Opere matematiche di Luigi Cremona/Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane/Reti geometriche

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Art. 15. Reti geometriche

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Art. XV.

Reti geometriche.

92. Il completo sistema delle linee d’ordine soggette ad condizioni comuni chiamasi rete geometrica dell’ordine , quando per due punti presi ad [p. 397 modifica]arbitrio passa una sola linea del sistema, vale a dire, quando le linee del sistema passanti per uno stesso punto arbitrario formano un fascio1.

Per esempio, le prime polari relative ad una data curva d’ordine formano una rete geometrica d’ordine (77, a); anzi, molte proprietà di quelle si possono applicare, colle identiche dimostrazioni, ad una rete qualsivoglia.

Due fasci d’ordine i quali abbiano una curva comune, ovvero tre curve d’ordine le quali non passino per gli stessi punti, determinano una rete geometrica d’ordine (77, a).2

Il luogo di un punto nel quale si tocchino due (epperò infinite) curve d’una data rete d’ordine , è una linea dell’ordine . Questa linea, che può chiamarsi l’Hessiana3 della rete, è anche il luogo de’ punti doppi delle curve della rete (90, a).

Le tangenti comuni ne’ punti di contatto fra le curve della rete inviluppano una linea della classe (91, b).

(a) Supponiamo che tutte le curve di una data rete abbiano un punto comune . Condotta una retta per , sia il punto di infinitamente vicino ad ; infinite curve della rete passeranno per (cioè toccheranno la retta in ), formando un fascio. E condotta per una seconda retta , nella quale sia il punto successivo ad , vi sarà una (ed una sola) curva della rete che passi per e per , cioè che abbia un punto doppio in . Dunque: allorchè tutte le curve di una rete hanno un punto comune, una di esse ha ivi un punto doppio, e quelle che nel punto medesimo toccano una stessa retta formano un fascio.

(b) Suppongasi in secondo luogo che tutte le curve di una data rete abbiano un punto comune ed ivi tocchino una stessa retta . Condotta una retta ad arbitrio per , vi saranno infinite curve della rete passanti pel punto di successivo ad , e tali curve formeranno un fascio. Ciascuna di esse è incontrata sì da che da in due punti riuniti in , cioè per esse questo punto è doppio: talchè quel fascio non cambia col mutarsi della retta intorno ad . Fra le curve del fascio, due sono cuspidate in (48), ed una ha per tangente la retta .4 Ed invero quest’ultima curva è individuata dal dover incontrare in tre punti ed in due punti, tutti coincidenti in .

93. Date tre curve , gli ordini delle quali siano rispettivamente , proponiamoci di determinare il luogo di un punto le cui rette polari, rispetto a quelle curve, concorrano in uno stesso punto; ossia, con altre parole (69, a), il luogo di un punto nel quale si seghino le prime polari di uno stesso punto relative alle curve date. A tal uopo procederemo così: per un punto fissato ad arbitrio si conduca una retta [p. 398 modifica]e si determinino i punti dotati della proprietà che in ciascun d’essi concorrano le prime polari di uno stesso punto di ; indi, fatta girare questa retta intorno ad , si otterranno tutt’i punti del luogo richiesto.

Le prime polari de’ punti di rispetto alle curve formano due fasci projettivi (77), onde le curve corrispondenti, cioè le polari di uno stesso punto di , si segheranno ne’ punti di una curva dell’ordine passante pei punti delle basi de’ due fasci. E qui si noti che la base del primo fascio è formata dagli punti ne’ quali la prima polare di rispetto a sega la prima polare di un altro punto qualunque di rispetto alla curva medesima. Così abbiamo ottenuto la curva , luogo di un punto pel quale passino le prime polari, relative a e , di uno stesso punto di .

Ogni retta condotta pel punto fisso individua una curva . Di tali curve ne passa una sola per un punto qualunque . Infatti, se per devono passare le prime polari relative a e , il polo sarà l’intersezione delle rette polari di (69, a); il punto determina una retta passante per , e questa individua la curva passante per . Dunque, variando intorno ad , la curva genera un fascio (41).

Ora, se alla curva si sostituisce , la retta darà luogo analogamente ad una curva d’ordine , la quale passerà per gli stessi punti-base del primo fascio, che ha servito per generare anche . Variando intorno ad , le corrispondenti curve formano un fascio. I due fasci formati dalle curve sono projettivi fra loro, perchè ciascun d’essi è projettivo al fascio di rette passanti per . Laonde quei due fasci, l’uno dell’ordine , l’altro dell’ordine , genereranno una curva dell’ordine (50). Siccome però due curve corrispondenti hanno sempre in comune punti situati in una curva fissa dell’ordine (la prima polare del punto rispetto a ), così gli altri punti comuni alle omologhe curve genereranno una curva dell’ordine (50, a). E questo è evidentemente il luogo richiesto.

Questa curva si chiamerà la Jacobiana delle tre curve date5.

Se le tre curve date passano per uno stesso punto , le rette polari di questo passano per esso medesimo; dunque, se le curve hanno punti comuni a tutte e tre, questi sono anche punti della loro Jacobiana.

Se una delle curve date, per esempio , ha un punto doppio , la retta polare di questo punto rispetto a è indeterminata (72), onde può risguardarsi come tale la retta che unisce all’intersezione delle rette polari di questo punto relative alle altre due curve . Dunque la Jacobiana passa pei punti doppi delle curve date. [p. 399 modifica]

94. Suppongasi , cioè due delle curve date siano dello stesso ordine. In tal caso la Jacobiana non si cambia, se a quelle due curve se ne sostituiscono due altre qualunque del fascio da esse determinato. Il che è evidente, perchè la Jacobiana è il luogo di un punto pel quale passino le tre prime polari d’uno stesso polo; e d’altronde le prime polari d’uno stesso polo rispetto a tutte le curve d’un fascio formano un nuovo fascio (84, a), cioè passano per gli stessi punti.

Nel caso attuale, la Jacobiana ammette una seconda definizione. Se è un punto di essa, le rette polari di rispetto alle tre curve date concorrono in uno stesso punto . Ma è il punto pel quale passano le rette polari di rispetto a tutte le curve del fascio (84, c); cioè la retta polare di rispetto a sarà anche retta polare dello stesso punto relativamente ad una curva del fascio anzidetto. Onde può dirsi che la Jacobiana delle curve date è il luogo di un punto avente la stessa retta polare rispetto a e ad alcuna delle curve del fascio ; il qual luogo abbiamo già investigato altrove (87).

95. Supponiamo , cioè le curve date siano tutte e tre dello stesso ordine . Siccome a due qualunque di esse se ne ponno sostituire (94) due altre del fascio da quelle due determinato, così alle tre date se ne potranno sostituire tre qualunque della rete (92) individuata dalle curve date (purchè non appartengano ad uno stesso fascio), senza che la Jacobiana sia punto alterata. Onde, data una rete di curve d’ordine , il luogo di un polo, le cui rette polari rispetto alle curve della rete concorrano in uno stesso punto, è una linea d’ordine , passante pei punti doppi delle curve medesime (93). Perciò, nel caso di cui si tratta, la Jacobiana coincide coll’Hessiana della rete (92). Abbiamo così un’altra definizione dell’Hessiana di una data rete geometrica.

Vogliamo ora esaminare più davvicino il caso nel quale le curve della rete si seghino tutte in uno stesso punto dato, ed anche quello in cui le curve medesime si tocchino nel punto comune {e una di esse abbia ivi una cuspide, e per tangente la tangente comune}. Nel primo caso possiamo supporre che una delle tre curve individuanti la rete sia quella per la quale il punto dato è un punto doppio; e nel secondo caso potremo assumere quella curva che nel punto dato ha una cuspide ed ivi tocca la tangente comune a tutte le curve della rete (92, a, b).

96. Siano date adunque tre curve dello stesso ordine , aventi un punto comune, il quale sia doppio per una di esse, ; in quel punto si collochi il polo , del quale abbiamo fatto uso (93) nella ricerca generale della Jacobiana.

(a) Le prime polari del punto rispetto alle curve passano per , onde per questo punto passerà anche la curva , qualunque sia la retta a cui corrisponde (93).

La curva corrispondente ad una data retta rimane la stessa, se alle curve [p. 400 modifica] sostituisconsi due curve qualunque del fascio determinato da quelle. Sostituendo a la curva tangente in alla retta , le prime polari di tutt’i punti di relative a passeranno per (70). Per passa anche la prima polare di relativa a ; quindi la tangente in alla curva sarà la retta che ivi tocca la prima polare di rispetto a (51, a), ossia la retta . Dunque: quando le curve sono dello stesso ordine e passano per , anche la curva passa per ed ivi tocca quella retta a cui essa corrisponde.

(b) Essendo un punto doppio per la curva , le prime polari, relative ad essa, di tutt’i punti della retta passano per ed ivi toccano una medesima retta , la coniugata armonica di rispetto alle due tangenti di nel punto doppio (74, c).

La curva (93) è generata da due fasci projettivi, l’uno delle prime polari de’ punti di rispetto a , l’altro delle prime polari de’ medesimi punti rispetto a . Le curve del primo fascio hanno in una stessa tangente . E alla curva del secondo fascio che passa per , cioè alla prima polare di rispetto a , corrisponde la prima polare di relativa a , ossia quella curva del primo fascio per la quale è un punto doppio. Per conseguenza, qualunque sia la retta , la curva generata dai due fasci ha in un punto doppio (51, b). Inoltre, quando sia una delle tangenti di nel punto doppio (51, d), ovvero quando sia tangente in alla curva , nel qual caso anche le curve del secondo fascio passano per (52, a), in entrambi questi casi, dico, la retta è una delle tangenti a nel punto doppio .

Dunque: se e hanno un punto comune che sia doppio per , la curva relativa ad una data retta (passante per ) ha un punto doppio in ; ed è una delle due relative tangenti, ogniqualvolta essa sia tangente in ad una delle due curve date.

(c) Così abbiamo veduto che, nel caso preso in considerazione, il punto appartiene a tutte le curve relative alle rette condotte per esso (a) ed è doppio per tutte le curve corrispondenti alle rette medesime (b). Dunque (52) sarà un punto triplo per la complessiva curva d’ordine generata dai due fasci projettivi delle e delle (93). Ma di questa curva complessiva fa parte la prima polare di relativa a , la quale prima polare passa una volta per ; dunque questo punto è doppio per la curva rimanente d’ordine , cioè per la Jacobiana.

Le rette sono tangenti (a) alle relative curve ; dunque (52) le tangenti alla curva risultante d’ordine nel punto triplo saranno quelle rette che toccano anche le relative curve . Ma tocca la corrispondente (b) quando è tangente a o a ; epperò le tre tangenti nel punto triplo sono la tangente a e le due tangenti di . Di queste tre rette, la prima è tangente (71) alla prima polare di relativa a ; dunque le altre due sono le tangenti della Jacobiana nel punto doppio . [p. 401 modifica]

Così possiamo concludere che:

(d) Data una rete di curve passanti per uno stesso punto , la curva Hessiana della rete passa due volte per ed ivi ha le due tangenti comuni con quella curva della rete, per la quale è un punto doppio.6

97. Passiamo ad esaminare il caso in cui il punto , comune alle tre curve , sia una cuspide per l’ultima di esse, e la tangente cuspidale tocchi in anche e .

(a) Le curve avendo in la stessa tangente, all’una di esse può sostituirsi quella curva del fascio che ha un punto doppio in (47); onde questo punto sarà doppio per , qualunque sia (96, b). Ed inoltre, quando coincida con , questa retta sarà una delle tangenti nel punto doppio per la corrispondente curva .

(b) Essendo una cuspide per , le prime polari, relative a questa curva, di tutt’i punti di passano per ed ivi toccano (74, c); e fra esse ve n’ha una, la prima polare di , per la quale questo punto è una cuspide e è la relativa tangente cuspidale. Inoltre, la prima polare di rispetto a passa anch’essa per ed ivi tocca la medesima retta . Dunque (51, e), qualunque sia , la curva ha una cuspide in , e la tangente cuspidale è .

Ma se coincide con , le prime polari de’ punti di relative a hanno un punto doppio in (78, a), mentre le prime polari de’ medesimi punti rispetto a passano semplicemente per (70); ond’è che quella curva , che corrisponde ad coincidente con , ha un punto triplo in (52).

(c) Così è reso manifesto che le curve hanno in un punto doppio, mentre le curve hanno ivi una cuspide, e è la comune tangente cuspidale. Ne consegue (52) che è un punto quadruplo per la complessiva curva d’ordine generata dai due fasci projettivi delle e che due de’ quattro rami passanti per sono ivi toccati dalla retta . Gli altri due rami sono toccati in dalle tangenti della curva corrispondente a quella curva che ha in un punto triplo (52, a). La curva , per la quale è un punto triplo, corrisponde ad coincidente con (b), epperò corrisponde appunto a quella curva che ha un ramo toccato in dalla (a). Dunque tre delle quattro tangenti nel punto quadruplo della curva complessiva d’ordine sono sovrapposte in .

La curva d’ordine è composta della Jacobiana delle tre curve date e della prima polare di rispetto a . Questa prima polare passa una volta per ed ivi ha per tangente ; dunque la Jacobiana passa tre volte per e due de’ suoi rami sono ivi toccati dalla retta . Ossia:

(d) Data una rete di curve aventi un punto comune ed ivi la stessa tangente [la quale sia anche la tangente in ad una curva della rete, cuspidata in ],7 la curva Hessiana della rete ha tre rami passanti per , due de’ quali sono ivi tangenti alla retta . [p. 402 modifica]

98. Supposte date di nuovo tre curve , i cui ordini siano rispettivamente , cerchiamo di quale ordine sia il luogo di un punto nel quale concorrano le rette polari di uno stesso polo rispetto alle tre curve date. Sia una retta arbitraria, un punto qualunque di essa; se per devono passare le rette polari relative a , il polo sarà una delle intersezioni delle prime polari di rispetto a quelle due curve. Se per dee passare anche la prima polare relativa a , il polo di essa sarà nella retta polare di rispetto a questa curva; e le rette polari degli punti incontreranno in altrettanti punti .

Assunto invece ad arbitrio un punto in , se per esso dee passare la retta polare relativa a , il polo è nella prima polare di rispetto alla detta curva; la quale prima polare è una curva dell’ordine . Le rette polari dei punti di relative a inviluppano una curva della classe (81), ed analogamente le rette polari dei punti di rispetto a inviluppano un’altra curva della classe . In queste due curve-inviluppi, a ciascuna tangente dell’una corrisponde una tangente dell’altra, purchè si assumano come corrispondenti quelle tangenti che sono polari di uno stesso punto di rispetto a e . Dunque (83, a) le intersezioni delle tangenti omologhe formeranno una curva dell’ordine , la quale segherà la retta in altrettanti punti .

Così a ciascun punto corrispondono punti , mentre ad ogni punto corrispondono punti . Onde la coincidenza di due punti omologhi , in avverrà volte; cioè questo numero, esprime l’ordine del luogo richiesto. Questa curva passa evidentemente pei punti comuni alle tre curve date, ov’esse ne abbiano.

(a) Quando le tre curve date siano dello stesso ordine , ad esse ponno sostituirsi altre tre curve della rete da quelle individuata, senza che venga a mutarsi il luogo dianzi considerato. Questo, che in tal caso è dell’ordine , può chiamarsi la Steineriana della rete (88, d).

(b) Data una rete di curve d’ordine , ogni punto della curva Hessiana è il polo d’infinite rette polari relative alle curve della rete, le quali rette concorrono in uno stesso punto (95) della Steineriana. In questo modo, a ciascun punto dell’Hessiana corrisponde un punto della Steineriana e reciprocamente; quindi la retta che unisce due punti corrispondenti inviluppa una terza curva della classe (83, b).

Ogni retta passante per è adunque polare del punto rispetto ad una curva della rete. Del resto, se la retta polare passa pel polo, questo giace nella curva fondamentale, che è ivi toccata dalla retta polare medesima. Ne segue che la retta tocca in una curva della rete; ma tutte le curve della rete che passano per si toccano ivi fra loro (92), dunque la comune tangente di queste curve è .8

Note

  1. Möbius, l. c. p. 266. — Steiner, l. c. p. 5.
  2. [p. 502 modifica]Questa proposizione fondamentale non deriva così immediatamente dalla definizione data della rete.
    In un foglietto manoscritto il Cremona ha indicato di sostituire alla parte del n. 92 che giunge fino a questo punto la trattazione seguente:
    Abbiamo veduto [n. 41] che, se , sono le equazioni di due curve dello stesso [p. 503 modifica]ordine , l’equazione rappresenta un sistema semplicemente infinito () di curve dello stesso ordine , individuate dagli valori del rapporto o parametro . A questo sistema, caratterizzato dalla proprietà che per un punto arbitrario del piano passa una ed una sola curva, si è dato il nome di fascio. Siccome i valori del rapporto si possono rappresentare coi punti di una retta (punteggiata) o coi raggi di un fascio, così le curve del fascio si possono riferire univocamente agli elementi di una retta punteggiata o di un fascio di raggi (assumendo ad arbitrio tre coppie di elementi corrispondenti). Analogamente, se , , sono le equazioni di tre curve d’ordine non appartenenti ad uno stesso fascio, ossia linearmente indipendenti, l’equazione rappresenta un sistema doppiamente infinito () di curve d’ordine , determinate dagli valori dei due rapporti . A questo sistema, che è caratterizzato dalla proprietà che per due punti arbitrari passa una sola curva, ossia che per un punto arbitrario passano curve formanti un fascio, si dà il nome di rete. Come i valori dei rapporti si possono rappresentare coi punti (o colle rette) di un piano, così le curve di una rete si possono riferire univocamente ai punti (o alle rette) di un piano. Rappresentando per esempio le curve della rete coi punti del piano, i fasci di curve contenuti nella rete vengono ad essere rappresentati dalle rette del piano stesso. Perciò si vede subito che la rete contiene fasci; che due fasci della rete hanno una curva comune; e che una curva è comune a fasci [della rete]. Una rete è determinata da tre curve (dello stesso ordine) non appartenenti ad uno stesso fascio, ovvero da due fasci (dello stesso ordine) aventi una curva comune. Tre curve non hanno, in generale, punti comuni; ma se tre curve determinanti una rete hanno punti comuni, essi sono comuni a tutte le curve della rete. In modo simigliante, l’equazione rappresenta un sistema triplamente infinito () di curve dello stesso ordine, corrispondenti agli valori dei tre rapporti , supposto che le quattro curve , , , non appartengano ad una stessa rete. In questo sistema tutte le curve che passano per uno stesso punto arbitrario formano una rete; tutte quelle che passano per due punti arbitrari formano un fascio; e per tre punti quali si vogliano passa una sola curva del sistema. I valori dei rapporti si possono rappresentare coi punti dello spazio a tre dimensioni; perciò le curve del sistema in discorso si possono far corrispondere univocamente ai punti dello spazio. I piani dello spazio rappresentano allora le reti contenute nel sistema; e le rette dello spazio ne rappresentano i fasci. Donde si trae subito che due reti (del sistema) hanno un fascio comune, che tre reti hanno una curva comune, che una rete ed un fascio hanno una curva comune, e che due fasci hanno una curva comune solamente quando sono contenuti in una stessa rete. Proseguendo si potrebbero considerare sistemi di curve d’ordine . In generale un sistema è rappresentato da un’equazione , dove le ... [manca il seguito].
  3. [p. 503 modifica]Questa denominazione l’Autore voleva poi sostituita dovunque con Jacobiana della rete, pur conservando il nome Hessiana per la linea definita in (90, a). (Ciò s’accorda colla designazione: Jacobiana di tre curve, introdotta al n. 93).
  4. [p. 503 modifica]Nell’originale, dopo la citazione (48), era detto: «ed una di queste ha per [p. 504 modifica]tangente cuspidale la retta ». Invece quella curva del fascio che ha per una tangente in non sarà in generale una delle due curve che sono cuspidate in . L’Autore, in (A), aveva cancellato quella frase ed anche la successiva, con cui finisce questo n. 92.
  5. Sylvester, l. c. p. 546.
  6. [p. 504 modifica]Esistono alcuni fogli manoscritti del Cremona in cui si ricerca la moltiplicità della Jacobiana di tre curve, in punti che presentano altri casi particolari. Sono però abbozzi, che non occorre publicare. Riproduciamo invece una parte di ciò che è scritto, in (A), accanto a questo n. 96: «Quando o sia un punto plo per le tre curve , la curva corrispondente ad una retta ha in un punto plo, ed ivi ha per tangenti ed i raggi doppi dell’involuzione determinata dai due gruppi di tangenti in alle curve (in virtù del n. 51). Analogamente per ; quindi, siccome tutte le curve hanno in un punto plo, ed inoltre due curve corrispondenti hanno sempre una tangente comune , così sarà un punto plo per la curva complessiva generata dai fasci delle . Ma di questa fa parte la 1.ª polare di rispetto a , che ha in un punto plo; dunque la Jacobiana avrà in un punto multiplo secondo il numero . «Se una delle curve della rete, per esempio , ha in un punto plo, le tangenti di sono tutte tangenti anche della Jacobiana. Le altre tangenti di questa sono i raggi della Jacobiana dei due gruppi di tangenti in alle curve . «Da ciò segue, nella teoria delle polari, che se la curva fondamentale ha un punto plo la Hessiana ha ivi un punto plo; le due curve hanno [in esso] tangenti comuni; perciò quel punto assorbe intersezioni». Seguono altre considerazioni (incomplete) dirette a provare che in generale un punto plo con tangenti riunite produce sul numero dei flessi, come (n. 74) sulla classe, la stessa diminuzione che produrrebbero nodi ed cuspidi.
  7. [p. 504 modifica]Se non si aggiunge al testo originale la condizione che qui s’è messa fra [ ], la frase che vien dopo va modificata così: «la curva Hessiana della rete ha tre rami passanti per , uno dei quali è ivi tangente alla retta e gli altri due sono toccati dalle due curve della rete che hanno una cuspide in ». Questa modificazione appunto si trova in (A). — Cfr. la nota [78].
  8. [p. 504 modifica]Cfr. la nota **) a piè di pag. 394.