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Lezioni di analisi matematica/Capitolo 5/Esempi paragrafo 23

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Capitolo 5 - Esempi

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Esempi1.

Se , , ed , , sono i coseni direttori di due rette, rispetto a una terna di assi cartesiani ortogonali, è noto dalla geometria che l’angolo delle due rette soddisfa alla

.

Quindi:


donde:

.

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Siano , , i coseni di direzione di tre rette , a due ortogonali . Sarà:

; e quindi .


Determinanti reciproci. — Dato un determinante di ordine

,


con i complementi algebrici dei suoi elementi, in numero di , si può formare un altro determinante di ordine

.


che dicesi reciproco del primitivo .

Il determinante reciproco di un determinante di ordine è uguale alla potenza del primitivo, ossia .

Infatti moltiplicando per orizzontali i due determinanti e , l’elemento generico del determinante prodotto sarà uguale ad se , ed uguale a zero se . Infatti:

,


come risulta dalle formole di pagina 70, § 20, Teorema V°. Quindi:

.

Se , dividendo , si ha subito la formola da dimostrare. Se poi anche e la formola è ancora vera, come ora proveremo.

Infatti ciò è evidente se tutti gli elementi di sono nulli; se invece non sono tutti nulli, ed è, per esempio, , moltiplichiamo nel determinante la prima colonna per (il che equivale a moltiplicare per e ad essa aggiungiamo [p. 81 modifica]tutte le altre colonne moltiplicate ordinatamente per (il che non altera il valore del determinante); per le stesse formole del teor. cit, avremo


poichè la prima colonna è tutta costituita di termini nulli, essendo .

Dividendo per , otteniamo appunto .

Note

  1. I seguenti esempio sono importanti specialmente per le applicazioni che se ne fanno nei corsi di geometria analitica.