Lezioni di analisi matematica/Capitolo 19/Paragrafo 121

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Capitolo 19 - Area di una superficie sghemba ed integrali estesi ad una superficie sghemba

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Capitolo 19 - Area di una superficie sghemba ed integrali estesi ad una superficie sghemba
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§ 121. — Area di una superficie sghemba ed integrali estesi ad una superficie sghema.

) Affatto analogo è lo studio dell'area di una superficie sghemba. Se tale superficie è in corrispondenza biunivoca con la sua proiezione sul piano , ed è quindi rappresentabile con un'equazione , l'area di quel suo pezzo , che si proietta in un pezzo di si definirà nel modo più semplice come quella funzione additiva di , la cui derivata in un punto di è identica a quella che si otterrebbe sostituendo ala il suo piano tangente nel punto che si proietta in . Tale derivata (che supporremo finita e continua) vale dunque , se è l'angolo del primo quadrante che tale piano tangente forma col piano , cioè l'angolo del primo quadrante che la normale ad nel punto considerato forma con [p. 404 modifica]l'asse delle 1. Poichè con le notazioni del § 119 si ha , l'area del pezzo di sarà:

esteso alla proiezione di di sul piano .

Si noti che ciò equivale appunto alla

.

Ed è facile verificare direttamente che tale integrale ha un significato indipendente dalla posizione degli assi coordinati, ed estendere tale formola a superfici composte di un numero finito di pezzi, ciascuno dei quali sia in corrispondenza biunivoca con la sua proiezione su un qualche piano, p. es., su uno dei tre piani coordinati.

Noi, anzichè occuparci di tali questioni, vogliamo aggiungere una sola importante osservazione.

) Sia una funzione additiva dei pezzi di una tale superficie . Se, com'è la convenzione più spontanea, adottiamo come misura di un pezzo l'area testè definita, la derivata di sarà . Se consideriamo il valore di corrispondente a un pezzo di come funzione della proiezione di suk piano , pssia, se adottiamo come misura di l'area di tale proiezione, la derivata di sarà

.

Cosicchè:

.

Questa formola riduce il calcolo di funzioni additive dei pezzi di una superficie a quello di un integrale pieno. [p. 405 modifica]

Esempio.

Sia una superficie, parte della parete di un recipiente pieno d'acqua (un bacino di carenaggio, p. es.). A pag. 332, es. 3°, abbiamo studiato il caso che fosse piano e verticale; qui studiamo il caso generale. Ricordando che la pressione subita da , se fosse un piano comunque inclinato, sarebbe normale ad e avrebbe per intensità il peso della colonna liquida che gravita su , si induce la seguente proposizione generale.

Se l'asse delle è verticale, e la rappresenta proprio la distanza di un punto del recipiente dal pelo libero del liquido, le componenti secondo l'asse delle o delle o delle della pressione subìta da una pezzo di sono funzioni additive di , la cui derivata vale rispettivamente o , o .

Se è in corrispondenza biunivoca con la sua proiezione sul piano , tali componenti valgono dunque

,

oppure , oppure .

la componente verticale della pressione è evidentemente il volume del cilindroide generato dai segmenti proiettanti i punti di sul piano (pelo libero del liquido).

Note

  1. Vedremo che tale definizione concorda con la definizione elementare nel caso della sfera; cfr. le osservazioni del precedente § 120. Noto che qui, analogamente a quanto si è fatto in altri paragrafi, si indica con la stessa lettera un pezzo di e la sua area.