Opere matematiche di Luigi Cremona/Solution de la question 464

by Luigi Cremona

Solution de la question 464

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Luigi Cremona - Opere matematiche (1914)

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14.

SOLUTION DE LA QUESTION 464.¹

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Nouvelles Annales de Mathématiques, 1.^re série, tome XIX (1860), pp. 149-151.

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Soient α, β, γ, δ les distances d’un point quelconque a quatre plans donnés; il est évident que l’équation la plus générale d’une surface du second ordre circonscrite au tétraèdre formé par les quatre plans

α = 0,     β = 0,     γ = 0,     δ = 0

sera

lβγ + mγα + nαβ + λαδ + μβδ + νγδ = 0.

Cette surface est coupée par le plan δ = 0 suivant la conique

lβγ + mγα + nαβ = 0.

Soient α’, β’, γ’ les distances d’un point quelconque du plan δ = 0 aux côtés du triangle δ = 0 (α = 0, β = 0, γ = 0): triangle formé par l’intersection du plan δ avec les plans α, β, γ; on a

α = α’ sin αδ,     β = β’ sin βδ,     γ = γ’ sin γδ

ou αδ est l’angle des plans α = δ = 0, etc. Donc l’équation de la conique rapportée au triangle inscrit sera

${\frac {l}{\alpha '\sin {\alpha \delta }}}+{\frac {m}{\beta '\sin {\beta \delta }}}+{\frac {n}{\gamma '\sin {\gamma \delta }}}=0.$

(Salmon)

Les angles du triangle sont βδγ, γδα, αδβ, où βδγ² exprime l’angle que fait l’intersection des faces β = δ = 0 avec l’intersection des faces γ = δ = 0. On sait que la conique représentée par l’équation ci-dessus est une circonférence, si l’on a

l : m : n = sin αδ . sin βδγ : sin βδ . sin γδα : sin γδ . sin αδβ.

(Salmon)

De même, si les plans α = 0, β = 0, γ = 0 coupent la surface suivant des circonférences, on aura

l : μ : ν = sin δα . sin βαγ : sin γα . sin δαβ : sin βα . sin γαδ,

m : ν : λ = sin δβ . sin γβα : sin αβ . sin δβγ : sin γβ . sin αβδ,

n : λ : μ = sin δγ . sin αγβ : sin βγ . sin δγα : sin αγ . sin βγδ.

De là on tire immédiatement que l , m , n , λ, μ, ν sont proportionnelles aux quantités

${\frac {\sin {\alpha \delta }}{\sin {\beta \gamma }}}$ sin βαγ . sin βγδ,     ${\frac {\sin {\beta \delta }}{\sin {\gamma \alpha }}}$ sin γβα . sin γδα,

${\frac {\sin {\gamma \delta }}{\sin {\alpha \beta }}}$ sin αγβ . sin αδβ,     ${\frac {\sin {\beta \gamma }}{\sin {\alpha \delta }}}$ sin αβδ . sin αγδ,

${\frac {\sin {\gamma \alpha }}{\sin {\beta \delta }}}$ sin βγδ . sin βαδ,     ${\frac {\sin {\alpha \beta }}{\sin {\gamma \delta }}}$ sin γαδ . sin γβδ,

ce qui démontre le thèorème de M. Prouhet.

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Note

1. Le questioni a cui si riferiscono le Memorie 14, 15, 16, 17 sono enunciate come segue, nei Nouv. Annales, tomi XVIII p. 117, XVIII p. 444, e XIX p. 43:
   464. Démontrer que l’équation de la sphère circonscrite à un tétraèdre est

   $\sum {\frac {\alpha \beta \sin(\gamma ,\delta )\sin(\alpha \gamma ,\beta \delta )\sin(\alpha \delta ,\beta \delta )}{\sin(\alpha ,\beta )}}=0,$

   
   α, β, γ, δ, sont les premiers membres des équations des faces mises sous la forme

   x cos α + y cos α’ + z cos α’’ — p = 0,

   
   (γ, δ) représente l’angle que fait la face γ avec la face δ, (αγ, βγ) l’angle que fait l’intersection des faces α et γ avec l’intersection des faces β et γ. (Prouhet).
   

   465.

   ${\begin{vmatrix}\alpha &\alpha +\delta &\cdots &\alpha +(n-2)\delta &\alpha +(n-1)\delta \\\alpha +\delta &\alpha +2\delta &\cdots &\alpha +(n-1)\delta &\alpha \\\alpha +2\delta &\alpha +3\delta &\cdots &\alpha &\alpha +\delta \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha +(n-1)\delta &\alpha &\cdots &\alpha +(n-3)\delta &\alpha +(n-2)\delta \end{vmatrix}}$ $=\pm {\frac {(n\delta )^{n-1}[2\alpha +(n-1)\delta ]}{2}}.$

   
   Si l’on fait

   α = δ = 1

   
   on retombe sur la question 432 (tome XVII p. 185).
   

   494. Soient ABC, abc deux triangles dans le même plan; q est un point variable, tel que les droites qa, qb, qc coupent respectivement les côtés BC, AC, AB en trois points qui sont en ligne droite: le lieu du point q est une ligne du troisième ordre.
   

   498. On donne: 1.º une droite fixe; 2.º un point B sur cette droite; 3.º un point fixe A. Trouver une courbe telle, qu’en menant par un point quelconque pris sur cette courbe une tangente, et par le point A une parallèle a cette tangente, ces deux droites interceptent sur la droite fixe deux segments, comptés du point B, tels que la somme des carrés de ces segments soit égale a un carré donné k².
   

   Mêmes données, mais prenant la différence des carrés, ou bien le produit des segments, ou bien la somme des inverses des segments égale à une constante donnée.
   

   499. Soient: 1.º A, B, C, D quatre droites dans un même plan, et m, o, l, s quatre points fixes dans ce plan; par m menons une droite quelconque coupant C et D aux points c et d, par c et o menons la droite co coupant A et B aux points a et b, par a et l menons la droite al et par c et s la droite cs; l’intersection p des droites al et cs decrit une ligne du troisième ordre.
   

   2.º Soit un quadrilatère plan variable ABCD; o, p, q, r quatre points fixes; o sur AB, p sur BC, q sur CD, r sur DA. Les sommets opposés A et C sont sur deux droites fixes données dans le plan du quadrilatère; les sommets opposés B, D décrivent des lignes du troisième ordre.

2. βδγ est l’angle qui, dans l’énoncé de la question, a été désigné par (βδ, γδ).                                                                      P. [Prouhet]