Fabrica et uso del compasso polimetro/Parte Prima/Delle due medie proportionali. Cap. IIII.

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Delle due medie proportionali. Cap. IIII.

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Delle due medie proportionali. Cap. IIII.
Parte Prima - Delle linee per i lati de poligoni regulari uguali d'area. Cap. III. Parte Prima - Delle linee per i diametri delle palle. Cap. V.
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DELLE

DUE MEDIE PROPORTIONALI.

CAP. IIII.



PPER segnare le trè seguenti linee, le quali hanno da servire per i corpi, conviene sapere prima, con qual modo, [p. 17 modifica]ed’arte, fra due date linee rette, se ne trovano due altre in continoua proportione: la qual cosa se’bene frà i matematici è molto nota, per lo frequente bisogno, che ne hanno, et per lo numero grande d’huomini illustri, che incitati da due nobilissime occasioni tanto ci si affaticarono dietro: una delle quali fu il raddoppiare la mole del sepolcro di Glauco d’ordine del Rè MinosEpist. d'Eratostone à Ciro. senza alterare la figura: et l’altra il cubo dell’altare di Delo, per risposta dell’Oracolo; acciò celasse la peste in Grecia: nulladimeno perche fra gl’arteficiVitruvio li. 9. cap. 3.; à prò de quali è ordinata la prima parte di questo trattato, non è cosa tanto saputa; ne proporrò uno ancor lui mecanico, come sono tutti gl’altri antichi, et moderniEutoc. nel 2. de sph. ð cyl. p. 2.; ma tale (se non sono ingannato dall’interesse) che spero debbia riuscire di gusto, tanto à coloro, che se ne haveranno a servire, et praticarlo; operandosi con assai minor fatica, et più à man salva di quello si faccia con molti altri, co i quali bisogna andare à tentone, et rimisurare le cose più d’una volta; quanto a quelli che sono essercitati nelle speculazioni matematiche per la chiarezza della sua dimostrazione.

LEMMA.


Se AB, alla CD, haverà l’istessa proportione che hà E, alla FG, la metà di AB, alla CD, sarà come E, alla doppia di FG; siano divise per mezzo [p. 18 modifica]l’una, e l’altra AB, CD, nei punti H, e K, e fatta alla FG doppia la FL. Perche dunque le AH, e CK, sono nel medesimo modo 15. del quinto. parte delle molteplici AB, CD; haverà AH, alla CK, la medesima proportione di AB, alla CD, cioè quella che hà E alla FG, e raddoppiati i conseguenti AH, à CD, farà come E à FL.


PROBLEMA.


Date due linee rette A, e B, trovarne due altre medie, in continua proportione.

Espongasi la linea retta CD, della quale, la parte CE, sia uguale alla B, minore delle due date, e sovr'essa constituiscasi il triangolo equicrure CFE, co i lati uguali alla metà della maggiore A; poi per il vertice F sia fatta la F G equidistante alla CD, et doppia di CE, et i punti EG congiunti con la EG. Habbiasi dopò questo in una riga, ò lista HK, notata la KL, uguale alla medefima metà di A, ò vero ad' uno de i lati del triangolo CFE, la quale s’adattarà in modo sopra la figura, che sempre il suo diritto HL venghi ad’essere nel punto F, et il punto estremo K, scorra per la linea ED, et con questa legge tanto muovasi, finche il punto L, venghi [p. 19 modifica]ad’essere nella EG; come faria la FMD, all’hora le due ED, FM saranno medie in continoua proportione frà le due date, A, et B; cioè la proportione che hà la prima A, alla ED, sarà la medesima che quella di ED, alla FM, e di FM, à B. Sia per la dimostratione fatta cadere dal vertice F, la FN, perpendicolare alla base CE, et la MD, prolungata in O, tanto che la DO sia uguale à DM . Perche dunque la CE, è divisa per mezzo in N, et per diritto v’è aggiunta la ED, sarà il rettangolo CDE insieme col quadrato NE, uguale al quadrato di ND, et posto comune 6. del secundo. 4. del primo. il quadrato FN; il rettangolo CDE, col quadrato FE, farà uguale al quadrato FD, cioè al rettangolo OFM, insieme col quadrato MD; e trattone i due quadrati uguali EF, DM, remarà il 16. del sesto. rettangolo CDE, uguali al rettangolo OFM, et perciò come OF, à CD così ED ad FM. Oltre à ciò perche i due triangoli GFM, EDM, sono [p. 20 modifica]4. del sesto. Lemma antecedente cor. alla equiangoli per rispetto della equidistanza delle linee, DE, FG, haverà la GF, alla FM, la medesima proportione che hà ED, à DM, e la FP, metà di FG, cioè la CE, alla FM, sarà come ED, alla MO doppia di MD, è convertendo OM, ad’ ED, come 4. del Quinto. FM, à CE. et permutando OM, ad’ MF, come DE, ad’ EC, e componendo è permutando insieme come OF, à CD, cosi FM, à CE; mà si è dimostrato 16. del Quinto. come OF, à CD, cosi essere ED, ad FM; et come 12. et 16. del quinto. FM, à CE, cosi OM, ad ED: dunq; OM, à DE,sarà come DE, ad FM, et ED, à FM, come FM, a CE, et per questo essendo le quattro linee OM, ED, FM, CE, in continoua proportione, et la MO, uguale alla prima A, et CE alla quarta B le due DE, FM, saranno medie proportionali frà le due date da principio: Che è quello che si era proposto voler fare.