L'Euclide deve essere bandito dalle scuole classiche/Articolo II

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Articolo II

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Articolo II.

Intorno al modo di dimostrare i teoremi.


Incomincio dal libro I.°, proposizione 4.a, teorema I.°.

Se due triangoli hanno due lati rispettivamente uguali a due lati, ed hanno uguale l’angolo contenuto dai lati uguali, avranno ancora la base eguale alla base, ed il triangolo sarà eguale al triangolo, e degli angoli saranno uguali l’uno all’altro quelli che sono opposti ai lati uguali.

Io non so comprendere questo modo di enunciare i teoremi; mi sembra, se non barbaro, certamente ambiguo.

Esamino la prima proposizione: se due triangoli hanno due lati rispettivamente uguali a due lati: e qui parmi di vedere due lati di due triangoli rispettivamente uguali a due lati di un [p. 14 modifica]terzo triangolo; poscia dice: ed hanno uguale l’angolo contenuto da lati uguali avranno ancora la base uguale alla base, ed il triangolo sarà uguale al triangolo, e degli altri angoli saranno uguali l’uno all’altro quelli che sono opposti ai lati uguali.

Beato quegli che non trova confusione in questo modo di esprimere i teoremi!

A me sembra che il detto teorema sarebbe annunciato con molto più chiarezza e precisione nel seguente modo:

Due triangoli si provano uguali se hanno due lati e l’angolo da essi compreso rispettivamente uguali.

Quindi, inferire da ciò che nei triangoli uguali gli angoli uguali sono quelli opposti ai lati uguali.

Anche la dimostrazione è difettosa inquantochè si trova ripetuto il teorema collo stabilire i due triangoli con gli elementi uguali.

Per convincere il lettore di questo difetto mi faccio un debito di riportare la dimostrazione per intero.

Siano due triangoli ABC, DEF, i quali abbiano due lati AB, AC uguali ai due lati DE, [p. 15 modifica]DF l’uno all’altro, cioè il lato AB uguale a DE, ed il lato AC uguale a DF, e l’angolo BAC uguale all’angolo EDF. Dico ancora la base BC essere uguale alla base EF, ed il triangolo ABC uguale al triangolo DEF, e gli altri angoli uguali agli altri angoli, cioè l’angolo ABC all’angolo DEF, e l’angolo ACB all’angolo DFE1

Perciocché, se si adatta il triangolo ABC sul triangolo DEF, posto il punto A sovra D, e la retta AB sovra DE, ancora il punto B si adatterà al punto E, per essere la AB uguale alla DE, e adattandosi la AB alla DE, eziandio la retta AC si adatterà alla DF, perchè l’angolo BAC è uguale all’angolo EDF. Onde ancora il punto C si adatterà ad F, perchè la linea retta AC è uguale alla linea retta DF. Ma eziandio il punto B sta sopra E. Adunque altresì la base BC si adatterà alla base EF, perciocché, se, adattandosi il punto B al punto E, e C ad F, la base BC non si adattasse alla base EF, due linee rette chiuderebbero uno spazio, il che non è. Adunque la base BC si adatterà alla base EF e sarà uguale ad essa. Onde ancor tutto il triangolo ABC si adatterà a tutto il triangolo DEF e gli sarà eguale, e gli altri angoli si adatteranno agli altri angoli, e saranno eguali [p. 16 modifica]ad essi, cioè l’angolo ABC all’angolo DEF, e l’angolo ACB all’angolo DFE. Adunque, ecc.

Io credo che basta avere fior di senno per convincersi del modo improprio con che Euclide o i suoi traduttori hanno dimostrato il proposto teorema.

Una sconnessione d’idee, ed una espressione di queste con linguaggio veramente singolare, ecco ciò che io scorgo nella dimostrazione di quel teorema.

Ebbene, uno mi dirà, come vorresti dimostrarlo con ragionamento più logico e con linguaggio più preciso?

Ascoltami, e decidi.

Fermo nell’enunciato del teorema, ragiono così:

Sieno infatti ABC, DEF i due triangoli, di cui lato AB = DE; lato AC = DF; ang. A=ang. D: sovrapposto triangolo ABC sul triangolo DEF in modo che il lato AB coincida con il suo uguale DE, ed in guisa che i punti A, B coincidano rispettivamente con i punti D, E; per essere ang. A = ang. D, AC debbe trovarsi sul lato DF, ed il punto C sovra F: coincidendo gli estremi B, C della base BC cogli estremi E, F della base EF, le due basi sono uguali e coincidenti; coincidendo così tutte le parti dell’un triangolo colle parti rispettive dell’altro, i due triangoli coincidono, formano cioè come un solo triangolo; e quindi i due triangoli sonosi dimostrati uguali.

Dall’essere poi AC sovra BF e BC sovra EF [p. 17 modifica]e C sovra F, ang. C = ang. F; ed egualmente, per essere AB sovra DE e CB sovra FE, ang. B = ang. E.

Dunque, nei triangoli uguali, gli angoli uguali sono quelli opposti ai lati uguali.

Quale di queste due dimostrazioni sia la più chiara, e che proceda con più ordine ed esattezza d’idee, sta all’intelligente ed imparziale lettore darne giudizio.

Passo alla 5.a proposizione del I.° libro, e leggo:

Teorema.

Gli angoli alla base del triangolo isoscele sono uguali fra loro, e se si prolungano i lati uguali, gli angoli sotto la base saranno ancora fra loro uguali.

Per poco che si rifletta all’enunciato di questo teorema, si crederà di trovar prima nell’Euclide la dimostrazione della prima, e poscia quella della seconda parte del teorema.

Tutt’altro: ti dimostra la seconda, e poi la prima; anzi ti fa discendere alla dimostrazione di questa quasi come un corollario di quella.

Quello poi che fa nausea e anche sdegno si è di avere egli impiegata una pagina ben piena per la dimostrazione di quel semplicissimo teorema. Ciò deriva per mancanza nell’Euclide di quello esatto legame di teorema a teorema, facendoli discendere così gli uni dagli altri, come se l’uno fosse corollario dell’altro dal primo fino all’ultimo teorema di geometria. [p. 18 modifica]Un vero razionalista preferirà sempre alla dimostrazione dell’Euclide la seguente:

Teorema.

Gli angoli alla base del triangolo isoscele sono uguali fra loro, e se prolungansi i lati uguali, gli angoli sotto la base saranno ancora uguali.

Infatti sia ABC il triangolo isoscele, di cui lato AB = AC; condotta dal vertice A la perpendicolare AD sulla base BC, siccome la somma degli angoli di un triangolo è uguale a quella degli angoli d’un altro triangolo, per ciò avremo: B + m + 90° = C + n + 90°; quindi B + m = C + n; ma per essere lato AB = lato AC, dessi declinano ugualmente dalla perpendicolare AD; dunque ang. m = ang. n. Dunque B = C; lo che dimostra la verità della prima parte del nostro teorema.

Per dimostrare la seconda parte, si prolunga arbitrariamente AB, per esempio, fino in F; e AC fino in G; e così avremo due coppie di angoli adiacenti; CBA, FBC; BCA, BCG; e siccome la somma di due angoli adiacenti è uguale [p. 19 modifica]a due retti, dunque CBA + FBC = BCA + BCG; ma precedentemente abbiamo dimostrato ang. CBA = aug. BCA; duuque ang. FBC = ang. BCG, che è quauto si voleva dimostrare a compimento del proposto teorema.

A chi non preferisce questo modo di ragionare a quello di Euclide, io gli dirò, con tutto il coraggio civile che mi ritrovo: o che questi è privo affatto di buon senso; o che per un puntiglio, o smodato orgoglio vorrebbe sostenere l’inesatto contro il vero e diretto modo di ragionare.

Io sono intimamente convinto che quel grande, che Euclide si nomina, se vivesse ai tempi nostri, farebbe un trattato di geometria tutto opposto, sia nell’ordine, sia nel modo di dimostrare i teoremi, di quello che ci lasciò vergato qualche tempo prima dell’era volgare.

Per me la Geometria di Euclide ha cessato di vivere, se non prima, dopo la scoperta magna del sommo Descartes, l’applicazione dell’algebra alla geometria.

Io sono certo che tutti quei cultori delle scienze esatte, dotati di quella sana logica che non mai si disgiunge dalla cognizione profonda di tali scienze, vorranno meco convenire in riguardo a ciò che precedentemente ho esposto e dimostrato.

Proseguo a leggere il libro primo di Euclide, ed altri riprovevolissimi sconci mi si parano innanzi.

Passo alla proposizione 13.a, e leggo: [p. 20 modifica]

Teorema.

Quando una linea retta, stando sovra un’altra retta, fa due angoli, o questi sono ambedue retti, o la loro somma è uguale a due retti.

La prima parte di questo teorema, essendo evidente per se stessa, non può far parte di un teorema, che è una proposizione da dimostrarsi; è evidente per se stessa anche per l’Euclide, siccome si legge nella definizione 10.a del libro I°.

Quando una linea retta, stando sovra un’altra retta 2, fa gli angoli conseguenti fra loro uguali, questi sono ambedue retti, la prima retta si chiama perpendicolare all’altra.

Dunque è vero che quel teorema è difettoso nel suo enunciato; quindi la dimostrazione è pure difettosa.

Quel teorema deve enunciarsi così:

Un’obliqua che fa due angoli con una retta, la somma di questi due angoli è uguale a due retti.

Passo alla proposizione 16.a, e leggo:

Teorema.

Se si prolunga un lato di un triangolo, l’angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni opposti.

Qui Euclide ha fatto teorema un corollario immediato d’un altro corollario; e impiega una [p. 21 modifica]pagina per dimostrarlo; ed è obbligato richiamare, per la dimostrazione, ben cinque proposizioni.

Che l’angolo esterno in un triangolo è maggiore di ciascuno degli angoli interni opposti sia corollario immediato del corollario: l’angolo esterno in un triangolo è uguale alla somma dei due angoli interni opposti, ognuno lo sa, ed ognuno conosce la semplicità di questa dimostrazione, riducendosi ad un puro sillogismo 3.

Passo alla proposizione 17.a e leggo:

Teorema.

Due angoli di un triangolo, presi in qualunque modo, danno una somma minore di due retti.

Vedi, vedi: due angoli presi in qualunque modo! e che gli angoli si possono prendere per diritto e per rovescio? Per avere introdotto una proposizione superflua, ha reso il teorema difettoso nel suo enunciato.

Quella proposizione dovea annunciarsi così:

Due qualunque dei tre angoli di un triangolo danno una somma minore di due retti. [p. 22 modifica]Credi poi, benigno lettore, che io volessi essere tanto indulgente verso Euclide di accettare quella proposizione per un teorema? no, certo; ella è un corollario immediato del teorema:

La somma dei tre angoli di un triangolo è uguale a due retti.

Qui poi ti faccio riflettere che nella proposizione 32.a dimostra che l’angolo esterno in un triangolo è uguale alla somma degli angoli interni opposti; e che la somma dei tre angoli interni è uguale a due retti.

Paragona questo teorema con i così detti teoremi XVI.° e XVII.°, e sostienmi, se puoi, che Euclide non ha moltiplicato enti senza necessità, lo che è grave difetto.

Gli stessi difetti più o meno si ravvisano negli altri libri.

Dunque mi è forza concludere che la Geometria di Euclide, sia per l’enunciato, sia per il modo di dimostrare i teoremi, sia per la disposizione delle materie, sta troppo al di sotto della geometria moderna; lo che non mi arreca punto stupore, nel riflesso che le scienze progrediscono nella diretta ragione dei tempi, a meno che, proprio, la Geometria di Euclide non voglia credersi un libro ispirato come quello di Mose.

Chiudo questo secondo articolo, concludendo che: la Geometria di Euclide è un pessimo testo per le scuole; e un professore che intendesse farne uso per lo insegnamento, oso dire che [p. 23 modifica]egli mi darebbe prova di aver perduto il ben dell’intelletto.

Io confesso il vero che, quando mi si obbligasse ad adottare l’Euclide, per scrupolo di coscienza rinuncerei al magistero: vedi adunque, intelligente lettore, quanto sia in me radicata la persuasione che la Geometria di Euclide è un pessimo libro per le scuole.

Io richiamo l’attenzione dei cultori delle scienze esatte nel paragonare la Francia all’Inghilterra; e scorgeranno che quella nazione, per avere obliato da qualche secolo la Geometria di Euclide, conta un numero di dotti matematici molto maggiore di quello che può contare l’Inghilterra, che ha voluto fin qui conservare per testo la Geometria di Euclide in tutte le università del regno; meraviglia! perchè il criterio inglese è per natura molto più matematico del francese: vedi adunque a quali conseguenze conduce l’adottare un metodo piuttosto che un altro!!

Io sono convinto che, se in Italia si persistesse ad adottare Euclide, fra sei lustri, questa nostra nazione non conterebbe neppure un matematico.

  1. Non scorgi, amico lettore, una prolissa ripetizione dell’enunciato del teorema, non avente altro scopo che di stancare la mente del giovane studioso, facendogli contrarre una tardità di ingegno, abituandolo ad una prolissità estrema?
  2. La frase: una linea retta sta sopra ad un’altra retta, mi appaga poco.
  3. Se qui qualche cieco adoratore della Geometria di Euclide mi volesse far credere che quel sommo geometra ne volle fare di quella proposizione un teorema, e che il lungo ragionamento ritorto che egli fa è a vantaggio dello sviluppo intellettuale dell’allievo, io gli ricorderò che è un principio logico, sanzionato da tutti i filosofi, che debbesi cercare di ottenere il più possibile col meno possibile, e gli soggiungerò eziandio che le dimostrazioni di Euclide pongono a tortura più la memoria che l’intelletto giovanile.