Fabrica et uso del compasso polimetro/Parte Seconda/Delle feconde. Cap. I.

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Delle feconde. Cap. I.

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DELLE FECONDE.

CAP. I.


S CON queste linee feconde, si dividono con molta facilità, le linee rette terminate in qual si voglia proportione , di quelle che fi possono esprimere coi numeri, che si chiamano rationali, e se bene queste sono di cinque specie, un solo esempio nondimeno servirà per tutte.


PROBLEMA. I.


SIA dunque la linea retta da doversi dividere A, nella proportione, che hà il numero 97, à 13, in modo tale, che tutta ad’una 1.caso. parte sia come detti numeri: Aprasi il compasso tanto, che frà ambe i punti 97, sia un intervallo uguale alla AB: sarà quello, che è fra li punti 13, la parte che si cercava di tutta la AB. Et è manifesto per la somiglianza de i triangoli, 2. ??? 4. del sesto. 2. caso e per la proportione dei lati homologhi: Ma se la proportione fosse ne i numeri cosi piccioli, che frà i termini del maggiore, per la troppo vicinanza al centro, [p. 47 modifica]COMPASSO POLI METRO. 47 non capific la longhezza a b , allhora fi multi- plicarà tato l'antecedente, quato il conieguen¬ te per vn’iftcffb qual fi fia numero , purché rauaenfmenrò del maggiore non trafcendail 1 2o,d Ile feconde,& co i numeri prodocci, che l8* del fono ncH'ifteiTa proporcione operando comc‘cttimi,m fi farebbe fatto con quei femplici, fi hauerà l’intento. Et cofi ancora fe a B,folle tanto lun- eafi* ga, che non fi pote/Te adattare frà glVltimi ter- mini delle Feconde, fi diuiderà in quante parti vgualipiù tomaia bene, & vna dieffepofta frà i termini anteccdenri ; felo fpatio frà i ter¬ mini del confeguencc fi mulciplicarà altretantc voice,quante furono le diuifiom di tutta la a B, l’aggregato ne darà la grandezza che fi cerca- ua trouare,iI che è facile ad intendere nc vi oc¬ corre maggior dichiaratone. +c*fi* Se poi i numeri della proporcione data fa¬ ranno maggiori del 120, & che non fiano pri¬ mi. Diuidafi il maggiore in modo, che vna delle fuéparci venga ad’effere minore di 120, & frà i termini di quel quotiente pofta vna delle parti di a B, diuifa nell’ifteffo modo; fe il confeguen- te farà minore delle predette 120, lo fpatio frà i fuoi termini, farà la grandezza che fi defide- raua trouare. Mà s’ancor egli farà maggiore, . fia ancor e/To diuifo in quante parti piace,& Io * ' fpatio frà i termini d’vna di e(Te mulriplicato tante volte, quante furono le diuifioni, ne darà la grandezza ricercata ; come per maggiore efpref- 48 [p. 48 modifica]VSO DEL efpreflìone. Habbiafi primieramente à diui- dere a b , nella proportione di 1140,à 87, de quali due numeri, vn folo c maggiore del 120, delle Fcconde;fe quefto farà diuifo per vn qual fi fia numero, purché il quotiente venga ad’ef- fere minore del 120, come per 12, che ne rocca per parte,&fe parimente AB, iidiuidcrà in 12,parti vguali, & vna di effe fard frapofta fra li termini del numero 95,lo fpatio (ftando ria— ftrumento in tale apertura) chc è frà ambo i punti fegnati 87, farà quello al quale a b, hà la data proportione : perche fe imaginaremo le gambe dello ftrumento eflere prolungate tanto, che foflero capaci delle dette 1140, par¬ ticelle , & che frà quefte fofTe pofta tutta la AB; lo ftrumento farebbe aperto neU'ifteflò angolo pappino,come di prefentcjefTendo chela linea dal centro al punto del 1140,à quella dal me- defimo centro al punto 95,habbia la medefima 4/proportione, che rutta la AB, alia fua duodice- • lima parte interpofta fra i punti 95. Se finalméte la proportione fofTc'eome 1638, à 97o,chervno, e l’altro eccede il i2o,deJIc Feconde,col maggiorejche è antecedente,fac- ciaficome difopra, diuidendolo per efempio per 14, che ne viene à toccare 117, per parte, & ponendo frà quelli termini la medefima de¬ cima quarta parte di a B,con lo ftrumeto aper¬ to in quefta guifà lì hauerà ciò chc fi defidera; impcroche diuifo il confeguente pcrvn’altro [p. 49 modifica]COMPASSO POLlMETRo. 4P qual fi fia numero come per io. fe lo fpatio frà ipunti 97,(1 muldplicarà fimilmente diece vol¬ le fi hauerà la grandezza cófeguente, alla qua¬ le ab, hauerà la ftefla proportione che hannoi numeri proporti 163 8,à 970,eflendo tale aggre¬ gato vguale allo fpatio, che farebbe frà i punti 970,fe le gambe dello ftrumcto foflero lunghe ; poiché la lunghezza dal centro al punto 970, à quella dal me defimo centro al numero 97,0 de¬ cupla , fi come è il predetto aggregato al detto (patio. PROBLEMA IL SE la linea propofta fi defiderafle diuidere in più parti che vna all’altra hauefle qual¬ che particolareproportione , come fc in tré, & che la prima à quella di mezzo foflè come 7 à 4& quella di mezzo alla terza come4ài3>fi raccoglierano tutti i predetti numeri infieme, & frà i termini 24 della loro (omnia,porta la li¬ nea a B, quei fpatij frà ambo i punti, 7. & 4. & 13. faranno le parti di a B, che ^ g. frà loro haueranno le propor- ■ • doni date. &èmanifefto. Ma fe i numeri del¬ le proportioni nó foflero talmente ordinati,che il cófeguente alla prima, foflè antecedere della terza ccnfeguente, come fe fi hauefle pure à di¬ uidere in tré parti, & che la prima alla feconda foflè come 7,à 4, &la feconda alla terza, come G *,à' ja V [p. 50 modifica]SO DEL j,à ijjfi haueranno à trouare con la regola de grAritmeticijtrè numeri 35,20, che habbia¬ no le date proportioni, acciò quello di inezie, fia conseguente al primo 35, & antecederne al terzo ja:& all*hora,come di fopra fommati in¬ fiicine, & fra i punti 107 delle Feconde pollai* A B,quelli frà ambo i punti 35,20,& 5 2 faranno le grandezze delle parti di A B, che fia loro ha» ucranno la proportione propofta. PROBLEMA III. SE poi la proportione data foflfc irrationale all*hora che quefte diuifioni non poffono del feruire a nulla,cSuerrà farlo col modo infegna- • wei da Euclide,feruendoci dello fteflò ftrome- io per qualche maggior facilità co fegnare giù per qual fi voglia di quefte linee,due grandezze de Ha proportione data, co qualche cofa da po¬ ter cancellar poi fàcilmente, & aperto l'inftru- tue nto in modo,che frà i termini della maggio» te3fia vn’interuallo vguale à tutta la grandezza propofta, quello che farà fri i termini della mi¬ nore , farà quella parte alla quale tutta hauerì la proportione data • Il trouare poi frà due linee date vna media proportionale, ò di due ma terza,ò pure date¬ ne trèja quarta é,cotne fi dille, cofa tanto faci¬ le con la via geometrica, che per quefte fole nò è pacche metta conto conflituixe altre linee, onde [p. 51 modifica]COMPASSO POLI METRO. 51 «nde f? venga ad’offtifcarc più lo finimento di quello che c/enza auanzare ne tempo,ne fatica neH’operatione, & potendo effere vniuerfale* farlo particolare nelle rationali folament&per» loche i foglienti problemi rifoluti col mezzo de cerchi non riufeiranno forfè del tutto inutili « PROBLEMA IIIL FRà due date lincerete a #> & C, trouarne vna media proportionale. Nella maggiore di effe Ai,fia deferitro il cerchio a b t>,col centro E,fc dalla Attagliati la a v doppia delia minore c, poi fatta da i la pa vguale alla a e* metà di a* fizcol centra G,& interuallo G f 5de(cr itto vn’altro cerchio * che col primo fi feghi in D; dico la linea rata a d, eflere media fra le due date A B, & C; con* giungali il punto D,co i punti A,F, & B: & dal* l'angolo D, fia fatta ca¬ dere la DH, perpendico¬ lare fopra h A B. Perche duque le a E, Se FG,ibno fri* loro t- fuali, farà il ciangolo yi [p. 52 modifica] VSO DEL A d F,equicrure;onde la perpédicolare DH, di- 47.iW i. uiderà la bafe A F, per mezzo in h> & perciò la 31. del a h, farà vguale a Ila C: & perche nel triangolo tert0 ad B,l'angolo a D BjèrettOj&daelTolaDH, Sperpendicolare alla bafe A Bjhauerà la AB, alla fto. A D,la ftefla proportione, che 1 a mcdelima a d , hà alla A H,cioe alla C. che è quello che fi vole- uadimoftrare. PROBLEMA V. DAte due linee rette a b, & c, trouare la terza proportionale. Se l'antecedente A B,farò maggiore della có¬ feguente c deferiuafi in efla il cerchio aebd> & dal puro A> fiano adat¬ tate in effo due linee ad, i*del AE, vguali alla c, & la li- ytarto. nea c|ie congiunge i putì D e, feghi la a B, in F,la AF, farà quella terza prò portionale, che fi andaua cercando. Perche eflen¬ do le linee ad,a £,frà lo¬ ro vguali, anco le circon- 19. del ferenze che fottendono,faranno vguali, & per- UT^e. del c*ò la rimanente d b, vguale alla rimanete E B> terze, è l’angolo BAD, vguale all'angolo BAE; & per¬ che le due ad ;AF,fono vguali alle due ea,af>* & l’angolo d a F, all’angoloEAF, faranno gli ango[p. 53 modifica]COMPASSO POLI METRO. 5$ angoli AFD)AF£, frà loro vguali, & perciò la ^àtlpri DF, perpendicolare alla AB: & perche l'angolo'7™* . . AD B, è retto, & da etto la dh, perpendicolare r^rV0> r alla a B, la a B, alla A d, cioè alla c> hauerà la fletta proportione, che la medefima ad, hà alla A F : & perciò delle due date a b,& c>Ia a f, fa¬ rà terza proportionale,che è quello chc li vole- ua fare. Ma fe la prima AB,fotte minore? fia fatto il cerchioced,nella con- y£, feguentcCD,maggiore,& in etto adattata la ce, v- guale alla A B: la quale prodotta fia fegata dalla perpendicolare D F, tira¬ ta daH’eftrcmo D,fopra la CD, in f. farà la CF, ter¬ za jpportionale delle due date AB,CD.Sia per la di- moftratione fatta-la EG, parallela alla f d5& congiuntoi punti ed. . Pere he dunq; nel triangolo rettangolo CED, la eg, è perpendicolare alla bafe CD,farà DCy coradPS. à ce, come la ce, alla CG,&conuertendo CBydelfèfio. alla CD,come GC,alla CEjma per la fomiglian- za de i triangoli CD F,CG£: come 6C,à CE,co-^J0# sì è DC,alla CF: dunque come CE,cioè AB,alla 4. dclfi* CD,cofi fard DC,allaCF:& perciò la CF,terza proportionale delle due a B, C D,che è quello che fi era propofto voler fare • PRO- 54 VIO [p. 54 modifica] DEL PROBLEMA. VI. DA te tre linee rette terminate, trouare la quarta proportionale, Defcriuafi nella maggiore delle due prime date a b, il cerchio AEB, & come dianzi,fia adattata la a £, vguale alla confeguente C, alla quale dall’altra parte fia fatta aguale A F ,& congiunto iputi ae, a f, c6 linee indeter¬ minate dalle par¬ ti di F, dalle quali, dal punto 4^ie fiano taglia¬ te, le AH, &AK, vguali alla terza D, & la linea, che congiunge i putì H k, feghi la AB, in L. Dico la A L, efferc la quarta proportionale delle tré A Bac, Se o,date. Con- gkmgafi iptwrtiE F,E B, &JaE Freghila A B, in G. farà perle cofe dimoftrate p oco fk j Come

  • BA,alla AE,cioè alla c,cmì EA,alfa AG; ma per

r bfomiglianzade » triangoli AEG, ah L, come? f*EA,aWaAG>cosi HA,afla AL, & j>ciòcome BA, alla a E, così hà, che è vguale alia terza d, alla quarta a L,come fi è detto. Se la prima antecedente folle minore della •-.li fecoa[p. 55 modifica]COMPASSO POLIMETKO. j 5 feconda confeguente s’haueràda operare con modo conucrfo, come nel fecondo cafo della pattata,pon£*do la ae, vguale alla prima,& a L, alla terza,onde la a h, verrà ad’efferc la quarta che fi defidera trouare. PROBLEMA VII. DAtcduelinee rette, trouare la terza, la q uarta,& quant'altre fe ne vogliano tut* te in continoua proportione. Nella maggiore a b, delle due linee date,de* fcriuafi vn mezzo cerchio,& da vnodellieftre- uii AB, adattili in effo la BD,vgualealIamino* re C: poi fatta dal punto d, cadere la D E, per¬ pendicolare alla a B; già è ftato dimoftrato la B e, c fiere terza proportionale delle due date AB,cSia nella BD,fatto il mezzo cerchio BFD & dal puto B,adattatociIa bf> vguale alla BE, il che è potàbile, eflendo chela be, fia minore !* del diametro DB; Se dunque dal punto F,fifa- rà la FG,perpendicolarcalla B d, la quale le fi terz.o. producefle cadercbbe nel punto £,Ia B G,farà la V8* quarta in continoua proportione co le a b, B d, *r* & B f jPerche eflendo le BE,B F,frà loro vguali, quinto. hauerà BD,à bf, lamedcinaproportione,che 8- del alla BE,cioèquella di AB,à BD: ma come BD,à^?i# BF,cosi è B F,à B G,dfique come a B,à BD,così è BD,à B F, & B f, à Bg. Se di nuouo nella B f, fi difegnarà vn mezzo cerchio,& dalmedefiino punto [p. 56 modifica]VSO DEL punto B,ci fi adattar* la bh> vguale à bg}& da H,fi farà la H K, perpen¬ dicolare alla BFila B K)fa¬ rà per 1 ìftef- fa ragione la quinta;&cofi con l'iftello ordine fi tro¬ uarà la feda, la fettima, & quat’altre ne ricercarà il bifogno. Oltre à ciò fe fi cógiungeranno infieme i pu¬ tì ADFH,fidimoftrerà3chcanco le ad,df,fh & HK>fono continoue proportionaIi5& frà loro come le due date da principio-a B, & C. Perche M-^efsedo itriàgoli BED,B f d, rettàgoli,! due qua ter3i0j'tòxdLÙ BE,ed, vengono ad eflere vguali alle due ytJmof B F,F D;pcr chegl’vnij&graltri fono vguali al- l'ifteflb quadrato BD;da quali trattone i due vguali BE)BF3Imrnanétifaràno frà loro vgua¬ li, & cosi i loro lati D E, d F> & per rifletta ra- 8. ^f/gione fh, vgurlialla fG. Horpchenei trian- fefio. golirettangoli ADB dfb fhb,la proportio¬ ne, che hà A B à B D .è la fletta che quella di A D, à de,cioè à d Fj&come d B,à BF,cofi df,à F G cioèà fh,& finalmente* omc f B,à bh, cosi F H,ad HK.,&le AB,BD,BF>& BH; fi fono dimoflrate eflere in continoua proporrione;du» que anco così pi rimente faranno le A d, d F, fHj&h Kjccmc fi era attento. SCO[p. 57 modifica]COMPASSO POLìMETRO. 57 SCOLIO. SI diflè, che le perpendicolari pg,hk,pro¬ lungate vengono à cadere nc i punti, e , & G,oue le perpendicolari antecedenti, feganole bafi de i loro triangoli,& co fi l'altre con l’iftcf- fo ordine, accioche ci poteffimo valere di que¬ fto vantaggio nell’operare, hora fi inoltrerà e£- fere cofi nel fogliente modo. Siano ipuntiEG, congiunti con vna linea retta, & prodottala • circonferenza del mezzo cerchio B f D,la qua¬ le paffarà per lo punto E,per cagione, che Fan- del golo Bed, e retto, & perche fi èdimoftratola terzo. DE, vguale à DF>farà la circonferenza de, *8. del vguale alla circonferenza d F jonde anco gl*an- terzo. goli eb d>d B F)Che pofano fopra di loro vgua- li;&perche nei triangoli ebg, GBF,Ie lb, & 27- del B F,fono vguali, & la BG,comune. Egl’angoliter7L0* EB g, FBG, vguali ; dunque le bafe EG, farà ^..delpri vguale alla bafe gf, & l’angolo egb , vguale ™0. all’angolo bgf >nià quefto è retto,perciò retto 14. del farà ancora egb, & per quefto la egf, vna li-P™*0, nea retta, & cofi fi dimoftrerà parimente effere la g h • COROLLARIO. DAlle cofe dimoftrate fi raccoglie cotne4.^/y}. tutti gl’angolial B, fono frà loro vguali,/?*- H &ef[p. 58 modifica]5* VSO DEL & cffcndo quelli nelli mezzi cerchi retti, tutti i triangoli abd, Dfc'F, fbh, deb, fgb,hkb, adE>dfG.fhk, efferelimili, & perciò iloro lati homologhi in continoua proportione. DAte due figure rettilìnee conofcere qua¬ le proportione habbia no frà loro. - Siano primieramente le figure date i rrian- . •goflÌAB-C>DEF;ie'dagrangoli a,& d, fifarano cadere le perpendicolari ag3 dh, fopralebafi BC?EF,&cheIa t>roporrioftc'di AG,à DH,hab- biàìa £ £ ,adVn'a Irra K ; Dico iftfiatofcolo ABC, al triangolo ED F,efn?rt ^cìtie bc à K.Pacciafi nella GA,dal p'tiftto G,ta GL,vguak* alla dh,& fiano congiunti i punti B L, LC Perche dunque Cerna*, i due triangoli ABC , LBC, hanno l’iftefla bafe AlUpri bc,faranno fràlorò'conie le altezze AG, GL. dtl Cioè come E F,à K. : mài due triangoli LBC,& DEFjChe hannò vn’iftefla altezza,fono come le YcìTcTo bafiiLaonde effcttdo f! triangolo a bc,*I trian- PROBLEMA YIII golo [p. 59 modifica]CO M PASSO PO umetto. 5 f> gola LBC>comcEF3d ic,,&;il yjiwg.plo lb al

  • triangolo DEF , come bc, alIaÈF ; fura per

l’vgual proportionenell’analogia perturbata ; i«. del il triangolo ABC , al triangolo def , come lacl'1int0' BC, à K . Si coinè fi era detto . Mà fé le figure faranno moWIatere; fi faaran- noà rifolucrc in triangoli, & fetanti ne ver¬ ranno in vna, quanti ne fono nell’altra, come nelle due abCDE >f GHKL,fia col modo ante¬ cedente la proportione del triangolo a B£, al triangolo f GL,quella di MN,ad OPiquelIa che ha bec, al triangolo glh ^ laftcfladi, ì I>r , & quella del triangolo eCd, al triangolo H K l, la proportione di Q^S, à rt ; farà la pro¬ portene di tuttala figura abcdje, alla figura FGHKLj lamedefima, che quella che hà tutta la MS,à tuttala ot . Se finalmente il numero de triangolid’vna foffe maggiore del numero di quelli dell'altra} fifubdiuidcranno imcno^finchc s’agguagliano H 2 ai più, /* co VSO DEL [p. 60 modifica]à i piìi 5 & operando come di fopra s'hauèrà l’intento, 9 PROBLEMA IX. DAto vn cerchio dcfcriucrc vna linea retta vguale alla fua circonferenza. Si diffenellafabrica delle Feconde, che per facilitare alcune operationi, fifacefTevn qual¬ che fegnoinamenducipunti76. ± delle cento venti particelle di effe, per effere quefto nume¬ ro al 120, nella medefima proportione del dia¬ metro del cerchio alla metà della fua circonfe¬ renza, ò fe le particelle furono feffanta, al ter¬ mine delle 38, J7. Frà quefti due punti dunque che fi contrafegnorno co rna ftella*,fe fi adat- tarà il diametro del cerchio dato, & fi raddop¬ perà la linea retta ddl’interuallo che è frà I punti eftremi 120, quefta farà vguale alla pro- pofta circonferenza, & è manifefto per la fomi- 4. del fi- glianza de i triangoli. Che hanno per lati, le fie. Feconde, & per bafi, le linee che congiungono ambo ipunti 120, & 76^.ouero 60. & 38^. Si confeguirà anco il medefimo, fe il diame¬ tro del cerchio fi adattaràfrà ambe i punti 7, & 7i& ftado in tale apertura; fi pigliel a l’interual- lo che è frà ambe i punti 2 2. Ouero fe fofTe bi- fogno per qualche compdità,adattarJofrà altri punti più dittanti dal centro,purche fiano mol- tiplici del 7, con pigliare fimilmente l’interual- < • - lo [p. 61 modifica]COMPASSO P0L1METR0. <n lo che è frà li punti 22, & moltiplicarlo altretà- te volte quante del 7,era molteplice quello ouc s’adattò il diametro . O pigliare l’interuallo che è fi à i numeri molteplici del 2 2,nel medefi- rno modo , ehe è tutto vna co fa medefima. Et fe bene la linea trouata non è veramente vguale alla circonferenza propofta, che quefto n óè alcuno fin hora che lo fappia fare,è nondi¬ meno cofi profilma, che fenza errore fi può af¬ fermare che fia, confiftendo la differenza frà cofi angufti termini, che nó ci può effere fuario d’alcun momento; poiché ogni circonferenza di cerchio,è tripla del fuo diametro,& n’auuan- za di più vna particella minore d’vn fettimo % j* 1 o o • j. , 0 \ dmcns cioè di ,-£,& maggiore dicome ci hadimo-cirtm ftrato Archimede. PROBLEMA X. DAto vn cerchio defcriuere vn quadrato che le fia vguale. Adattafiil diametro del cerchio dato frà i punti fefrà la metà del diametro, & l'inter- ua!lo,che è frà Tvno, c l’altro eftremo delle Fe¬ conde, fi trouarà vna media proportionale, quefta farà il Iato del quadrato vguale al propo- fto cerchio , eflendo ftato dimoftrato ogni cerchio effere vguale al triangolo rettangolo, che hà vno dei lati,d’intorno all’angolo retto, vguale al fcmidiametro, & l'altro à tutta la firc> circoli