La geometria non-euclidea/Capitolo V/Rappresentazione della geometria ellittica di Riemann nello spazio euclideo

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Rappresentazione della geometria ellittica di Riemann nello spazio euclideo

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Rappresentazione della geometria ellittica di Riemann nello spazio euclideo
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[p. 167 modifica] RAPPRESENTAZIONE DELLA GEOMETRIA ELLITTICA DI RIEMANN NELLO SPAZIO EuclideO.


§ 92. Per quanto riguarda la geometria piana già dicemmo altrove [§ 71] che la geometria dell'ordinaria [p. 168 modifica]stella di rette offre una interpretazione concreta del sistema ellittico di RIEMANN. Se poi si sega la stella col piano ordinario, completato dalla retta all'infinito, si ottiene una rappresentazione sul piano euclideo del piano riemanniano in discorso.

Volendo una rappresentazione dello spazio ellittico sullo spazio euclideo basterebbe assumere in questo una polarità uniforme, cui corrisponde una quadrica fondamentale immaginaria non degenere, e porre, rispetto a questa quadrica, un sistema di definizioni analogo a quello precedentemente indicato nel caso iperbolico. Non insistiamo però sulla cosa, perchè non offre alcuna nuova difficoltà.

Notiamo però che in questa rappresentazione tutti i punti dello spazio euclideo, compresi i punti del piano all'infinito, verrebbero a corrispondere biunivocamente a punti dello spazio riemanniano.