Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Porismi di Chasles e teorema di Carnot

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Art. 8. Porismi di Chasles e teorema di Carnot

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Numero delle condizioni che determinano una curva di dato ordine o di data classe Altri teoremi fondamentali sulle curve piane

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Fig. 6.a

36. Sia dato (fig. 6.a) un triangolo . Un punto qualunque di è individuato dal rapporto ; e parimenti, un punto qualunque di è individuato dal rapporto . Tirate le rette , queste s'incontrino in un punto , che è, per conseguenza, determinato dai due rapporti , i quali chiameremo coordinate del punto . La retta seghi in : così si ottiene un terzo rapporto . Fra i tre rapporti ha luogo una semplice relazione, poiché, in virtù del noto teorema di [p. 351 modifica]Ceva1, si ha:

.

Quando il punto è sopra una delle due rette , una delle due coordinate è nulla. Se è sopra , le due coordinate sono entrambe infinite, ma è finito il loro rapporto, che è espresso da .

Supponiamo che si muova sopra una retta data: i punti e genereranno sopra e due punteggiate projettive, cioè ad ogni posizione del punto corrisponderà una sola posizione di e reciprocamente. Dunque, fra i rapporti che determinano i due punti , avrà luogo una equazione di primo grado rispetto a ciascun d'essi. Siccome poi, nel punto in cui la retta data incontra , entrambi i rapporti diventano infiniti, così quell'equazione non può essere che della forma:

1)
.

Questa relazione fra le coordinate di un punto qualunque di una retta data è ciò che si chiama equazione della retta.

Di quale forma sarà la relazione fra le coordinate di , se questo punto si muove percorrendo una curva d'ordine ? Una retta qualunque, la cui equazione sia la 1), incontra la curva in punti; quindi la relazione richiesta e l'equazione 1) dovranno essere simultaneamente sodisfatte da coppie di valori delle coordinate ; la qual cosa esige necessariamente che la richiesta relazione sia del grado rispetto alle coordinate del punto variabile, considerate insieme.

Dunque, se il punto percorre una curva d'ordine , fra le coordinate variabili di avrà luogo una relazione costante della forma:

2)
,

la quale può dirsi l'equazione della curva luogo del punto mobile.

Reciprocamente: se il punto varia per modo che fra le sue coordinate abbia luogo una relazione costante della forma 2), il luogo del punto è una curva d'ordine . [p. 352 modifica]37. Consideriamo di nuovo (fig. 7a) un triangolo ; un punto in , determinato dal rapporto ed un punto in , determinato dal rapporto , individuano una retta la quale è, per conseguenza, determinata dai due rapporti , .

Fig. 7.a

Questi due rapporti si chiameranno coordinate della retta. La quale poi incontra in un terzo punto , e così dà luogo ad un terzo rapporto . In virtù del noto teorema di Menelao2, i tre rapporti sono connessi fra loro dalla relazione semplicissima:

.

Quando la retta passa per l'uno per l'altro de' punti , una delle due coordinate è zero. Se poi la retta passa per , entrambe le coordinate sono infinite, ma è finito il loro rapporto .

Supponiamo che la retta varii girando intorno ad un punto dato. Allora i punti genereranno due punteggiate projettive, epperò fra le due coordinate di avrà luogo una equazione di primo grado rispetto a ciascuna coordinata. E siccome, quando la retta mobile passa per , entrambe le coordinate divengono infinite, così la forma dell'equazione sarà:

1')
.

Questa relazione fra le coordinate di una retta mobile intorno ad un punto dato può chiamarsi l'equazione del punto (considerato come inviluppo della retta mobile). [p. 353 modifica]Suppongasi ora che la retta varii inviluppando una curva della classe ; qual relazione avrà luogo fra le coordinate della retta variabile? Da un punto qualunque, l'equazione del quale sia la 1'), partono tangenti della curva, cioè posizioni della retta mobile. Dunque la relazione richiesta e l'equazione 1') dovranno essere sodisfatte simultaneamente da sistemi di valori delle coordinate. Onde s'inferisce che la relazione richiesta sarà del grado rispetto alle coordinate considerate insieme. Dunque: se una retta si muove inviluppando una curva della classe , fra le coordinate variabili della retta avrà luogo una relazione costante della forma:

2')
,

la quale può risguardarsi come l'equazione della curva inviluppata dalla retta mobile.

Viceversa: se una retta varia per modo che le sue coordinate sodisfacciano costantemente ad una relazione della forma 2'), l'inviluppo della retta sarà una curva della classe .

I due importanti porismi dimostrati in questo numero e nel precedente sono dovuti al sig. Chasles3.

38. Riprendiamo l'equazione 2). Pei punti in cui la curva da essa rappresentata sega la retta , la coordinata è nulla e l'altra coordinata si desumera dall'equazione medesima, ove si faccia . Si avrà così:

Analogamente, pei punti in cui la curva sega si ottiene:

Divisa l'equazione 2) per e avuto riguardo al teorema di Ceva, si ha:

,

[p. 354 modifica]

dove facendo si avranno i punti comuni alla curva ed alla retta ; dunque:

.

Dai tre risultati così ottenuti si ricava:

3)
,

e si ha così il celebre teorema di Carnot4:

Se una curva dell'ordine incontra i lati di un triangolo ne'punti in , in , in , si ha la relazione 3).

Questo teorema si applica anche ad un poligono qualsivoglia.

39. Per il teorema di Carnot rientra in quello di Menelao. Per , si ha una proprietà di sei punti d'una curva di second'ordine. E siccome una curva siffatta è determinata da cinque punti (34), così avrà luogo il teorema inverso:

Se nei lati di un triangolo esistono sei punti tali che si abbia la relazione:

4)
,

i sei punti sono in una curva di second'ordine.

Se i punti coincidono rispettivamente con , cioè se la curva tocca i lati del triangolo in , la precedente relazione diviene:

.

De' due segni, nati dall' estrazione della radice quadrata, non può prendersi il positivo, poiché in tal caso, pel teorema di Menelao, i tre punti sarebbero in una retta: il che è impossibile, non potendo una curva di second'ordine essere incontrata da una retta in più che due punti. Preso adunque il segno negativo, si conclude, in virtù del teorema di Ceva, che le rette concorrono in uno stesso punto. Cioè: se una curva di second'ordine è inscritta in un triangolo, le rette che ne uniscono i vertici ai punti di contatto de' lati opposti passano per uno stesso punto. [p. 355 modifica](a). Per , dal teorema di Carnot si ricava che, se i lati d'un triangolo segano una curva del terz'ordine (o più brevemente cubica) in nove punti ha luogo la relazione segmentarla:

5)
.

Se i sei punti sono in una curva di second'ordine, si avrà anche la relazione 4), per la quale dividendo la 5) si ottiene:

cioè i punti saranno in linea retta. E viceversa, se sono in linea retta, gli altri sei punti sono in una curva di second'ordine.

(b). Quando il luogo di second'ordine riducasi al sistema di due rette coincidenti, si ha:

Se ne' punti in cui una cubica è segata da una retta data si conducono le tangenti, queste vanno ad incontrare la curva in tre altri punti che giacciono in una seconda retta.5

Se una retta tocca una cubica in un punto e la sega semplicemente in , questo secondo punto dicesi tangenziale del primo. Onde possiamo dire che, se tre punti di una cubica sono in una retta , i loro tangenziali giacciono in una seconda retta .

La retta dicesi retta satellite di (retta primaria), ed il punto comune alle , si chiama punto satellite di .

Se è tangente alla cubica, il punto satellite coincide col tangenziale del punto di contatto, e la retta satellite è la tangente alla cubica nel punto satellite.

(c). Supponendo che la retta divenga una tangente stazionaria della cubica, si ha:

Se da un flesso di una cubica si conducono tre trasversali arbitrarie, queste la segano di nuovo in sei punti situati in una curva di secondi ordine.

Dunque, se di questi sei punti, tre sono in linea retta, gli altri tre saranno in una seconda retta, epperò:

Se da un flesso si conducono tre tangenti ad una cubica, i tre punti di contatto sono in linea retta.6 [p. 356 modifica](d). Supposti i punti in linea retta, gli altri sei sono in una curva di second'ordine; onde, se tre di questi, , coincidono, si avrà:

Se tre trasversali condotte da un punto di una cubica tagliano questa in tre punti situati in linea retta ed in altri tre punti , la cubica avrà in un contatto tripunto con una curva di second'ordine passante per .

Se coincidono in un flesso, dal teorema precedente si ricava:

Ogni trasversale condotta per un flesso di una cubica sega questa in due punti, ne'quali la curva data ha due contatti tripunti con una stessa curva di second'ordine.7

E per conseguenza:

Se da un flesso di una cubica si conduce una retta a toccarla in un altro punto, in questo la cubica ha un contatto sipunto con una curva di second'ordine.8

40. Consideriamo una curva-inviluppo della classe , rappresentata dall'equazione 2'). Per ottenere le tangenti di questa curva, passanti per , dobbiamo fare ivi ; l'equazione risultante darà i valori dell'altra coordinata relativi ai punti in cui il lato è incontrato dalle tangenti passanti per . Avremo così:

.

Analogamente, pei punti in cui il lato è incontrato dalle tangenti passanti per , avremo:

.

Dividasi ora l'equazione 2') per ; avuto riguardo alla relazione:

,

si otterrà:

. Se in questa equazione si fa , si avranno i punti in cui è [p. 357 modifica]incontrata dalle tangenti che passano per . Quindi

.

I tre risultati così ottenuti danno:

3')
.

Si ha dunque il teorema:

Se dai vertici di un triangolo si conducono le tangenti ad una curva della classe , le quali incontrino i lati opposti né punti ad , fra i segmenti determinati da questi punti sui lati si ha la relazione 3').9

Per si ricade nel teorema di Ceva. Per si ha una proprietà relativa a sei tangenti di una curva di seconda classe; e se ne deduce il teorema che, se una tal curva è circoscritta ad un triangolo, le tangenti nei vertici incontrano i lati opposti in tre punti situati sopra una stessa retta. Ecc. ecc.

41. Si rappresentino con , due equazioni analoghe alla 2), relative a due curve d'ordine . Indicando con una quantità arbitraria, l'equazione rappresenterà evidentemente un'altra curva d'ordine . I valori delle coordinate , che annullano ed , annullano anche ; dunque le intersezioni delle due curve rappresentate da , appartengono tutte alla curva rappresentata da .10 Siccome poi quest'ultima equazione rappresenta una curva dell'ordine per ciascuno degli infiniti valori che si possono attribuire a , così abbiamo il teorema:

Per le intersezioni di due curve dell'ordine passano infinite altre curve dello stesso ordine.

Altrove (34) si è dimostrato che una curva d'ordine è determinata da condizioni. Dal teorema precedente segue che per punti passa, in generale, una sola curva d'ordine : poiché, se per quei punti passassero due curve di quest'ordine, in virtù di quel teorema, se ne potrebbero tracciare infinite altre. [p. 358 modifica] Per punti dati (34) passano infinite curve d'ordine , due delle quali si segheranno in altri punti; questi apparterranno dunque anche a tutte le altre curve descritte pei punti dati. Ossia:

Per punti dati ad arbitrio passano infinite curve d'ordine , le quali, [51] oltre i dati, hanno in comune altri punti determinati.11

Una qualunque di tali curve è individuata da un punto arbitrario, aggiunto ai dati ; cioè fra le infinite curve passanti per punti dati, ve n'ha una sola che passi per un altro punto preso ad arbitrio. Ne segue che l'indice della serie formata da quelle infinite curve (34) è 1. Ad una serie siffatta si dà il nome di fascio; ossia per fascio d'ordine s'intende il sistema delle infinite curve di quest'ordine, che passano per punti dati ad arbitrio e, per conseguenza, per altri punti individuati. Il complesso delle intersezioni comuni alle curve d'un fascio dicesi base del fascio.

Analoghe proprietà hanno luogo per le curve di data classe. Le tangenti comuni a due curve di classe toccano infinite altre curve della stessa classe. Vi ha una sola curva di classe che tocchi rette date ad arbitrio. Tutte le curve di classe tangenti ad rette arbitrarie hanno altre tangenti comuni individuate.

Note

  1. Dato da Ceva nel 1678. — Einleitung
  2. Menelaus, Sphaerica, III, 1. — Einleitung.
  3. Aperçu historique, p. 280. <Chasles, Lettre à M. Quetelet. Correspondance mathématique et physique, t. VI, pag. 81, Bruxelles 1830.>
  4. Géométrie de position, Paris 1803, p. 291 <n. 235; e p. 436, n. 378. > [50]
  5. Vedi il trattato di Maclaurin sulle curve del 3.° ordine, tradotto da Jonquières: Mélanges de géométrie pure, Paris 1856, p. 223.
  6. Maclaurin, l. c. p. 226.
  7. Poncelet, Analyse des transversales (Giornale di Crelle, t. 8, Berlino 1832, p. 129-135).
  8. Plücker, Ueber Curven dritter Ordnung und analytische Beweisführung (Giornale di Grelle, t. 34, Berlino 1847, p. 330).
  9. Chasles, Géométrie supérieure, Paris 1852, p. 361.
  10. Lamé, Examen des différentes méthodes employées pour résoudre les problèmes de géométrie, Paris 1818, p. 28.
  11. Plücker, Analytisch-geometrische Entwicklungen, 1. Bd., Essen 1828, p. 229.