Lezioni di analisi matematica/Capitolo 5/Paragrafo 23

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Capitolo 5 - Il determinante di Vandermonde e il discriminante di un'equazione algebrica. Separazione delle radici di una tale equazione

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Capitolo 5 - Il determinante di Vandermonde e il discriminante di un'equazione algebrica. Separazione delle radici di una tale equazione
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§ 23. — Il determinante di Vandermonde e il discriminante di un’equazione algebrica. Separazione delle radici di una tale equazione.

Se sono numeri qualsiasi, si calcoli il determinante (di Vandermonde)

Sottraendo successivamente dalla , dalla dalla orizzontale la precedente moltiplicate per , il [p. 77 modifica]determinante resta scritto nella forma



Ora, se , si trova che ; servendosi della precedente identità, che riduce il calcolo di un determinante di Vandermonde di ordine al calcolo di un determinante analogo di ordine , si trova che:

Se , .

Se ,

.

Per qualsiasi è uguale al prodotto delle differenze delle quantità a due a due, in cui l'indice del minuendo superi l'indice del sottraendo.

Se noi innalziamo al quadrato il determinante di Vandermonde troviamo

.


dove con ho indicato la somma delle potenze delle (per .

Questo determinante si chiama il discriminante degli numeri dati; esso è nullo soltanto se almeno due di questi numeri sono uguali tra di loro. Se le sono le radici di una data equazione algebrica, le formole del § 14 , pagina 50, permettono di calcolare tale discriminante senza risolvere l’equazione, perchè le si possono calcolare tosto, appena sono dati i coefficienti dell’equazione. Abbiamo così un metodo per riconoscere quando due delle radici di una data equazione sono tra loro uguali. [p. 78 modifica]
colare tosto, appena sono dati i coefficienti dell’equazione. Abbiamo così un metodo per riconoscere quando due delle radici di una data equazione sono tra loro uguali.


) Il discriminante può servire (almeno teoricamente) a calcolare approssimativamente le radici reali di una equazione a coefficienti reali, che abbia radici tutte distinte.

Se è una tale equazione, esistono molti metodi per trovare un numero positivo maggiore del modulo di ogni sua radice1 reale o complessa.

Noi diremo che abbiamo calcolato in prima approssimazione, o anche che abbiamo separato le radici reali di tale equazione, se per ogni tale radice sappiamo assegnare un intervallo dentro al quale sia contenuta la radice e nessuna altra radice. Impareremo più avanti come il metodo Newton-Fourier permetta poi di dedurre valori di approssimati a piacere. Se sono le radici reali di tale equazione, è dove è un prodotto di fattori di secondo grado sempre positivi in reale. Cosicchè, se sono due numeri reali tali che e abbiano segni opposti, certo nell’intervallo esiste un numero dispari di radici , e quindi almeno una radice .

Se è un numero positivo minore dei valori assoluti di tutte le differenze tra le radici reali combinare a due a due, allora, formano una progressione aritmetica indefinita in ambo i sensi, in cui la differenza tra due termini consecutivi sia eguale a codesto numero , tra due termini consecutivi della progressione potrà essere compresa una sola radice o nessuna. E, per quanto si disse, sarà facile assicurarsi se tra due termini consecutivi della progressione sia compresa o no una radice, poichè nel primo caso essi, sostituiti all’incognita , faranno prendere al primo membro dell’equazione segni opposti, nel secondo caso lo stesso segno2.

Evidentemente è inutile protrarre la progressione indefinitamente: basta tener conto solo di quei termini della progressione che cadono nell’intervallo compreso tra e . In ognuno degli intervallini, ai cui estremi ha segni opposti, e in essi soli, cade una e una sola radice di . Basterà tener conto di tali intervallini e traascurare gli altri perchè sia risolto il nostro problema di separare le radici della nostra equazione.

Il nostro problema è dunque ridotto alla determinazione del numero . Si noti che, se ed sono due radici qualunque, è .

Sostituendo nel valore (che sappiamo calcolare) di


in luogo di tutti i fattori, eccettuato , il numero maggiore (in valore assoluto) , si avrà:

; onde [p. 79 modifica]ossia

.

Il secondo membro è minore del modulo della differenza tra le due radici reali , che si possono scegliere ad arbitrio tra le radici reali dell’equazione. Possiamo dunque assumere:

Osservazione Supponiamo in particolare che i coefficienti dell’equazione siano interi, ed il primo uguagli l’unità. Allora il discriminante, essendo un polinomio a coefficienti interi formato coi rapporti che sono numeri interi, sarà un numero intero, e quindi certamente sarà 3. Dunque possiamo anche assumere

.

Se poi non fosse uguale ad 1, si ponga , assumendo come incognita. L’equazione diventa , ossia , che è un’equazione a coefficienti interi col primo coefficiente uguale all’unità. E siamo ricondotti al caso precedente.

Nei trattati di algebra complementare sono dati molti altri metodi per separare e per calcolare approssimativamente le radici di una equazione algebrica.

Note

  1. Ecco, per esempio un metodo teoricamenre semplice. Sia la massima delle . Sarà

    cioè

    . Se dunque , allora sarà . Quindi se è radice di , il suo modulo sarà inferiore ad . Potremo dunque porre . Per altri metodi, che permettono di assegnare un valore più piccolo al numero rinvio ai trattati di algebra.

  2. Non porta che semplificazioni il caso che uno dei termini della progressione sia esso stesso una radice.
  3. Non può essere nell’attuale ipotesi che le radici della nostra equazione sieno distinte.