Opere matematiche di Luigi Cremona/Solution de la question 465

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Solution de la question 465

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Solution de la question 464 Sur les coniques sphériques et nouvelle solution générale de la question 498

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15.

SOLUTION DE LA QUESTION 465.1



Nouvelles Annales de Mathématiques, 1.re série, tome XIX (1860), pp. 151-153.



Soient a0, a1, ..., an—1, n quantités quelconques; α une racine primitive de l’équation binôme

xn — 1 = 0


et

θr = a0 + a1αr + a2αr2 + ... + an—1αrn—1


en supposant αr = αr.

Multiplions entre eux les deux déterminants

En exécutant la multiplication par lignes, les colonnes du déterminant produit [p. 115 modifica]deviennent divisibles respectivement par θ1, θ2, ..., θn , et l’on a


Or le determinant du second membre est évidemment égal a 2; donc

Le théorème, mentionné par M. Michael Roberts (Nouvelles Annales, cahier de mars 1859, p. 87), est de M. Spottiswoode (Journal de Crelle, t. LI); la démonstration ci-dessus m’a été communiquée par M. Brioschi, et je l’ai publiée comme lemme dans une petite Note Intorno ad un teorema di Abel (Annali di Tortolini, 1856) [Memoria 2 di questo volume].

En supposant

ar = a + rd,


il s’ensuit

     pour     r = 1, 2, ..., n — 1


et

θn = na + d;


donc

θ1θ2...θn—1 = (— 1)n—1nn—2dn—1,


et, par conséquent,


ce qui est bien la question 465.



Note

  1. [p. 493 modifica]Le questioni a cui si riferiscono le Memorie 14, 15, 16, 17 sono enunciate come segue, nei Nouv. Annales, tomi XVIII p. 117, XVIII p. 444, e XIX p. 43:
    464. Démontrer que l’équation de la sphère circonscrite à un tétraèdre est


    α, β, γ, δ, sont les premiers membres des équations des faces mises sous la forme

    x cos α + y cos α’ + z cos α’’ — p = 0,


    (γ, δ) représente l’angle que fait la face γ avec la face δ, (αγ, βγ) l’angle que fait l’intersection des faces α et γ avec l’intersection des faces β et γ. (Prouhet).

    465.


    Si l’on fait

    α = δ = 1


    on retombe sur la question 432 (tome XVII p. 185).

    494. Soient ABC, abc deux triangles dans le même plan; q est un point variable, tel que les droites qa, qb, qc coupent respectivement les côtés BC, AC, AB en trois points qui sont en ligne droite: le lieu du point q est une ligne du troisième ordre.

    498. On donne: 1.º une droite fixe; 2.º un point B sur cette droite; 3.º un point fixe A. Trouver une courbe telle, qu’en menant par un point quelconque pris sur cette courbe une tangente, et par le point A une parallèle a cette tangente, ces deux droites interceptent sur la droite fixe deux segments, comptés du point B, tels que la somme des carrés de ces segments soit égale a un carré donné k2.

    Mêmes données, mais prenant la différence des carrés, ou bien le produit des segments, ou bien la somme des inverses des segments égale à une constante donnée. [p. 494 modifica]

    499. Soient: 1.º A, B, C, D quatre droites dans un même plan, et m, o, l, s quatre points fixes dans ce plan; par m menons une droite quelconque coupant C et D aux points c et d, par c et o menons la droite co coupant A et B aux points a et b, par a et l menons la droite al et par c et s la droite cs; l’intersection p des droites al et cs decrit une ligne du troisième ordre.

    2.º Soit un quadrilatère plan variable ABCD; o, p, q, r quatre points fixes; o sur AB, p sur BC, q sur CD, r sur DA. Les sommets opposés A et C sont sur deux droites fixes données dans le plan du quadrilatère; les sommets opposés B, D décrivent des lignes du troisième ordre.

  2. [p. 494 modifica]Qui si è corretto l’esponente di (— 1), che nell’originale era . Così poi, alla fine, stava per esponente, mentre dev’essere . Cfr. la nota [2].