Opere matematiche di Luigi Cremona/Solution de la question 464

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Solution de la question 464

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14.

SOLUTION DE LA QUESTION 464.1



Nouvelles Annales de Mathématiques, 1.re série, tome XIX (1860), pp. 149-151.



Soient α, β, γ, δ les distances d’un point quelconque a quatre plans donnés; il est évident que l’équation la plus générale d’une surface du second ordre circonscrite au tétraèdre formé par les quatre plans

α = 0,     β = 0,     γ = 0,     δ = 0


sera

lβγ + mγα + nαβ + λαδ + μβδ + νγδ = 0.


Cette surface est coupée par le plan δ = 0 suivant la conique

lβγ + mγα + nαβ = 0.

Soient α’, β’, γ’ les distances d’un point quelconque du plan δ = 0 aux côtés du triangle δ = 0 (α = 0, β = 0, γ = 0): triangle formé par l’intersection du plan δ avec les plans α, β, γ; on a

α = α’ sin αδ,     β = β’ sin βδ,     γ = γ’ sin γδ


ou αδ est l’angle des plans α = δ = 0, etc. Donc l’équation de la conique rapportée au triangle inscrit sera

(Salmon)

Les angles du triangle sont βδγ, γδα, αδβ, où βδγ2 exprime l’angle que fait [p. 113 modifica]l’intersection des faces β = δ = 0 avec l’intersection des faces γ = δ = 0. On sait que la conique représentée par l’équation ci-dessus est une circonférence, si l’on a

l : m : n = sin αδ . sin βδγ : sin βδ . sin γδα : sin γδ . sin αδβ. (Salmon)

De même, si les plans α = 0, β = 0, γ = 0 coupent la surface suivant des circonférences, on aura

l : μ : ν = sin δα . sin βαγ : sin γα . sin δαβ : sin βα . sin γαδ,

m : ν : λ = sin δβ . sin γβα : sin αβ . sin δβγ : sin γβ . sin αβδ,

n : λ : μ = sin δγ . sin αγβ : sin βγ . sin δγα : sin αγ . sin βγδ.


De là on tire immédiatement que l , m , n , λ, μ, ν sont proportionnelles aux quantités

sin βαγ . sin βγδ,      sin γβα . sin γδα,

sin αγβ . sin αδβ,      sin αβδ . sin αγδ,

sin βγδ . sin βαδ,      sin γαδ . sin γβδ,


ce qui démontre le thèorème de M. Prouhet.



Note

  1. [p. 493 modifica]Le questioni a cui si riferiscono le Memorie 14, 15, 16, 17 sono enunciate come segue, nei Nouv. Annales, tomi XVIII p. 117, XVIII p. 444, e XIX p. 43:
    464. Démontrer que l’équation de la sphère circonscrite à un tétraèdre est


    α, β, γ, δ, sont les premiers membres des équations des faces mises sous la forme

    x cos α + y cos α’ + z cos α’’ — p = 0,


    (γ, δ) représente l’angle que fait la face γ avec la face δ, (αγ, βγ) l’angle que fait l’intersection des faces α et γ avec l’intersection des faces β et γ. (Prouhet).

    465.


    Si l’on fait

    α = δ = 1


    on retombe sur la question 432 (tome XVII p. 185).

    494. Soient ABC, abc deux triangles dans le même plan; q est un point variable, tel que les droites qa, qb, qc coupent respectivement les côtés BC, AC, AB en trois points qui sont en ligne droite: le lieu du point q est une ligne du troisième ordre.

    498. On donne: 1.º une droite fixe; 2.º un point B sur cette droite; 3.º un point fixe A. Trouver une courbe telle, qu’en menant par un point quelconque pris sur cette courbe une tangente, et par le point A une parallèle a cette tangente, ces deux droites interceptent sur la droite fixe deux segments, comptés du point B, tels que la somme des carrés de ces segments soit égale a un carré donné k2.

    Mêmes données, mais prenant la différence des carrés, ou bien le produit des segments, ou bien la somme des inverses des segments égale à une constante donnée. [p. 494 modifica]

    499. Soient: 1.º A, B, C, D quatre droites dans un même plan, et m, o, l, s quatre points fixes dans ce plan; par m menons une droite quelconque coupant C et D aux points c et d, par c et o menons la droite co coupant A et B aux points a et b, par a et l menons la droite al et par c et s la droite cs; l’intersection p des droites al et cs decrit une ligne du troisième ordre.

    2.º Soit un quadrilatère plan variable ABCD; o, p, q, r quatre points fixes; o sur AB, p sur BC, q sur CD, r sur DA. Les sommets opposés A et C sont sur deux droites fixes données dans le plan du quadrilatère; les sommets opposés B, D décrivent des lignes du troisième ordre.

  2. βδγ est l’angle qui, dans l’énoncé de la question, a été désigné par (βδ, γδ).                                                                      P. [Prouhet]