Lezioni di analisi matematica/Capitolo 6/Paragrafo 39

by Guido Fubini

Capitolo 6 - Alcune applicazioni

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 6 - Alcune applicazioni

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§ 39. — Alcune applicazioni.

Se a è un numero reale $z=x+iy$ è un numero complesso, il simbolo $a^{z}=a^{x+iy}$ è un simbolo, a cui finora non abbiamo attribuito alcun senso. I matematici si servono però di tale simbolo specialmente quando $a=e$, ponendo con Eulero la seguente definizione:

$e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\operatorname {sen} y)$.

È questa definizione accetabile? è essa opportuna?

Essa è accettabile perchè prova di contraddizioni, e perchè se $y=0$, cioè se $z=x+iy$ è reale, essa non contraddice all’ordinario significato di tale simbolo.

Molte poi sono le ragioni, che rendono opportuna tale definizione e che noi stessi incontreremo in questo libro. Qui ne accenneremo due specialmente importanti.

1° Se $z=x+iy$, $z'=x'+iy'$, allora, per la definizione di Eulero, il teorema:

$e^{x}e^{x'}=e^{z+z'}$

è vero anche se z, $z'$ sono numeri complessi. Infatti:

$e^{z+z'}=e^{x+x'+i(y+y')}=e^{x+x'}|\cos(y+y')+i\operatorname {sen}(y+y')|=$

$=e^{x}(\cos y+i\operatorname {sen} y)=e^{x'}(\cos y'+i\operatorname {sen} y)=e^{z}e^{z'}$.

2° Sappiamo già che, se $z$ è reale, allora

$e^{z}=\lim _{m=\infty }\left(1+{\frac {z}{m}}\right)^{m}$.

Ebbene in virtù della definizione di Eulero, questa stessa formola vale anche se z è complesso.

Infatti: $\left(1+{\frac {z}{m}}\right)=\left[\left(1+{\frac {x}{m}}\right)+i{\frac {y}{m}}\right]=\rho (\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )$,

dove $\rho ={\begin{Bmatrix}\left(1+{\frac {z}{m}}\right)^{2}+{\frac {y^{2}}{m^{2}}}\end{Bmatrix}}^{\frac {1}{2}}.{\text{tg}}\theta ={\frac {y}{x+m}},|\theta |<{\frac {\pi }{2}}$.^[1]

Sarà:$\left(1+{\frac {z}{m}}\right)^{m}=\rho ^{m}{\begin{Bmatrix}\cos m\theta +i\operatorname {sen} m\theta \end{Bmatrix}}$.

Ora, posto ${\frac {1}{n}}={\frac {2x}{m}}+{\frac {x^{2}+y^{2}}{m^{2}}}$, è:

$\lim _{m=\infty }\rho ^{m}=\lim _{m=\infty }{\begin{Bmatrix}\left(1+{\frac {x}{m}}\right)^{2}+{\frac {y^{2}}{x^{2}}}\end{Bmatrix}}^{\frac {m}{2}}=\lim _{n=\infty }\left[\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]^{\frac {m}{2n}}$.

Ossia, poichè $\lim _{m=\infty }{\frac {m}{2n}}=x$, si ha $\lim _{m=\infty }p^{m}=e^{x}$.

D'altra parte $\lim _{m=\infty }\theta =0$, perchè $\lim {\text{tg}}\theta =\lim {\frac {y}{x+m}}=0$ e $|\theta |<{\frac {\pi }{2}}$; e $\lim _{m=\infty }m\theta =\lim _{m=\infty }m{\text{tg}}\theta {\frac {\theta }{{\text{tg}}\theta }}=\lim _{m=\infty }{\frac {my}{x+m}}\lim _{\theta =0}{\frac {\theta }{{\text{tg}}\theta }}=y.1=y$.

E quindi $\lim(\cos m\theta +i\operatorname {sen} m\theta )=\cos y+i\operatorname {sen} y$.

Perciò

$\lim _{m=\infty }\left(1+{\frac {z}{m}}\right)^{m}=e^{x}(\cos y+i\operatorname {sen} y)=e^{x+iy}=e^{z}$.          c.d.d.

Di tale definizione possiamo servirci per estendere anche a numeri negativi o complessi la teoria dei logaritmi neperiani. Sia $w=\rho (\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )$ un numero complesso. Io dirò che $z=x+iy$ ne è un logaritmo a base $e$, se

$e^{z}=e^{x}(\cos y+i\operatorname {sen} y)=w=\rho (\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )$

cioè se

          $e^{x}=\rho$          ,          $\cos y=\cos \theta$          ,           $\operatorname {sen} y=\operatorname {sen} \theta$.

Dunque $x$ è il logaritmo aritmetico del modulo $\rho$ di $w$.

Ed $y$ o è l'algoritmo $\theta$ di $w$, o differisce da $\theta$ per un multiplo $2k\pi$ di $2\pi$ ($k$ intero). Ciò che è ben naturale, appunto perchè l'anomalia di un numero complesso è definita a meno di multipli di $2\pi$.

Nel campo dei numeri complessi ogni numero

$w=\rho (\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )$

ha infiniti logaritmi

$\log _{e}\rho +i\theta +2k\pi i$.

Di questi logaritmi ve ne è uno (e solo uno) reale, se esiste un intero $k$ tale che $\theta +2k\pi =0$, ossia se $\theta$ è un multiplo di $2\pi$, cioè se si può supporre $\theta =0$, cioè se $w$ coincide col suo modulo $\rho$, ossia se $w$ è reale positivo.

I soli numeri reali positivi posseggono un logaritmo reale (quello di cui si occupa l'algebra elementare). Gli altri logaritmi se ne deducono aggiungendo un multiplo qualsiasi di $2\pi i$, e sono complessi.

I numeri reali negativi $w=-\rho$ hanno gli infiniti logaritmi (tutti complessi)

$\log \rho +i\pi +2\pi ki$

In particolare $-1$ ha tra i suoi logaritmi il numero $i\pi$.

Il teorema fondamentale della teoria dei logaritmi reali diventa ora: Sommando insieme un logaritmo di ciascuno dei fattori di un prodotto, si trova uno dei logaritmi del prodotto^[2]. Il lettore ne deduca i teoremi analoghi per i quozienti, le potenze, ecc.

Così, p. es., dalla $2\log(-1)=\log(-1)^{2}=\log 1$ non si può già dedurre che, essendo $\log 1=0$, anche $\log(-1)=0$, ma soltanto che il doppio di uno dei logaritmi di $-1$ vale uno dei logaritmi di $1$; infatti i logaritmi di $-1$ sono $(2k+1)i\pi$, il cui doppio è un multiplo di $2\pi i$, che è un logaritmo di $1$^[3].

Dalla $e^{\pm ix}=\cos x\pm i\operatorname {sen} x$ si deduce:

(1)

$\cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$          $\operatorname {sen} x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$.

Posto $x=iz$ (z reale) il primo membro non ha significato; noi porremo per definizione $\cos iz,\operatorname {sen} iz$ uguali ai valori che si ottengono dai secondi membri di (1) per $x=iz$. Cioè porremo:

$\cos iz={\frac {e^{z}+e^{-z}}{2}}$

$\operatorname {sen} iz={\frac {e^{z}-e^{-z}}{2}}$.

Perciò $\cos iz$ e ${\frac {\operatorname {sen} iz}{i}}$ sono reali per $z$ reale; noi li chiameremo rispettivamente il coseno iperbolico di $z$, e il seno iperbolico di $z$. E le indicheremo con cosh $z$ e senh $z$ (più brevemente ch z e sh z). È dunque:

ch $z={\frac {e^{z}+e^{-z}}{2}}=\cos iz$

sh $z={\frac {e^{z}-e^{-z}}{2}}={\frac {\operatorname {sen} iz}{i}}$

Si verifica tosto che ${\text{ch}}^{2}z-{\text{sh}}^{2}z=1$; posto cioè $x={\text{ch}}z.y={\text{sh}}z$, il punto $x,y$ descrive al variare di z una iperbole (donde il nome di funzioni iperboliche), mentre invece le equazioni $x=\cos z,y=\operatorname {sen} z$ definsicono il cerchio $x^{2}+y^{2}=1$ (donde il nome di funzioni circolari).

Si prova facilmente che ${\text{ch}}(x\pm y)={\text{ch}}x{\text{ch}}y\pm {\text{sh}}x{\text{sh}}y$, che ${\text{sh}}(x\pm y)={\text{sh}}x{\text{ch}}y\pm {\text{sh}}y{\text{ch}}x$, che ${\text{ch}}(-x)={\text{ch}}x$, che ${\text{sh}}(-x)=-{\text{sh}}x$. Adottando le (1) per definiz. di $\cos x,\operatorname {sen} x$ per ogni valore della $x=y+iz$ si trova ancora che $\cos(y+iz)=\cos y\cos iz-\operatorname {sen} y\operatorname {sen} iz=\cos x{\text{ch}}z-i\operatorname {sen} y{\text{sh}}z$

e che

$\operatorname {sen}(y+iz)=\operatorname {sen} y\cos iz+\cos y\operatorname {sen} iz=\operatorname {sen} y{\text{ch}}z+i\cos y{\text{sh}}z$.

Anche se $x,y$ sono numeri complessi continuano a valere le formole fondamentali delle goniometria

$\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp \operatorname {sen} x\operatorname {sen} y$; $\operatorname {sen}(x\pm y)=\operatorname {sen} x\cos y\pm \cos x\operatorname {sen} y$.

Posto per z reale ${\text{th}}z={\frac {{\text{sh}}z}{{\text{ch}}z}}$ (tangente uperbolica di z) è $1-{\text{th}}^{2}z={\frac {1}{{\text{ch}}^{2}}}$.

Per ogni z reale si può perciò trovare un angolo $\varphi$ del primo o del quarto quadrante (che sarà funzione di z) tale che:

${\frac {1}{{\text{ch}}z}}=\cos \varphi$; ${\text{th}}z=\operatorname {sen} \varphi$; ${\frac {{\text{th}}z}{\left({\frac {1}{{\text{ch}}z}}\right)}}={\text{tang}}\varphi ={\text{sh}}z$.

Ricordando la definizione di ${\text{ch}}z$, is consideri la prima di queste formole come un'equazione in cui $e^{z}$; se ne trae:

$z=\pm \log {\text{tg}}\left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {\varphi }{2}}\right)$.

Note

1. Per m molto grande il segno di $\cos \theta$, cioè il segno di $1+{\frac {x}{m}}$ è positivo, anche se $x<\theta$; e posso supporre $\theta$ compreso tra $-{\frac {\pi }{2}}$ e ${\frac {\pi }{2}}$.
2. Così anzi si possono trovare tutti i logaritmi del prodotto.
3. Il logaritmo $0$ del numero $1$ si trova, p. es., sommando insieme $i\pi$ e $-i\pi$, che sono entrambi logaritmi di $-1$, e non già facendo il doppio di uno dei logaritmi di $-1$.