La geometria non-euclidea/Capitolo IV/La diffusione della geometria non-euclidea

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La diffusione della geometria non-euclidea

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La diffusione della geometria non-euclidea
Capitolo IV - Ipotesi equivalenti al postulato euclideo Capitolo V

[p. 112 modifica] LA DIFFUSIONE DELLA GEOMETRIA NON-EuclideA.


§ 60. Le opere di Lobacefski e Bolyai non ebbero, al loro sorgere, quell'accoglienza che tanti secoli di lenta e continua preparazione sembravano promettere. Questo però non deve meravigliarci, perchè la storia della scienza c'insegna che ogni radicale mutamento nelle singole discipline non abbatte d'un tratto le convinzioni, i preconcetti su cui i pensatori e gli studiosi, attraverso un lungo periodo di tempo, edificarono le loro dottrine. [p. 113 modifica]

Nel nostro caso l'affermazione della geometria non-euclidea fu ritardata anche da ragioni speciali, quali la difficoltà che offrivano alla lettura le opere russe di Lobacefski, l'oscurità dei nomi dei due rinnovatori, la concezione kantiana dello spazio allora dominante.

A diradare le tenebre che avvolsero nei primi anni le nuove teorie giovarono gli scritti francesi e tedeschi di Lobacefski, ma sopratutto l'opera costante e indefessa di alcuni geometri, i cui nomi sono ora legati alla diffusione e al trionfo della geometria non- euclidea. Intendiamo parlare principalmente di C. L. GerlinG [1788-1864], R. BALTZER [1818-1887], FR. SCHMIDT [1827-1901] in Germania; di J. Hoüel [1823-1886], G. BATTAGLINI [1826-1894], E. BELTRAMI [1835-1900], A. FORTI in Francia ed in Italia.


§ 61. GerlinG, che fin dal 1816 era in corrispondenza con Gauss sulle parallele1 e che nel 1819 gli comunicava la nota di Schweikart sull'«Astralgeometrie» [cfr. §. 35], ebbe dallo stesso Gauss [1832] e con parole che non poterono non suscitare in lui una legittima curiosità, la notizia di un «kleine Schrift» sulla geometria non-euclidea composto da un giovane ufficiale austriaco, figlio di W. Bolyai2. Le successive indicazioni bibliografiche avute [1844] da Gauss sulle opere di Lobacefski e Bolyai3, indussero GerlinG a procurarsi le «Geometrische Untersuchungen» e l'«Appendix» e a toglierle così dall'oblio, in cui sembravano confinate. [p. 114 modifica]

§ 62. La corrispondenza fra Gauss e Schumacher, pubblicata fra il 1860 ed il 18634, le più volte citate opere di Lobacefski e Bolyai, i tentativi di Legendre per dare, anche nei testi elementari, un assetto rigoroso alla teoria delle parallele, indussero BALTZER a sostituire, nella 2. ed. dei suoi «Elemente der Matematik» [1867], la definizione euclidea di parallela con quella derivante dalla nuova concezione dello spazio ed a classificare, con Lobacefski, fra le proprietà sperimentali la relazione: alfa + beta + gamma = 180°, che caratterizza il triangolo euclideo. Per giustificare poi l'innovazione BALTZER non mancò di porgere un breve cenno della possibilità teorica d'una geometria più generale dell'ordinaria, fondata sull'ipotesi di due parallele e di mettere in giusto rilievo i nomi dei suoi fondatori5. Nello stesso tempo richiamò l'attenzione di Hoüel, il cui interessamento per le questioni riguardanti la geometria elementare era ben noto nel campo scientifico6, sulla geometria non-euclidea, sollecitandolo a tradurre in lingua francese le «Geometrische Untersuchungen» e l'«Appendix».


§ 63. La versione francese dell'opuscolo di Lobacefski uscì nel 1866 insieme a quella di un estratto della corrispondenza fra Gauss e Schumacher7. Il riavvicinamento così [p. 115 modifica]ottenuto fra le idee di Lobacefski-Bolyai e quelle di Gauss fu molto fecondo perchè il nome di Gauss e la sua sanzione alle scoperte dei due allora oscuri ed ignorati geometri contribuirono nel modo più efficace e sicuro a dare credito ed importanza alle nuove dottrine.

La versione francese dell'«Appendix» uscì nel 18678 preceduta da una «Notice sur la vie et les travaux des deux mathématiciens hongrois W. et J. Bolyai di Bolya.», scritta dall'architetto FR. SCHMIDT per invito dello stesso Hoüel9, e seguita dalle osservazioni di W. Bolyai, tratte dal 1° volume del «Tentamen» e da un opuscolo riassuntivo di WOLFGANG sui principi dell'Aritmetica e della Geometria10.

I dati raccolti dallo SCHMIDT sui due Bolyai furono contemporaneamente [1867] pubblicati nell'«Archiv. d. Math. u. Phy.» e nell'anno successivo A. FORTI, che già aveva [p. 116 modifica]stampato un articolo storico-critico su Lobacefski11, rendeva noto agli italiani il nome e le opere dei due ormai celebri geometri ungheresi12.

A favore di Hoüel va anche ricordato il suo interessamento pei manoscritti di GIOVANNI Bolyai, allora conservati [1867], in forza d'una disposizione testamentaria di WOLFGANG, nella Biblioteca del Collegio Riformato di Maros Vásárhely. Per mezzo del principe B. BONCOMPAGNI [1821-1894], che interessò a sua volta il Ministro ungarico dei Culti, barone EÖTVÖS, ottenne che venissero depositati [1869] presso l'Accademia ungherese delle Scienze di Budapest13 e potessero così formare oggetto dei pazienti ed accurati studi prima dello SCHMIDT, recentemente di Stäckel.

Inoltre Hoüel non mancò di adoperarsi, nelle più varie occasioni, affinchè alla geometria non-euclidea fosse assicurato un durevole trionfo: basti citare il suo «Essai critique sur les principes fondamentaux de la geometrie.»14, gli articoli «Sur l'impossibilité de demontrer par une [p. 117 modifica]construction plane le postulatum d'Euclide.»15, le «Notices sur la vie et les travaux de N. J. LOBATCHEFSKY»16, le traduzioni francesi di vari scritti relativi alla geometria non-euclidea17, per comprendere quale fervente apostolo abbia questa trovato nel celebre matematico francese.


§ 64. Con altrettanta fede ed attività introduceva e diffondeva in Italia le nuove speculazioni geometriche il nostro connazionale GIUSEPPE BATTAGLINI ed il «Giornale di Matematica», da lui fondato e diretto, dal 1867 in poi fu come l'organo ufficiale per la geometria non-euclidea.

Il primo lavoro di BATTAGLINI «Sulla geometria immaginaria di Lobatschewsky»18, scritto per stabilire direttamente il principio che serve di base alla teoria generale delle parallele ed alla trigonometria Lobacefskiana, è seguito, a poche pagine di distanza, dalla traduzione italiana della «Pangeometria»19 e questa, alla sua volta, nel 1868, dalla traduzione dell'«Appendix». Contemporaneamente, nel sesto volume del «Giornale di Matematica», usciva il celebre «Saggio di interpretazione della geometria non [p. 118 modifica]dea.» 20, di E. BELTRAMI, «che proiettò una luce inaspettata nella controversia allora agitata intorno ai principi fondamentali della geometria ed ai concetti di Gauss e LOBATSCHEFSKY21».

Sfogliando le successive annate del «Giornale di Matematica» s'incontrano frequentemente scritti relativi alla geometria non-euclidea: due di BELTRAMI [1872], che si riattaccano al precitato «Saggio»; vari di BATTAGLINI [1874-78] e D'OVIDIO [1875-77], trattanti alcune questioni della nuova geometria coi metodi proiettivi inaugurati da CAYLEY; quella di Hoüel [1870] sull'indimostrabilità del postulato euclideo; altre di CASSANI [1873-81], GÜNTHER [1876], DE-ZOLT [1877], FRATTINI [1878], RICORDI [1889], etc.


§ 65. L'opera di diffusione, iniziata e coraggiosamente condotta dai predetti geometri, ebbe pure un efficacissimo impulso da un altro gruppo di pubblicazioni, che, in quel torno di tempo [1868-72], affacciava il problema dei fondamenti della geometria sotto forma più generale ed elevata di quella informante le ricerche elementari di Gauss, Lobacefski, Bolyai. Dei nuovi metodi ed indirizzi, cui sono legati i nomi di alcuni fra i più eminenti matematici e filosofi contemporanei, parleremo brevemente nel cap. V; quì ci basti notare che l'antica questione delle parallele, alla quale le ricerche di Legendre, quarant'anni prima, parevano aver tolto ogni interesse, attrasse ancora e sotto un aspetto completamente nuovo, l'attenzione dei geometri e filosofi, diventando centro di un vastissimo campo di indagini. Delle quali alcune ebbero il semplice scopo di rendere meglio accessibile al gran pubblico matematico le opere dei [p. 119 modifica]fondatori della geometria non-euclidea, altre mirarono ad allargare i risultati, il contenuto, il significato della nuova dottrina, contribuendo in pari tempo ai progressi di certi rami speciali delle matematiche superiori22.

  1. Cfr. il t. VIII delle «Opere di Gauss», p. 167-69.
  2. Cfr la lettera di Gauss a GerlinG, a p. 220, t. VIII, delle «Op. Gauss». In questa lettera Gauss, parlando del contenuto dell'«Appendix», dice: «ich alle meine eigenen Ideen und RESULTATE wiederfinde mit grösser Eleganz entwichelt», e dell'autore dello scritto: «Ich halte diesen jungen Geometer v. Bolyai für ein Genie erster Grösse....».
  3. «Op. Gauss», t. VIII, p. 234-38.
  4. «Briefwechesel zwischen C. F. Gauss und H. C. Schumacher.»; t. II, p. 268, 431; t. V, p. 246 [Altona, 1860-63]. Intorno alle idee di Gauss, note in quell'epoca, vedi pure: SARTORIUS VON WALTERSHAUSEN; «Gauss zum Gedächtniss.», p. 80-81 [Leipzig, 1856].
  5. Cfr. gli «Elementi di Matematica» di BALTZER, tradotti da L. CREMONA, t. IV, p. 5-7, 24-31 [Genova, 1867].
  6. Hoüel aveva pubblicato, fin dal 1863, il suo famoso «Essai d'une exposition rationelle des principes fondamentaux de la Geométrie élémentaire.»; Archiv. d. Math. u. Phy., t. XL [1863].
  7. Mémoires de la Societé des Sciences Phy. et Naturelles de Bordeaux, t. IV, p. 88-120 [1866]. Fu anche pubblicata in un opuscolo separato, col titolo: «Études géométriques sur la théorie des parallèles par N. J. LOBATSCHEWSKI, Conseiller d'Etat de 1'Empire de Russie et Professeur a 1'Universitè de Kasan; traduit de l'allemand par J. Hoüel, Suivis d'un Extrait de la correspondance de Gauss et de Schumacher.» [Paris, G. Villars, 1866].
  8. Mém. Soc. Scienc. Phy. et Nat. de Bordeaux, t. V, p. 189-248. Fu anche pubblicata a parte in un opuscolo col titolo: «La science absolue de l'espace, indépendante de la vérité ou fausseté de l'Axiôme XI d'Euclide (que l'on ne pourra jamais établir a priori); suivie de la quadrature géométrique du cercle, dans le cas de la fausseté de l'Axiôme XI, par JEAN Bolyai, Capitaine au corps du génie dans 1'armée autrichienne; Précédé d'une notice sur la vie et les travaux de W. et de J. Bolyai, par M. Fr. SCHMIDT.» [Paris, G. Villars, 1868].
  9. Cfr.: P. Stäckel: «Franz Schmidt.», Jahresbericht der Deutschen Math.-Ver., t. XI, p. 141-46 [1902].
  10. Quest'opuscolo di W. Bolyai si suole brevemente citare con le prime parole del suo titolo: «Kurzer Grundriss». Fu stampato a Maros-Vásárhely nel 1851.
  11. «Intorno alla geometria immaginaria o non euclidiana. Considerazioni storico-critiche.»; Rivista Bolognese di scienze, lettere, arti e scuole, t. II, p. 171-84 [1867]. Fu stampato separatamente in un opuscolo di 16 pagine [Bologna, Fava e Garagnani, 1867]. Lo stesso scritto, con varie aggiunte e col titolo: «Studii geometrici sulla teorica delle parallele di N. J. Lobatschewsky.», fu ristampato nel giornale politico «La Provincia di Pisa», Anno III, n. 25, 27, 29, 30 [1867] e ripubblicato a parte sotto il titolo primitivo [Pisa, Nistri, 1867].
  12. Cfr.: «Intorno alla vita ed agli scritti Wolfgang e Giovanni Bolyai di Bolya, matematici ungheresi.», Bollettino di Bibliografia e di Storia delle scienze Mat. e Fisiche, t. I, p. 277-99 [1869]. Questo articolo di FORTI è arricchito con copiose note storiche e bibliografiche da B. BONCOMPAGNI.
  13. Cfr. l'articolo di Stäckel su FR. SCHMIDT citato precedentemente nel testo.
  14. 1a ed., Paris, G. Villars, 1867; 2a ed., 1883.
  15. Giornale di Matematiche, t. VII, p. 84-89; Nouvelles Annales, (2), t. IX p. 93-96.
  16. Bull. des Sciences Math, t. I, p. 66-71, 324-28, 384-88 [1870]
  17. Oltre le versioni di cui si parla nel testo Hoüel tradusse uno scritto di BATTAGLINI [cfr. la nota 124], due di BELTRAMI [cfr. nota 126; nota 142], uno di RIEMANN, [cfr. nota 137], uno di HELMHOLTZ [cfr. § 78].
  18. Giornale di Mat., t. V, p. 217-31 [1867]. — Napoli, Rend. Acc. Science Fis. e Matem., t. VI, p. 157-73 [1867]. — Trad. francese di Hoüel: Nouv. Annales, (2), t. VII, p. 209-21, 265-77 [1868].
  19. Fu anche stampata a parte in un opuscolo col titolo: «Pangeometria o sunto di geometria fondato sopra una teoria generale e rigorosa delle parallele.», Napoli 1867; 2a ed., 1874.
  20. Fu tradotto in francese da Hoüel negli Annales Scient. de l'École Normale Sup., p. 251-88, t. VI, [1869].
  21. Cfr. la «Commemorazione di E. Beltrami» di L. CREMONA; Giornale di Mat., t. XXXVIII, p. 362 [1900].
  22. Cfr., ad es., E. PICARD: «La Science Moderne et son état actuel.», p. 75 [Paris, Flammarion, 1905].