Lezioni di analisi matematica/Capitolo 5/Esempi paragrafo 23

by Guido Fubini

Capitolo 5 - Esempi

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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Esempi¹.

1° Se $\alpha _{1}$, $\beta _{1}$, $\gamma _{1}$ ed $\alpha _{2}$, $\beta _{2}$, $\gamma _{2}$ sono i coseni direttori di due rette, rispetto a una terna di assi cartesiani ortogonali, è noto dalla geometria che l’angolo $\theta$ delle due rette soddisfa alla

$\cos \theta =\alpha _{1}\alpha _{2}+\beta _{1}\beta _{2}+\gamma _{1}\gamma _{2}$.

Quindi:

${\begin{vmatrix}\alpha _{1}&\beta _{1}&\gamma _{1}\\\alpha _{2}&\beta _{2}&\gamma _{2}\end{vmatrix}}^{2}={\begin{vmatrix}1&\cos \theta \\\cos \theta &1\end{vmatrix}}=1-\cos ^{2}\theta =\operatorname {sen} ^{2}\theta$

donde:

$\sin \theta =\pm {\sqrt {{\begin{vmatrix}\alpha _{1}&\beta _{1}&\gamma _{1}\\\alpha _{2}&\beta _{2}&\gamma _{2}\end{vmatrix}}^{2}}}=\pm {\sqrt {(\alpha _{1}\beta _{2}-\beta _{1}\alpha _{2})^{2}+(\beta _{1}\gamma _{2}-\beta _{2}\gamma _{1})^{2}+(\gamma _{1}\alpha _{2}-\alpha _{1}\gamma _{2})^{2}}}$.

2° Siano $\alpha _{i}$, $\beta _{i}$, $\gamma _{i}$ i coseni di direzione di tre rette $r_{i}$, a due ortogonali $(i=1,2,3)$. Sarà:

${\begin{vmatrix}\alpha _{1}&\beta _{1}&\gamma _{1}\\\alpha _{2}&\beta _{2}&\gamma _{2}\\\alpha _{3}&\beta _{3}&\gamma _{3}\end{vmatrix}}^{2}={\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}}=1$; e quindi ${\begin{vmatrix}\alpha _{1}&\beta _{1}&\gamma _{1}\\\alpha _{2}&\beta _{2}&\gamma _{2}\\\alpha _{3}&\beta _{3}&\gamma _{3}\end{vmatrix}}=\pm 1$.

3° Determinanti reciproci. — Dato un determinante di ordine $n$

$A={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}$,

con i complementi algebrici $A_{rs}$ dei suoi elementi, in numero di $n^{2}$, si può formare un altro determinante di ordine $n$

$A'={\begin{vmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nn}\end{vmatrix}}$.

che dicesi reciproco del primitivo $A$.

Il determinante reciproco di un determinante di ordine $n$ è uguale alla $(n-1)^{ma}$ potenza del primitivo, ossia $A'=A^{n-1}$.

Infatti moltiplicando per orizzontali i due determinanti $A$ e $A'$, l’elemento generico $c_{rs}$ del determinante prodotto sarà uguale ad $A$ se $r=s$, ed uguale a zero se $r\not =s$. Infatti:

$c_{rs}=a_{r1}A_{s1}+a_{r2}A_{s2}+\cdots +a_{rn}A_{sn}=0,(r\not =s)$

$c_{rr}=a_{r1}A_{r1}+a_{r2}A_{r2}+\cdots a_{rn}A_{rn}=A$,

come risulta dalle formole di pagina 70, § 20, Teorema V°. Quindi:

$AA'={\begin{vmatrix}A&0&\cdots &0\\0&A&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &A\end{vmatrix}}=A^{n}$.

Se $A\not =0$, dividendo $A$, si ha subito la formola da dimostrare. Se poi $A=0,$ anche $A'=0$ e la formola è ancora vera, come ora proveremo.

Infatti ciò è evidente se tutti gli elementi di $A$ sono nulli; se invece non sono tutti nulli, ed è, per esempio, $a_{11}\not =0$, moltiplichiamo nel determinante $A'$ la prima colonna per $a_{11}$ (il che equivale a moltiplicare $A'$ per $a_{11}$ e ad essa aggiungiamo tutte le altre colonne moltiplicate ordinatamente per $a_{12},a_{13},\cdots a_{1n}$ (il che non altera il valore del determinante); per le stesse formole del teor. cit, avremo

$a_{11}A'={\begin{vmatrix}A&A_{12}&A_{13}&\cdots &A_{1n}\\0&A_{22}&A_{23}&\cdots &A_{2n}\\0&A_{32}&A_{33}&\cdots &A_{3n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&A_{n2}&A_{n3}&\cdots &A-{nn}\end{vmatrix}}=0$

poichè la prima colonna è tutta costituita di termini nulli, essendo $A=0$.

Dividendo per $a_{11}(\not =0)$, otteniamo appunto $A'=0$.

Note

1. I seguenti esempio sono importanti specialmente per le applicazioni che se ne fanno nei corsi di geometria analitica.