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Lezioni di analisi matematica/Capitolo 12/Paragrafo 79

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Capitolo 12 - Integrazione per serie

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§ 79. — Integrazione per serie.

) Nel paragrafo precedente abbiamo dato, partendo da alcune formole di calcolo differenziale, metodi che in qualche caso particolare servono a calcolare gli integrali di una funzione continua. Ma poichè ogni funzione continua possiede integrali, sorge spontanea la domanda: Come si calcolano, almeno approssimativamente, gli integrali di una funzione continua, al calcolo di quali non bastino i metodi esposti nei precedenti paragrafi? L'importanza di questa domanda si rileva tosto, apena si ricordi che anche l'integrazione di una funzione razionale richiede la risoluzione di un'equazione algebrica; che noi sappiamo costruire un calcolo spesso ben lungo; anche se si vuole soltanto una piccola approssimazione. Di più si noti che quando, p. es., diciamo che e asseriamo perchoò che sappiamo integrare , ciò è dovuto soltanto al fatto che nelle tavole logaritmiche hanno per l'integrale <math<\frac{1}{x} dx</math>.

Varii sono i metodi a tal fine, e di essi noi parleremo anche in altri capitoli. Per ora parleremo soltanto del metodo che ricorre agli sviluppi in serie . Il teorema su cui si basa tale procedimento è il seguente:

) Se nell'intervallo finito (a, b) la serie di funzioni continue

è totalmente convergente, allora (per ) lo esiste ed è uguale proprio alla sere degli integrali

(2)

[p. 265 modifica]Didivederemo la dimostrazione in 3 parti:

La serie (2) converge. Infatti, se è il massimo di , la nostra ipotesi equivale a questa che la serie converge. Dalla segue (§ 74, pag. 243) che

;

dunque la serie (2) converge assolutamente, perchè così avviene della , ottenuta moltiplicando per la serie convergente .

La serie (2) è un integrale indefinito di . Infatti la serie (1), ottenuta derivando (2) termine a termine, è totalmente convergente, e pertanto (§ 65, pag. 206) è la derivata di (2); cioè (2) è un integrale indefinito di .

La (2) vale proprio . Essendo

, è .

Ora, ponendo in (2), i termini di (2) si annullano. Pertanto ; e quindi . c. d. d.1

Si deduce tosto la seguente osservazione notevolissima. Se una funzione non si sa integrare coi metodi da noi svolti, ma se si sa sviluppare in una serie totalmente convergente, i cui termini hanno integrali noti p facilmente calcolabili, allora si può avere un valore approssimato di , calcolando la somma degli integrali dei primi termini della serie considerare, se <math<n</math> è abbastanza grande. Nei casi più comuni basta lo sviluppo in serie di taylor. E si noti che a pag. 218 e seg. proprio con questo metodo abbiamo trovato le serie così comode per calcolare numericamente le funzioni

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Esempio.

Voglio calcolare il tempo impiegato da un pendolo che oscilla attorno nel passare dalla posizione alla posizioneFig. 31. simmetrica di rispetto alla verticale . Detto l'angolo di una retta con , questo angolo durante l'oscillazione varierà da un minimo di ad un massimo (fig. 31), Posto la forza viva del pendolo, quando esso si trova in , è data da , se la massa vale , e indica il tempo. Questa forza viva è uguale al lavoro

eseguito dal pendolo nel passare dal piano orizzontale a cui appartiene al piano orizzontale cui appartiene ( costante di gravità). Quindi:

, donde ;

e quindi .

Posto , si ottiene

,

dove si è posto . È quindi ,

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Se è così piccolo da poter tener conto del solo primo termine, si trova la formola classica .

Nel caso generale invece è

Qual è p. es. l'errore commesso se non supera l'angolo di gradi, quando si tenga conto del solo primo termine?






Note

  1. Non vale un teorema analogo per integrali indefiniti; e ciò, perché le costanti arbitrarie che figurano nell'integrale indefinito di ogni termine di (1) potrebbero esser scelte in modo che la serie sia divergente.