La geometria non-euclidea/Capitolo V/Fondazione della geometria partendo da concetti grafici

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Fondazione della geometria partendo da concetti grafici

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Fondazione della geometria partendo da concetti grafici
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[p. 168 modifica] FONDAZIONE DELLA GEOMETRIA PARTENDO DAI CONCETTI GRAFICI.


§ 93. I principi esposti nei precedenti §§ conducono ad un nuovo ordine di idee, nel quale si pongono a primo fondamento della geometria le proprietà grafiche, anzichè le proprietà della congruenza e del movimento, di cui si servirono RIEMANN ed HELMHOLTZ. Si noti che, non volendo sin da principio introdurre veruna ipotesi sulla intersezione di rette coplanari, conviene partire da un opportuno sistema di postulati, valido in una regione limitata di spazio, e completare successivamente la regione iniziale per mezzo di punti, rette, piani impropri [cfr. § 80]1. [p. 169 modifica]

Sviluppata la geometria proiettiva si possono introdurre nello spazio le proprietà metriche aggiungendo ai postulati iniziali quelli che caratterizzano i movimenti o la congruenza. Così facendo si trova che una certa polarità dello spazio, legata ai concetti metrici, viene trasformata in se stessa da tutti i movimenti. Si dimostra poi che la quadrica fondamentale di questa polarità non può essere che:

a) una Quadrica reale non rigata,

b) una Quadrica immaginaria [ad equazione reale],

c) una Quadrica degenere come luogo.

Si ritrovano dunque, anche per questa via, I TRE SISTEMI GEOMETRICI, cui giunsero RIEMANN ed HELMHOLTZ partendo dal concetto di distanza elementare2.

  1. Per gli sviluppi relativi vedi: KLEIN, opere citate nella nota n. 150; PASCH: «Vorlesungen über neuere Geometrie.» [Leipzig, Teubner, 1882]; SCHUR: «Über die Einführung der sogenannten idealen
  2. Per la deduzione di questo risultato vedi: BONOLA; «Determinazione per via geometrica dei tre tipi di spazio: iperbolico, parabolico, ellittico.»; Circolo Mat. Palermo, t. XV, p. 56-65,[1901].