalizzato

$t={\frac {x-E(x)}{\sigma }}$

che sappiamo già dal paragrafo 9.3 essere distribuita secondo una legge che è indipendente dall’entità degli errori di misura.

Se fissiamo arbitrariamente un numero positivo $\tau$ , possiamo calcolare la probabilità che si verifichi l’evento casuale consistente nell’ottenere, in una particolare misura, un valore di $t$ che in modulo superi $\tau$ ; come esempio particolare, le condizioni $|t|>1$ o $|t|>2$ già sappiamo che si verificano con probabilità rispettivamente del 31.73% e del 4.55%, visto che l’intervallo $-1\leq t\leq 1$ corrisponde al 68.27% dell’area della curva normale, e quello $-2\leq t\leq 2$ al 95.45%. [p. 215 modifica]

Se consideriamo poi un campione di $N$ misure indipendenti, avente valore medio ${\bar {x}}$ e proveniente da questa stessa popolazione di varianza $\sigma ^{2}$ , è immediato capire come la variabile

$t={\frac {{\bar {x}}-E(x)}{\dfrac {\sigma }{\sqrt {N}}}}$

soddisferà a queste stesse condizioni: accadrà cioè nel 31.73% dei casi che $|t|$ sia maggiore di $\tau =1$ , e nel 4.55% dei casi che $|t|$ sia superiore a $\tau =2$ .

Per converso, se fissiamo arbitrariamente un qualunque valore ammissibile $P$ per la probabilità, possiamo calcolare in conseguenza un numero $\tau$ , tale che la probabilità di ottenere effettivamente da un particolare campione un valore dello scarto normalizzato $t$ superiore ad esso (in modulo) sia data dal numero $P$ . Ad esempio, fissato un valore del 5% per $P$ , il limite per $t$ che se ne ricava è $\tau =1.96$ : insomma

$\int _{-1.96}^{+1.96}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}{\text{d}}t\;=\;0.95$

e solo nel cinque per cento dei casi si ottiene un valore di $t$ che supera (in modulo) 1.96.

Se si fissa per convenzione un valore della probabilità che indichi il confine tra un avvenimento accettabile ed uno inaccettabile nei limiti della pura casualità, possiamo dire che l’ipotesi consistente nell’essere un certo numero $\xi$ il valore vero della grandezza misurata sarà compatibile o incompatibile con i nostri dati a seconda che lo scarto normalizzato

$t={\frac {{\bar {x}}-\xi }{\dfrac {\sigma }{\sqrt {N}}}}$

relativo a tale numero sia, in valore assoluto, inferiore o superiore al valore di $\tau$ che a quella probabilità corrisponde; e diremo che la compatibilità (o incompatibilità) è riferita a quel certo livello di confidenza prescelto.

La difficoltà è che tutti questi ragionamenti coinvolgono una quantità numerica (lo scarto quadratico medio) relativa alla popolazione e per ciò stesso in generale ignota; in tal caso, per calcolare lo scarto normalizzato relativo ad un certo valore numerico $\xi$ non possiamo che servirci, in luogo di $\sigma$ , della corrispondente stima ricavata dal campione, $s$ :

$t={\frac {{\bar {x}}-\xi }{\dfrac {s}{\sqrt {N}}}}$

e quindi si deve presupporre di avere un campione di dimensioni tali che questa stima si possa ritenere ragionevole, ossia sufficientemente vicina ai [p. 216 modifica]corrispondenti valori relativi alla popolazione a meno di fluttuazioni casuali abbastanza poco probabili.

In generale si ammette che almeno 30 dati siano necessari perché questo avvenga: in corrispondenza a tale dimensione del campione, l’errore della media è circa 5.5 volte inferiore a quello dei dati; e l’errore relativo di $s$ è approssimativamente del 13%.

Bisogna anche porre attenzione alla esatta natura dell’ipotesi che si intende verificare. Per un valore limite di $\tau =1.96$ abbiamo visto che il 95% dell’area della curva normale è compreso tra $-\tau$ e $+\tau$ : superiormente a $+\tau$ si trova il 2.5% di tale area; ed anche inferiormente a $-\tau$ se ne trova un’altra porzione pari al 2.5%.

Tabella 12.2 - Alcuni valori della probabilità $P$ e dei corrispondenti limiti $\tau$ sullo scarto normalizzato, per verifiche two-tailed ( $\tau _{2}$ ) o one-tailed ( $\tau _{1}$ ).

$P$ (%)	$\tau _{2}$	$\tau _{1}$
10.0	1.64485	1.28155
5.0	1.95996	1.64485
2.0	2.32635	2.05375
1.0	2.57583	2.32635
0.5	2.81297	2.57583
0.2	3.09023	2.87816
0.1	3.29053	3.09023

Tabella 12.3 - I valori della probabilità per verifiche two-tailed ( $P_{2}$ ) ed one-tailed ( $P_{1}$ ) che corrispondono a valori prefissati dello scarto normalizzato $\tau$ .

$\tau$	$P_{2}$ (%)	$P_{1}$ (%)
0.5	61.708	30.854
1.0	31.731	15.866
1.5	13.361	6.681
2.0	4.550	2.275
2.5	1.242	0.621
3.0	0.270	0.135

Se l’ipotesi da verificare riguarda l’essere differenti tra loro due entità (il [p. 217 modifica]presupposto valore vero della grandezza misurata e la media aritmetica dei nostri dati, nell’esempio precedente) quel valore di $\tau$ corrisponde in effetti ad una verifica relativa ad un livello di confidenza del 5% (usando il termine inglese, stiamo effettuando un two-tailed test); ma se l’ipotesi riguarda l’essere un valore numerico superiore (od inferiore) alla nostra media aritmetica (ad esempio, i dati misurati potrebbero essere relativi al rendimento di una macchina, e si vuole verificare l’ipotesi che tale rendimento misurato sia superiore ad un valore prefissato), allora un limite $\tau =1.96$ corrisponde in effetti ad un livello di confidenza del 2.5% (one-tailed test): nell’esempio fatto, soltanto l’intervallo $[-\infty ,-\tau ]$ deve essere preso in considerazione per il calcolo della probabilità. Alcuni limiti relativi a diversi livelli di confidenza si possono trovare nelle tabelle 12.2 e 12.3; altri si possono facilmente ricavare dalle tabelle dell’appendice G.