Lezioni di analisi matematica/Capitolo 19/Paragrafo 122

Questo testo è completo, ma ancora da rileggere.

Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 19 - Area di una superficie di rotazione

Informazioni sulla fonte del testo

◄

Capitolo 19 - Paragrafo 121

Capitolo 19 - Paragrafo 123

►

[p. 405 modifica]

§ 122. — Area di una superficie di rotazione.

Se noi poniamo

$x = ρ cos θ$ , $y = ρ sen θ$ (donde $ρ = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ )

l'equazione di una superficie si può scrivere nella forma

$z = f (ρ, θ)$ (1)

Se essa è di rotazione attorno all'asse delle $z$ , l'aumentare di $θ$ di una costante $α$ qualsiasi, cioè il far rotare di un angolo $α$ la nostra superficie attorno all'asse delle $z$ trasforma la superficie in sè stessa, cioè non ne muta l'equazione 81); cosicchè, qualunque sia $α$ , sarà $f (ρ, θ) = f (ρ, θ + α)$ . Cioè $f (ρ, θ)$ non varia, qualunque incremento venga dato alla $θ$ , cioè comunque si cambi il valore della $θ$ . Essa p dunque indipendente dalla $θ$ ; [p. 406 modifica]cioè è una funzione $φ (ρ)$ della sola $ρ$ . E l'equazione della nostra superficie sarà del tipo:

$z = φ (ρ)$ cioè $x = φ (+ \sqrt{x^{2} + y^{2}})$ (1)_bis

la sua intersezione col semipiano (si noti non col piano)

$y = 0$ (dove $x$ è positivo). (2)

L'area della nostra superficie vale l'integrale

$\iint \sqrt{1 + p^{2} + q^{2}} d x d y$ .

QUesto integrale si deve naturalmente estendere alla proiezione della superficie sul piano $x y$ ; questa proiezione è la corona circolare ottenuta facendo rotare attorno all'origine e sul piano $x y$ la proiezione sull'asse delle $x$ della curva (2) [o del pezzo di curva (2) considerato].

ora

$p = \frac{\partial z}{\partial x} = φ^{'} (ρ) \frac{\partial ρ}{\partial x} = φ^{'} (ρ) \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} = φ^{'} (ρ) cos θ$

$q = \frac{\partial z}{\partial y} =$ $= φ^{'} (ρ) sen θ$

$1 + p^{2} + q^{2} = 1 + {φ^{'}}^{2} (ρ)$ .

Perciò l'area $A$ di $S$ è data da:

$A = \iint \sqrt{1 + p^{2} + q^{2}} d x d y = \iint \sqrt{1 + {φ^{'}}^{2} (ρ)} d x d y =$

$= \iint \sqrt{1 + {φ^{'}}^{2} (ρ)} ρ d ρ d θ = \int d θ \int \sqrt{1 + {φ^{'}}^{2} (ρ)} ρ d ρ =$

$= 2 π \int \sqrt{1 + {φ^{'}}^{2} (ρ)} ρ d ρ$ ,^[1]

che si può scrivere:

$A = 2 π \int \sqrt{1 + {φ^{'}}^{2} (x)} x d x =$

$2 π \int \sqrt{1 + {(\frac{d z}{d x})}^{2}} x d x = 2 π \int x d s$ (3) [p. 407 modifica]dove con $d s = \sqrt{d x^{2} + d z^{2}}$ indico ora il differenziale dell'arco della curva $C$ , e l'integrale si deve estendere all'intervallo, in cui varia la $s$ . quando si descrive $C$ .

La (3) costituisce la formola fondamentale per il calcolo dell'area di una superficie di rotazione.

Essa si può rendere intuitiva, osservando che ogni pezzetto $d s$ della curva $C$ genera rotando un tronco di cono, le cui sezioni circolari sono cerchi di raggio $x$ , e la cui area e quindi $2 π x d s$ . Questa osservazione non ha però, così esposta, alcuna pretesa di rigore. Resa rigorosa, essa dimostra che l'area di una superficie di rotazione è il limite dell'area generata dalla rotazione di un poligono inscritto nel profilo meridiano, quando i lati di esso tendono a zero. Lo studioso deduca la (3) ammettendo questo teorema.

Esercizio.

Si calcoli l'area della sfera di raggio $R$ .

Se la sfera ha per centro l'origine, essa è generata dalla rotazione attorno all'asse delle $z$ di un semicerchio $C$ di raggio $R$ posto nel solito semipiano $x z$ . Se $φ$ è l'angolo che un raggio generico del semicerchio $C$ forma con l'asse delle $x$ , e assumiamo come origine degli archi $s$ il punto in cui $C$ incontra l'asse delle $x$ , si ha: $s = R φ$ . D'altra parte $x = R cos φ$ ; e il semicerchio si descrive facendo variare $φ$ da $- \frac{π}{2}$ a $+ \frac{π}{2}$ .

L'area della sfera vale dunque

$2 π \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (R cos φ) R d φ = 2 π R^{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} cos φ d φ = 4 π R^{2}$ ,

che coincide col valore dato dalla geometri elementare.

Teor. di Guldino La (1) si può interpretare con un teorema analogo a quello del § 106, pag. 346, osservando che, se $L$ è la lunghezza della curva rotante, $d$ la distanza dell'asse delle $z$ (cioè l'ascissa) del suo centro di gravità, allora $L d = \int x d s$ .

Se ne deduce: L'area di una superficie di rotazione vale $2 π L d$ , cioè vale il prodotto della lunghezza $L$ di un profilo meridiano per la lunghezza $2 π d$ della circonferenza descritta nella rotazione del centro di gravità di tale profilo. [p. 408 modifica]

Esempio.

Centro di gravità di una semicirconferenza. Una semicirconferenza di raggio $R$ e lunghezza $π R$ descrive, rotando attorno al suo diametro, una sfera di area $4 π R^{2}$ . La distanz $d$ dal centro di gravità della semicirconferenza al diametro soddisfa perciò alla $4 π R^{2} = π R .2 π d$ , e vale dunque $d = \frac{2 R}{π}$ .

Note

↑ Si noti che $\int \sqrt{1 + {φ^{'}}^{2} (ρ)} ρ d ρ$ (i cui limiti sono i raggi della precedente circolare) è indipendente dalla $θ$ , e che l'integrazione rispetto a $θ$ è fatta nell'intervallo $(0, 2 π)$ .

[1] Si noti che $\int \sqrt{1 + {φ^{'}}^{2} (ρ)} ρ d ρ$ (i cui limiti sono i raggi della precedente circolare) è indipendente dalla $θ$ , e che l'integrazione rispetto a $θ$ è fatta nell'intervallo $(0, 2 π)$ .

[1]