Lezioni di analisi matematica/Capitolo 3/Paragrafo 9

by Guido Fubini

Capitolo 3 - Definizione di numero complesso e delle operazioni sui numeri complessi

../Paragrafo 8 ../Paragrafo 10 IncludiIntestazione 5 dicembre 2022 100% Da definire

Questo testo è stato riletto e controllato.

Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 3 - Definizione di numero complesso e delle operazioni sui numeri complessi

◄

Capitolo 3 - Paragrafo 8

Capitolo 3 - Paragrafo 10

►

§ 9. — Definizione di numero complesso e delle operazioni sui numeri complessi.

$\alpha$) Nell’aritmetica e nell’algebra elementare si è man mano esteso il concetto di numero, introducendo dopo i numeri interi positivi i numeri fratti, i numeri irrazionali, i numeri negativi. Con questi successivi ampliamenti si era risoluto completamente il problema della misura delle grandezze (confronta i Capitoli 1° e 2°), si era resa possibile ogni sottrazione, ogni divisione per un numero non nullo, ogni estrazione di radice da un numero positivo, eccetera.

Mentre si è così ampliato assai il campo delle operazioni eseguibili, sono rimaste alcune operazioni che non sono eseguibili, nonostante l’avvenuto ampliamento del concetto di numero: l’estrazione di radice di indice pari da un numero negativo, la determinazione del logaritmo di un numero negativo, eccetera. A questo inconveniente si ripara estendendo ancora il concetto di numero. I nuovi numeri che noi introdurremo, sono però completamente inutili per il problema della misura delle grandezze, il quale è già stato completamente risoluto dai numeri già noti dalle matematiche elementari e che noi abbiamo chiamato numeri reali.

Noi diremo numero complesso, ed indicheremo con $(a,b)$ una coppia di numeri reali $a$, $b$, che si seguano nell’ordine ora scritto.

Due numeri complessi $(a,b)$ ed $(a',b')$ si diranno uguali allora soltanto che $a=a'$, $b=b'$.

Il numero complesso $(a,0)$ s’intenderà come uguale al numero reale $a$¹.

Il numero complesso $(0,b)$ si dirà puramente immaginario e s’indicherà con $ib$, indicando poi col solo simbolo $i$ il numero $(0,1)$, che chiameremo l’unità immaginaria.

Due numeri $(a,b)$ ed $(a,-b)$ si diranno complessi coniugati.

Somma dei numeri complessi $(a,b)$, $(a',b')$ si chiamerà il numero complesso $(a+a',b+b')$; questa definizione non contrasta con quella adottata per i numeri reali. Infatti, se $(a,b)$ e $(a',b')$ sono reali, ossia se $b=b'=0$, la loro somma (nel senso testè definito) è proprio uguale ad $(a+a',0)$, cioè ad $a+a'$. Si potrà perciò porre $(a,b)+(a',b')=(a+a',b+b')$ ed in particolare $(a,b)=(a,0)+(0,b)=a+ib$. Perciò di solito il numero complesso $(a,b)$ si indica con $a+ib$.

La nostra definizione di somma di due numeri complessi si può quindi anche enunciare nel modo seguente: la somma dei numeri $a+ib$, $a'+ib'$ uguaglia $(a+a')+i(b+b')$.

La somma di due numeri $a+ib$, $a-ib$ immaginari coniugati è il numero reale $2a$.

In generale, se $a_{1}+ib_{1}$, $a_{2}+ib_{2}$, ....., $a_{n}+ib_{n}$ sono $n$ numeri complessi, noi diremo che

$(a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n})+i(b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{n})$

è la loro somma.

Così pure si chiamerà differenza dei due numeri complessi $a+ib$, $a'+ib'$ quel numero $(a-a^{\prime })+i(b-b^{\prime })$ che, sommato con $a^{\prime }+ib^{\prime }$, riproduce il numero $a+ib$.

È ben evidente da quanto precede che per la somma e la sottrazione di uno o più numeri complessi valgono le ordinarie regole del calcolo algebrico.

Porremo, per definizione, uguale a $-1$ il prodotto di i per i, ossia il quadrato di i ed uguale ad ia il prodotto di i per il numero reale a².

Prodotto di due numeri complessi ${\text{a}}+{\text{ib}}$, ${\text{c}}+{\text{id}}$ si chiamerà il numero che si ottiene facendo la moltiplicazione con le abituali regole dell'algebra.

Si avrà così per definizione:

$(a+ib)(c+id)=ac+ibc+ida+i^{2}bd$;

ossia, poichè per definizione $i^{2}=-1$,

$(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(bc+ad)$.

Se $b=d=0$, il prodotto così definito coincide proprio con $ac$; la nostra definizione non è dunque contraddittoria con la definizione dell’algebra elementare. E, se $b=0$, e $c+id=i$ (se è cioè $c=0$, $d=1$), tale prodotto di $i$ per il numero reale $a$ si riduce appunto ad $ia$, come richiede anche la convenzione preliminare.

Si noti che il prodotto di due numeri $a+ib$, $a-ib$ immaginari coniugati vale $a^{2}+b^{2}$ ed è perciò sempre reale positivo (nullo soltanto se $a=b=0$).

Prodotto di tre numeri complessi è per definizione il prodotto che si ottiene moltiplicando il prodotto dei primi due fattori per il terzo: facilmente si estende la definizione al prodotto di $n$ fattori.

Si dimostra facilmente:

1° Il prodotto di più numeri complessi è indipendente dall’ordine dei fattori.

2° Il prodotto di un numero complesso $N$ per la somma $S$ di più numeri complessi è uguale alla somma dei prodotti di $N$ per ciascuno degli addendi di $S$.

3° Se $\alpha _{1},\alpha _{2},\dotsc ,\alpha _{m}$ e $\beta _{1},\beta _{2},\dotsc ,\beta _{n}$ sono più numeri complessi, il prodotto $\alpha _{1}\alpha _{2}\dotsc \alpha _{m}\beta _{1}\beta _{2}\dotsc \beta _{n}$ si ottiene moltiplicando il prodotto $\alpha _{1}\alpha _{2}\dotsc \alpha _{m}$ per il prodotto $\beta _{1}\beta _{2}\dotsc \beta _{n}$.

Valgono cioè anche per la moltiplicazione dei numeri complessi le regole del calcolo algebrico elementare.

Quoziente dei numeri ${\text{a}}+{\text{ib}}$, ${\text{c}}+{\text{id}}$ si dirà quel numero ${\text{x}}+{\text{iy}}$ il cui prodotto con ${\text{c}}+{\text{id}}$ riproduce il numero ${\text{a}}+{\text{ib}}$ quando ${\text{x}}+{\text{iy}}$ esista e sia determinato.

I numeri $x$ ed $y$ sono perciò definiti dalle equazioni $\left\{{\begin{matrix}xc-yd=a\\xd+yc=b\end{matrix}}\right\}$, le quali determinano $x$ ed $y$ soltanto se $c^{2}+d^{2}$ è differente da zero³, ossia se $c$ e $d$ non sono entrambe nulli, ossia se il divisore $c+id$ è differente da zero; questa limitazione (che il divisore sia differente da zero) è la stessa che si presenta nel campo dei numeri reali.

Fig. 8. $\beta$) I numeri reali si rappresentano coi punti di una retta, i numeri complessi $a+ib$ si rappresentano assai spesso coi punti di un piano, ove sia fissato un sistema di coordinate $x$, $y$ cartesiane ortogonali (figura 8): il punto $A$, che ha per ascissa $a$ e per ordinata $b$, si assume come immagine del numero $a+ib$. Se $O$ è l’origine delle coordinate cartesiane, se indicansi con $\rho$ e $\theta$ le coordinate $\rho =OA$ e $\theta =(x,\rho )$ polari di $A$, sarà:

$a=\rho \cos \theta$, $b=\rho \operatorname {sen} \theta$, $\rho =|{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}|$, $\cos \theta ={\frac {a}{\rho }}$, $\operatorname {sen} \theta ={\frac {b}{\rho }}$, ${\text{tg}}\;\theta ={\frac {b}{a}}$; e quindi $a+ib=\rho (\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )$.

I numeri $\rho$ e $\theta$ si dicono rispettivamente il modulo e l'argomento di $a+ib$.

Se $a+ib=0$, allora soltanto è anche $\rho =0$ e l'argomento $\theta$ è completamente indeterminato; il modulo di ogni altro numero $a+ib$ è positivo e l'argomento è determinato a meno di multipli di $2\pi$. L'argomento di un numero reale vale zero oppure $\pi$, secondo che il numero è positivo, o negativo. Il suo modulo coincide col valore assoluto. Pertanto, per ragioni di analogia, se $z$ è un qualsiasi numero anche complesso, con $|z|$ se ne indica il modulo.

Due numeri immaginari coniugati hanno lo stesso modulo ed hanno argomenti uguali, ma di segno opposto.

Il prodotto di due numeri complessi

$\rho (\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta ),$

$\rho '(\cos \theta '+i\operatorname {sen} \theta ')$

uguaglia:

$\rho \rho '(\cos \theta \cos \theta '-\operatorname {sen} \theta \operatorname {sen} \theta ')+i\rho \rho '(\cos \theta \operatorname {sen} \theta '+\operatorname {sen} \theta \cos \theta ')=$

$=\rho \rho '\left\{\cos(\theta +\theta ')+i\operatorname {sen}(\theta +\theta ')\right\}$.

Se ne deduce facilmente che:

Il prodotto di due o più numeri complessi ha per modulo il prodotto dei moduli e per argomento la somma degli argomenti.

Ne segue che: Il quoziente di due numeri complessi (di cui il divisore sia differente da zero), ha per modulo il quoziente dei moduli e per argomento la differenza degli argomenti.

Fig. 9. $\gamma$) Siano $a_{1}+ib_{1}$, $a_{2}+ib_{2}$ due numeri complessi, ne siano $A_{1}$, $A_{2}$ i punti immagine, sia $A_{3}$ il quarto vertice del parallelogramma di cui $A_{1}$, $A_{2}$ sono vertici opposti e l’origine $O$ è un terzo vertice; dico che $A_{3}$ è il punto immagine del numero somma dei numeri $a_{1}+ib_{1}$, $a_{2}+ib_{2}$ (figura 9)⁴. Infatti l’ascissa di $A_{3}$; uguaglia la proiezione di $OA_{3}$ sopra $Ox$, ossia la somma delle proiezioni di $OA_{1}$, $A_{1}A_{3}$. Poichè $OA_{2}$, ed $A_{1}A_{3}$ sono segmenti uguali ed ugualmente orientati, la proiezione di $A_{1}A_{3}$ è uguale a quella di $OA_{2}$; e quindi l’ascissa di $A_{3}$ uguaglia la somma delle proiezioni di $OA_{1}$, $OA_{2}$ sopra $Ox$, ossia la somma $a_{1}+a_{2}$, delle ascisse $a_{1}$, $a_{2}$ di $A_{1}$, $A_{2}$: in modo simile si prova che l’ordinata di $A_{3}$ è $b_{1}+b_{2}$.

Il lato $OA_{3}$ del triangolo $OA_{1}A_{3}$ è minore od uguale alla somma $OA_{1}+A_{1}A_{3}$ (l’uguaglianza avviene solo se il punto $A_{1}$ appartiene al segmento $OA_{3}$). Ma poichè $A_{1}A_{3}=OA_{2}$ ed i segmenti $OA_{1}$, $OA_{2}$, $OA_{3}$ sono i moduli dei numeri complessi dati e della loro somma, avremo che: Il modulo della somma di due (o più) numeri non supera la somma dei moduli, non è inferiore alla differenza dei moduli. Questo teorema è la generalizzazione di un teorema già dato per i numeri reali.

$\delta$) Se $n$ è un intero positivo, con $x^{n}$ indicheremo, anche se $x$ è complesso, il prodotto di $n$ fattori uguali ad $x$ (ponendo poi $x^{0}=1$ se $x\neq 0$, e $x^{1}=x$) e con $x^{-n}$ il quoziente $\textstyle {\frac {1}{x^{n}}}$ (se $x\neq 0$). Se $m$ è intero, il modulo di $x^{m}$ vale $|x|^{m}$ (cioè il modulo della $x$ innalzato alla $m^{esima}$ potenza); e l’argomento di ${\text{x}}^{\text{m}}$ vale il prodotto di m per l’argomento della x.

Sia $P(z)$ un polinomio nella $z$ e precisamente

$P(z)=1+b_{1}z+b_{2}z^{2}+\dotsb +b_{m}z^{m}$ (le $b$ numeri non tutti nulli).

Sia $b_{h}$ la prima delle $b$ differente da zero. Sarà

$P(z)=1+b_{h}z^{h}+[b_{h}z^{h}]z\left({\frac {b_{h+1}}{b_{h}}}+{\frac {b_{h+2}}{b_{h}}}z+\dotsb +{\frac {b_{m}}{b_{h}}}z^{m-h-1}\right)$.

Sia $A$ la massima delle $\left|{\frac {b_{h+1}}{b_{h}}}\right|$, $\left|{\frac {b_{h+2}}{b_{h}}}\right|$, ....., $\left|{\frac {b_{m}}{b_{h}}}\right|$. Siano $r$, $\theta$ modulo e argomento di $b_{h}$ e siano $\rho$, $\delta$ modulo e argomento della $z$. Sarà

$b_{h}z^{h}=r\rho |\cos(\theta +h\delta )+i\operatorname {sen}(\theta +h\delta )|$,

cosicchè $b_{h}z^{h}$ sarà un numero reale negativo, se $\theta +h\delta =\pi$, cioè se $\delta ={\frac {\pi -\theta }{h}}$.

Sarà in tale ipotesi

$|P(z)|\leq |1+b_{h}z^{h}|+|b_{h}z^{h}||z|\left|{\frac {b_{h+1}}{b_{h}}}+{\frac {b_{h+2}}{b_{h}}}z+\dotsb +{\frac {b_{m}}{b_{h}}}z^{m-h-1}\right|$

$|P(z)|\leq |1-r\rho ^{h}|+r\rho ^{h+1}A(1+\rho +\rho ^{2}+\dotsb +\rho ^{m-h-1})$

$|P(z)|\leq |1-r\rho ^{h}|+Ar{\frac {\rho ^{h+1}(1-\rho ^{m-h})}{1-\rho }}$.

Supponiamo $\rho$ così piccolo che

$r\rho ^{h}<1$	cosicchè $1-r\rho ^{h}$ è positivo
$\rho <1$	cosicchè $1-\rho ^{m-h}$ è minore di $1$
${\frac {A\rho }{1-\rho }}<1$	cosicchè $r\rho ^{h}>Ar{\frac {\rho ^{h+1}}{1-\rho }}$.

Da (1) si dedurrà

$P(z)\leq 1-r\rho ^{h}+Ar{\frac {\rho ^{h+1}(1-\rho ^{m-h})}{1-\rho }}<1-r\rho ^{h}+Ar{\frac {\rho ^{h+1}}{1-\rho }}<1$.

Possiamo dunque dare alla $z$ un valore tale che $|P(z)|<1$.

Moltiplicando $P(z)$ per un numero $k\neq 0$, e mutando $z$ in $z-\alpha$ si trova:

Se un polinomio P(z) ha per ${\text{z}}=\alpha$ un valore ${\text{k}}\neq 0$, esiste qualche valore di z per cui il polinomio assume un valore, che in modulo è minore di $|{\text{P}}(\alpha )|$.

Senza parlare delle potenze più generali (ad esponente fratto, irrazionale o anche complesso) noi parleremo ancora soltanto di $x^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{x}}$ per $n>1$ intero positivo. Con tale simbolo noi indicheremo ogni numero complesso, la cui $n^{esima}$ potenza sia uguale ad $x$.

Siano $\rho$, $\theta$ il modulo e l'argomento della $x$; cosicchè $x=\rho (\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )$. Siano analogamente $r$, $\delta$ modulo e argomento di ${\sqrt[{n}]{x}}$. Per definizione

$\left\{r(\cos \delta +i\operatorname {sen} \delta )\right\}^{n}=\rho (\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )$.

ossia:

$r^{n}(\cos n\delta +i\operatorname {sen} n\delta )=\rho (\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )$.

Cosicchè $r^{n}=\rho$, ed $n\delta$ differisce da $\theta$ per un multiplo di $2\pi$. Cioè il modulo r di ${\sqrt[{n}]{\text{x}}}$ uguaglia il valore (aritmetico) della radice ${\text{n}}^{\text{esima}}$ del modulo $\rho$ della x. E l'argomento $\delta$ di ${\sqrt[{n}]{\text{x}}}$ vale ${\frac {\theta }{n}}+{\frac {2k\pi }{n}}$, dove $\theta$ è l'anomalia della x e k è un intero.

Così avremo:

${\sqrt[{n}]{x}}={\sqrt[{n}]{\rho }}\left\{\cos \left({\frac {\theta }{n}}+{\frac {2k\pi }{n}}\right)+i\operatorname {sen} \left({\frac {\theta }{n}}+{\frac {2k\pi }{n}}\right)\right\}={\sqrt[{n}]{\rho }}\left\{\cos {\frac {\theta }{n}}+i\operatorname {sen} {\frac {\theta }{n}}\right\}\varepsilon _{k}$

dove si è posto:

$\varepsilon _{k}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\operatorname {sen} {\frac {2k\pi }{n}}$.

Ora al variare di $k$ ($k=$ intero) quanti valori può ricevere la quantità $\varepsilon _{k}$ qui definita?

Si osservi che, se $h$ e $k$ sono due numeri interi, sarà $\varepsilon _{k}=\varepsilon _{h}$ allora ed allora soltanto che:

$\cos {\frac {2h\pi }{n}}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}$,

$\operatorname {sen} {\frac {2h\pi }{n}}=\operatorname {sen} {\frac {2k\pi }{n}}$;

il che accade solo quando ${\frac {2k\pi }{n}}$ e ${\frac {2h\pi }{n}}$ differiscono per un multiplo di $2\pi$,

$\left({\frac {2k\pi }{n}}-{\frac {2h\pi }{n}}={\text{ multiplo di }}2\pi \right)$,

ossia quando:

$k-h=$ multiplo di $n$;

e però, dando a $k$ gli $n$ valori 0, 1, 2, .....,$n-2$, $n-1$, si otterranno radici distinte, mentre i valori $n$, $n+1$,.....,$2n-1$ di $k$ riprodurranno le stesse radici nello stesso ordine, e così via periodicamente. Del pari, dando a $k$ i valori $-1$,$-2$, ....., $-n$, si riprodurranno le stesse radici in ordine inverso, e così via periodicamente.

Dunque: Un numero reale o complesso ha n radici ${\text{n}}^{\text{esime}}$ fra reali e complesse, che si ottengono moltiplicando una di esse per ciascuno dei numeri $\varepsilon _{k}$, ossia per ciascuna delle radici ${\text{n}}^{\text{esime}}$ di 1. Infatti supponendo $x=1$, cioò $\rho =1$ e $\theta =0$, $x^{\frac {1}{n}}$ si riduce ad $\varepsilon _{k}$.

La formola che ci dà i numeri $\varepsilon _{k}$, ossia le $n$ radici $n^{esime}$ dell’unità, è

$\varepsilon _{k}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\operatorname {sen} {\frac {2k\pi }{n}}$,

dove basta dare a $k$ gli $n$ valori 0, 1, 2, ....., $n-1$.

Questa formola mostra che i punti corrispondenti alle $n$ radici $n^{esime}$ dell’unità sono distribuiti sulla circonferenza avente l’origine per centro e per raggio l’unità, e dividono la circonferenza in $n$ parti eguali; vale a dire tali punti sono i vertici di un poligono regolare di $n$ lati inscritto in essa.

Basta infatti osservare che i numeri $\varepsilon _{0}=\varepsilon _{n}$, $\varepsilon _{1}$, $\varepsilon _{2}$, ....., $\varepsilon _{n-1}$ hanno tutti per modulo l’unità, e che l’argomento di uno qualunque di essi differisce dall’argomento del suo successivo per un angolo uguale a ${\frac {2\pi }{n}}$ radianti, cioè all’$n^{esima}$ parte di 360° ($2\pi$ radianti).

Per esempio, i valori di ${\sqrt[{3}]{1}}$ sono:

1,	$\varepsilon =\cos {\frac {2\pi }{3}}+i\operatorname {sen} {\frac {2\pi }{3}}=-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}$,
	$\eta =\cos {\frac {4\pi }{3}}+i\operatorname {sen} {\frac {4\pi }{3}}=-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}$.

È evidente che $\eta$ è immaginario coniugato di $\varepsilon$ e che

${\frac {1}{\eta ^{2}}}=\eta =\varepsilon ^{2}={\frac {1}{\varepsilon }}$.

E si può anche provare geometricamente che il punto di ascissa $x=1$ e ordinata $y=0$, il punto $x=-{\frac {1}{2}}$, $y={\frac {\sqrt {3}}{2}}$ e il punto $x=-{\frac {1}{2}}$ ed $y=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$ sono i tre vertici di un triangolo equilatero inscritto nel cerchio col centro nell’origine e raggio 1.

Negli esercizi calcoleremo per via puramente algebrica le $\varepsilon$ per i casi $n=3,4,5$ (esercizio 33 a pagina 61).

Osservazione. È appena necessario ricordare che da tutto questo si deduce in particolare che, nel campo dei numeri complessi, si può estrarre la radice quadrata anche da un numero negativo $n=-|n|$ e che tale radice quadrata ha i valori $\pm i{\sqrt {|n|}}$.

Non ci occuperemo per ora delle potenze il cui esponente è un numero complesso, nè della estensione della teoria dei logaritmi ai numeri negativi o complessi.

Note

1. Ciò equivale a convenire che un numero reale $a$ si possa indicare col nuovo simbolo $(a,0)$; convenzione ben lecita, perchè $(a,0)$ è un simbolo affatto nuovo.
2. Che ciò sia logicamente lecito è ben evidente. Per esempio il prodotto di i per i è una frase nuova, che per la prima volta incontriamo. Siamo padroni di darle quel significato che più ci piace, così come siamo padroni di introdurre un nuovo vocabolo nella lingua italiana, dandogli un significato a nostro arbitrio.
3. Risolvendo, si trova infatti

   $x={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}\;,\;y={\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}.$

   Se $c^{2}+d^{2}=0$, ossia se $c=d=0$, allora dovrebbe essere anche $a=b=0$. E in tal caso le $x$, $y$ sono indeterminate.

4. Se noi consideriamo un numero complesso come definente la forza rappresentata dal segmento che congiunge l’origine $O$ al punto $A$ immagine del numero complesso, si deduce dall’enunciato del testo che l’operazione di somma di due numeri complessi corrisponde a trovare la risultante delle due forze corrispondenti. Come i numeri reali $x$ servono a misurare le forze uscenti da un punto e aventi la direzione dell’asse delle $x$ (in un verso o nell’altro), così i numeri complessi $x+iy$ possono servire a definire (e potremmo forse dire, ampliando il significato della parola, a misurare) le forze uscenti da un punto $O$ e poste nel piano $xy$, in guisa che alla forza risultante di due o più forze date corrisponda il numero complesso somma dei numeri complessi corrispondenti alle singole forze componenti. I numeri complessi trovano importantissime applicazioni nello studio delle correnti alternate: per esempio alle estensioni delle leggi di Ohm e di Kirchhoff.