Teoria degli errori e fondamenti di statistica/8.7

by Maurizio Loreti

8.7 La distribuzione normale in più dimensioni

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

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8.7 La distribuzione normale in più dimensioni

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Figura 8i - La funzione normale in due dimensioni nel piano $\{u,v\}$ delle variabili standardizzate e per un coefficiente di correlazione $r=0.8$.

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Accenniamo solo brevemente alla cosiddetta distribuzione normale bidimensionale: per essa la densità di probabilità congiunta delle due variabili x ed y è, nel caso generale, data dalla

$f(x,y)={\frac {e^{\left\{-{\frac {1}{2(1-r^{2})}}\left[\left({\frac {x-\mu _{x}}{\sigma _{x}}}\right)^{2}-2r{\frac {(x-\mu _{x})(y-\mu _{y})}{\sigma _{x}\,\sigma _{y}}}+\left({\frac {y-\mu _{y}}{\sigma _{y}}}\right)^{2}\right]\right\}}}{2\pi \,\sigma _{x}\,\sigma _{y}{\sqrt {1-r^{2}}}}}$

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Figura 8j - La sole curve di livello della stessa funzione rappresentata nella figura 8i.

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o, espressa in funzione delle variabili standardizzate

$u={\frac {x-E(x)}{\sigma _{x}}}$

e

$v={\frac {y-E(y)}{\sigma _{y}}}$,

dalla

$f(u,v)={\frac {e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {u^{2}-2ruv+v^{2}}{1-r^{2}}}}}{2\pi {\sqrt {1-r^{2}}}}}$;

un esempio è dato dalle figure 8i e 8j.

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Figura 8k - Le sezioni della figura 8i con due piani di equazione $y=1$ e $y=2$ rispettivamente: ovvero (a parte la normalizzazione) le densità di probabilità condizionate $\pi (x|y=1)$ e $\pi (x|y=2)$.

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r è il coefficiente di correlazione lineare tra x ed y; $r=0$ è condizione necessaria e sufficiente perché le due variabili siano statisticamente indipendenti tra loro. Le due distribuzioni marginali $g(x)$ e $h(y)$ sono due funzioni normali, aventi speranza matematica e varianza $\mu _{x}$ e ${\sigma _{x}}^{2}$ la prima, e $\mu _{y}$ e ${\sigma _{y}}^{2}$ la seconda:

$g(x)=N(x;\mu _{x},\sigma _{x})$

e

$h(y)=N(y;\mu _{y},\sigma _{y})$.

Le densità di probabilità condizionate sono anch’esse sempre delle funzioni normali; come esempio, nella figura 8k si mostrano due di queste funzioni per la stessa distribuzione di figura 8i.

Nel caso più generale, la densità di probabilità di una distribuzione di Gauss N-dimensionale è del tipo

$f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})=Ke^{-{\frac {1}{2}}H(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})}$,

(8.21)

ove H è una forma quadratica nelle variabili standardizzate

$t_{i}={\frac {x_{i}-E(x_{i})}{\sigma _{i}}}$

nella quale però i coefficienti dei termini quadratici sono tutti uguali; le $t_{i}$ non sono generalmente indipendenti tra loro, e quindi H contiene anche i termini rettangolari del tipo $t_{i}\cdot t_{j}$.

K, nella (8.21), è un fattore di normalizzazione che vale

$K={\sqrt {\frac {\Delta }{(2\pi )^{N}}}}$;

a sua volta, $\Delta$ è il determinante della matrice (simmetrica) dei coefficienti della forma quadratica H. La condizione, poi, che la f di equazione (8.21) debba essere integrabile implica che le ipersuperfici di equazione $H=\mathrm {cost.}$ siano tutte al finito, e siano quindi iperellissi nello spazio N-dimensionale dei parametri; le funzioni di distribuzione marginali e condizionate di qualsiasi sottoinsieme delle variabili sono ancora sempre normali.

Si può inoltre dimostrare che esiste sempre un cambiamento di variabili $x_{i}\to y_{k}$ che muta H nella cosiddetta forma canonica (senza termini rettangolari); in tal caso

$\Delta =\left[\prod _{k=1}^{N}{\text{Var}}(y_{k})\right]^{-1}$

e

$f(y_{1},\ldots ,y_{k})={\frac {1}{\sqrt {\prod \limits _{k=1}^{N}\left[2\pi {\text{Var}}(y_{k})\right]}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{k=1}^{N}{\frac {\left[y_{k}-E(y_{k})\right]^{2}}{{\text{Var}}(y_{k})}}}$:

e le $y_{k}$ sono quindi tutte statisticamente indipendenti (oltre che normali).