Fabrica et uso del compasso polimetro/Parte Prima/Delle linee per i corpi regolari. Cap. VII.

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Delle linee per i corpi regolari. Cap. VII.

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Delle linee per i corpi regolari. Cap. VII.
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DELLE LINEE


PER I CORPI REGOLARI


CAP. VII.


P PER le linee che si deuvono segnare nelle proportioni de i lati delli cinque corpi regulari Tetraedro, overo Piramide, Essaedro overo Cubo, Ottaedro, Duodecaedro, Icosaedro, e il diametro della sfera,tutti fra loro di capacità vguali.


PIRAMIDE.


Sia il triangolo equilatero ABC, una delle basi d’una Piramide proposta, un lato del quale AB, sia diviso in D, in modo tale, che AD, venga ad’essere doppia della DB, e trovata [p. 29 modifica]frà le AB, et AD, laE, media proportionale; questa 13. del sesto. sarà l’altezza della proposta Piramide . Perche il lato del triangolo equilatero è triplo in potenza, alla linea dal centro del cerchio, che lo circonscrive; dunque nella Piramide, che la 12. del 13. perpendicolare dal suo vertice cade nel centro del cerchio che le circonscrive la base, sarà ad’essa in potenza sesquialtero, la quale proportione 47. del prtmo. hà anco il medesimo lato A B, alla E, per essere la stessa,che quella di AB, alla AD, in lunghezza: dunque la E, sarà l’altezza della 9. del quinto. Piramide, che hà per base il triangolo ABC, come si è detto la quale servirà molto all’inventione de i lati degl’altri corpi.


C U B O.


Per quello del cubo, Dall'angolo C, del triangolo, facciasi la CF, perpendicolare alla base AB; et perche AD, è doppia della DB, sarà tutta la AB, sesquialtera alla AD; onde la sua metà FB sarà nell'istessa proportione alla BD, metà della AD, et perciò la FD, la terza parte di FB; perloche trovarà frà le CF, et FD, la G , che sia media proportionale; sarà il quadrato di G, 12 del sesto cor. 20. del sesto 41. del Primo. Cap. 4. uguale alla terza parte del triangolo ABC, base della Piramide: sìano frà le due E, et G, trovate due medie proportionale K, et H, Dico H, essere il lato d’un cubo uguale alla Piramide proposta. Intendasi un parallelopipedo, il [p. 30 modifica] quale habbia per base il quadrato fatto dalla G, et l’altezza vguale ad’E, essendo le quattro linee G, H, K, et E, incontinoua proportione il quadrato G, al quadrato H, base del cubo, sarà come G, à K, cioè come H, alla E, cor. 20. del sesto cioè come l’altezza del cubo fatto da H, all’altezza E, del parallelopipedo, et perche le 34. dell'undecimo. basi, e le altezze, si rispondono reciprocamente, perciò, saranno frà loro uguali: mà il parallelopipedo che hà l’istessa altezza, che la Piramide, et la base uguale alla terza parte della sua cor.alla 7. del 13. base, sono frà loro vguali: dunque anco il Cubo H, et la proposta Piramide, saranno uguali frà loro come si disse.


SFERA.


Essendo che il cerchio, al quadrato del suo diametro, 3. Archim. de dim.cir.cor. 7. del 12 habbia quasi la proportione che 11, à 14, haverà il cilindro, che hà per altezza il diametro del cerchio della sua propia base, al cubo del medesimo diametro, la medesima [p. 31 modifica]portione di 11, à 14; mà il cilindro è sesquialtero {Annotazione a lato|cor. 32. del Primo d'Archim.de sph. ??? cyl.}} alla sfera, che hà il diametro uguale à quello della sua base, e hà l’istessa altezza; dunque il cubo alla sfera sarà come 21, à 11: Laonde fatto che di quelle parti che H, e undeci L, ne sia ventuna, e frà esse, le M, N, medie pròportionali, {Annotazione a lato|22. del Quinto. Cap. Quarto.}} hauerà la sfera che il suo diametro è N, alla sfera che hà per diametro H, la medema proportione che L, à H, cioè 21, à 11: mà la stessa proportione hà parimente il cubo, che per lato hà H, {Annotazione a lato|18. del 12.}} alla sfera che per diametro hà la stessa H: dunque la sfera N, e il cubo H, saranno frà loro uguali, e perciò la medesima sfera verà ad’essere uguale alla Piramide proposta da principio.


OTTAEDRO.


Sia frà le due CF, FB, nel triangolo equilatero ABC, la O, media proportionale, e divisa per mezzo l’altezza E, della Piramide, facciasi, che la proportione, che hà il lato d’un quadrato, alla metà della sua diagonale, habbia un’altra P, alla predetta metà di E, e frà le due O, et P, siano trovate le Q, V, medie proportionali Dico la R, essere 1a grandezza del lato dell’Ottaedro uguale alla Piramide, e in [p. 32 modifica]conseguenza à ciascuno degl’altri due corpi cubo, e sfera, che uno hà per lato H, e l’altro per diametro N. Perche dall’essere O, R, Q, P, in continoua proportione, succede che il quadrato di O, al quale è uguale il triangolo ABC, base della Piramide, al quadrato R, 20. del sesto. sia come la linea O, alla Q, cioè come R, à P; ma R, alla metà della diagonale del suo quadrato come P, alla metà di E, altezza della Piramide e perciò le due Piramidi, che hanno per base i quadrati O, et R, et l’altezza che si rispondono 9. del 1.. contrariamente saranno frà loro uguali: mà la Piramide che hà per base il quadrato O, et per altezza la metà di E, è uguale alla metà della Piramide 20. del Command. de cent. gr.solid.. proposta da principio, et quella che hà per base il quadrato R, et per altezza la metà diagonnale del suo quadrato uguale alla metà dell’Ottaedro, del quale R, è un lato delle sue basi; dunque questa, e la Piramide proposta saranno frà loro uguali, che quello che si era proposto trovare. Per il Duodecaedro, et Icosaedro è necessario prima d’ogn’altra cosa investigare quanta sia l’altezza della perpendicolare, che dal centro della sfera, che li comprende, cade sopra una delle loro basi, per potere conoscere quale proportione habbiano queste coi lati loro. [p. 33 modifica]

DVODECAEDRO.


PER quella del Duodecaedro . Siano le AB, e BC, due dei lati suoi, i quali contengano l’angolo ABC, del pentagono, e congiunto i punti A , C, siano dal punto B ,fatto due perpendicolari una BD, alla AC, e l’altra BF, alla AB , alla quale sia anco equidistante dal punto C, la CF . Facciasi dapoi nella AC, il triangolo equicrure AGC, co i lati uguali alla BF; sarà l’angolo a GC, quello dell'inclinatione ultima degl'elem. di due basi di detto corpo : Laonde sintenderemo il punto G, essere nel mezzo d’uno de i lati del Duodecaedro, saranno le GA , e GC, perpendicolari sopra esso lato , e prolungate diss. 6. del 11. tanto, che le AH, e CK, si faccino uguali alla BD, i punti H, e K, saranno ne i vertici di quei due pentagoni, de quali la base, e lato comune, è quello diviso per mezzo; e se cosi ancora imaginaremo essere fatto nel lato opposto; gli estremi di quelle perpendicolari, che [p. 34 modifica]medesimamente contengono l’angolo dell’inclinatione, equesti punti H, e K, saranno i termini di due lati del duodecaedro, i quali sono equidistanti alla linea, che congiunge i punti G, e il suo opposto, il che è sacile ad'intenderlo: e però fatta KL, equidistante alla GD, e uguale al lato AB, il punto L, sarà nel piano opposto à quello, nel quale si è constituito essere la GH: onde la perpendicolare LN, che dal punto L, cade sopra la HG, prolungata in N, sarà l’altezza del Duodecaedro, e la sua metà LM, quella che dal centro cade sopra una delle sue basi; che bisognava trovare.

Perche dunque il Duodecaedro si divide in dodici piramidi coi vertici nel centro della sfera che lo comprende, e con le basi pentagone tutte uguali frà loro, perciò dividaso il lato AB, della base della piramide in dodici parti uguali, una delle quali sia AF, sarà il triangolo CAF, la duodicesima parte della base ABC, e la piramide che haverà ACF, per base, e per altezza la E, che da principio si dimostrò essere l’altezza del Tetraedro, sarà la duodicesima parte di esso.

42. del primo ult. del secendo. cap.3. di questo Sia di già stato trovato il lato d’un quadrato uguale al triangolo ACF, e col mezzo di quelle linee segnate in questo strumento, che servono per le superficie, il lato G, d‘un pentagono d’area uguale à detto quadrato, e la proportione (nell’antecedente figura) che la LM, al [p. 35 modifica]lato AB, facciasi che habbia la E, altezza della Piramide; ad’un’altra X, et frà le due G, et X, Cap.4. siano le Y Z, medie proportionali, sarà Y, il lato del duodecaedro, che si desiderava trovare. Perche essendo le quattro linee G, Y, Z, et X, in continoua proportione, il pentagono - equilatero, e equiangolo; del quale uno de i suoi lati D, G, al pentagono simile à se, che hà per lato y, sarà come la G, alla Z, cioè come cor. alla 20. del sesto Y, alla X; ma X, all’altezza E, è come il lato del Duodecaedro alla perpendicolare che dal centro cade sopra una delle sue basi, sarà permutandosi 16. del Quinto il lato Y, alla detta perpendicolare come X, alla altezza E, della Piramide; e perciò il pentagono, che hà per un lato G, al pentagono che hà per lato Y, haverà l’istessa proportione, che l’altezza della Piramide nel Duodecaedro, all’altezza E, della Piramide; laonde respondendosi Cǒmad. alla 9. del 12. le basi, e le altezze contrariamente, saranno dette due Piramidi che hanno per basi i pentagoni G, et Y, frà loro uguali: mà il solido che hà per base il pentagono G, il quale fù fatto uguale al triangolo ACF, et l’altezza E, è la [p. 36 modifica] duodicesima parte del Tetraedro: et quello che hà per base il pentagono Y, e per altezza la 1inea del centro della sfera, che comprende il Duodecaedro perpendicolare sopra di esso pentagono base di detto corpo, la sua dodicesima parte, perciò questo Duodecaedro, e la Piramide, cioè il Tetraedro proposto da principio, saranno frà loro uguali; ch’è quello che si voleva dimostrare.


ICOSAEDRO.


SIA parimente esposto l'angolo ABC, uguale à quello del pentagono, e i due lati AB, BC,ne rappresentino quelli dell’Icosaedro; sopra uno de quali sia descritto il triangolo equilatero BDC, et dall’angolo D, fatta la DF, perpendicolare sopra la base BC, poi congiunti i punti A, C, tirinsi dal punto B, due II. del primoperpendicolari BG, BH, la BG, alla AC, et la BH, alla AB, et da C, la CH, parallela alla medesima AB. Da poi nella BG, prolungata, fra fatta la GK, uguale alla BH, et nella BK, il [p. 37 modifica] golo BLK, col lato BL, uguale alla perpendicolare DF, et l'altro LK, al lato AB. Sia parimente nella AC, fatto il triangolo equicrure AMC, coi lati uguali alla medesima perpendicolare DF: e nella MC, nel punto C, l'angolo MCN, uguale all'angolo BLK, et la N, al lato AB; sarà la perpendicolare NO, che dal punto N, cade sopra la AM, prolungata, l'altezza di tutto l'Icosaedro, e la sua metà OP, quella dal centro, che si cercava sapere . Perche essendo AMC, l'angolo dell'inclinatione di due basi nell'Icosaedro, et le AM, MC, uguali alla perpendicolare vult. de gl'elementi., nel triangolo BDC, che rappresenta una delle sue basi, saranno i punti A, C, i vertici loro; et perche l'angolo MCN, e stato fatto uguale all'angolo BLK, che è quello dell'inclinatione d'una delle perpendicolari, referisce la MC, con il lato comune di due delle sue basi contigue ad'essa, et la CN, uguale à detto lato: il punto K, sarà nel piano opposto (nell'Icosaedro ) à quello, nel quale da principio si pose essere AM; et perciò la perpendicolare NO, tutta l'altezza di detto corpo, et la sua metà AP, quella che dal centro cade sopra una delle sue basi; il che bisognava haver nota.

Hor perche l'Icosaedro è composto di venti Piramidi con le basi triangolari, et co i vertici nel centro della sfera che lo comprende; perciò dividasi la AB; lato del Tetraedro posto da principio, in venti parti uguali, una delle quali [p. 38 modifica] sia AQ, et fra le AB, AQ sia S, media proportionale; si faccia poi,che come l’altezza NP, (nella figura antecedente) è al suo lato AB, cosi sia l’altezza E, del Tetraedro, ad’vn’altra V, et frà ca.quarto. le due S, et R, trovate le T, V, medie proportionali. Dico la linea T, essere il lato dell'Icosaedro, che si cercava sapere: Perche essendo le quattro linee S, T, V, R, in continoua proportione, il triangolo equilatero, che ha per lato la S, al triangolo equilatero del quale un lato è T, sarà come S, à V, cor. alla 20. del sesto. cioè come T, à R, mà è stato fatto R, all'altezza T, del Tetraedro, come il lato dell'Icosaedro all'altezza dal centro sopra una delle sue basi; dunque il triangolo equilatero, che hà per lato S, 11. del sesto. il quale è uguale al triangolo ACQ, vigesima parte della base ABC, del Tetraedro, al triangolo equilatero, che hà per lato T, base dell'Icosaedro: sarà come l'altezza della piramide dell'Icosaedro, 9 del 12 all'altezza T, del Tetraedro, e perciò rispondendosi reciprocamente le basi, e le altezze, saranno dette due piramidi fra loro uguali: ma la piramide, che hà per base il [p. 39 modifica] golo equilatero del quale un lato è S, e per altezza E; è la vigesima parte del Tetraedro proposto da principio, e la piramide,che hà per base 6. del 12. il triangolo equilatero che hà per lato T, e per altezza la perpendicolare, che dal centro le cade sopra (nell'Icosaedro) inteso questo per una delle sue basi, la vigesima parte di tutto il suo Icosaedro; dunque questa, e il Tetraedro proposto, veranno ad’essere frà loro uguali; perciò il lato T, sarà quello, che si voleva haverne notitia.

Queste altre cinque linee de i lati del Cubo, Ottaedro, Duodecaedro, Icosaedro, e diametro della sfera, si riportaranno nella AB, lato del Tetraedro, dal punto A, con fare à iloro termini segni, ò lettere, che significano i nomi loro, ò il numero delle basi di detti corpi; e segnate quelle dell’instrumento col medesimo modo tenuto nell’altre, sì che il punto A, risponda al centro; si haveranno tutte quelle sei sorte di linee, che si sono stimate più necessarie per diverse belle, e curiose operatioui geometriche; havendo à bello studio tralasciatene alcune di minor importanza, come si disse fin da principio. Da questo strumento fabricato nel modo che si è detto si ricevono molti commodi nell’operationi sue, impercioche aperto nel modo che n’insegnano le regole, con le distanze frà i numeri segnati nell’una, e l’altra gamba d’un istesso marchio, con pochissima fatica si trovano [p. 40 modifica] quelle grandezze, che si desiderano: ben è vero che questa gran facilità viene bilanciata dalla fabrica dell'instrumento, per la difficoltà di trovare artefici diligentissimi; poi dall'essere necessario, che tutte le lince escano dal centro della snodatura, perloche s’accostano tanto insieme presso à quel concorso, chè malagevolmente ci si possono fare i segni, ò scrivere i numeri delle divisioni, oltreché alcune vengono lunghe quanto tutte le gambe, e alcune più corte, per rispetto della poca larghezza di esse, e per quello rispetto le divisioni più minute, e più malagevole à discernerle. Perciò come riuscirà di minor fatica spesa nella fabrica, e veranno più distinte, e uguali le linee, e più conoscibili i numeri, e caratteri loro, se tutte si disegnaranno in una semplice Riga d’ottone, od’altra materia dura, così sarà forse à molti più grato, ancorché per usarle ve si richieda alquanto più d’industria, e fatica, la quale non è à gran lunga pari à i vantaggi sodetti; perciò mostrato che si sia nel trattato che segue l’uso del compasso; si dirà con ogni brevità possibile qualche cosa ancora del modo di usare questa Riga la quale si è chiamata con l’istessa voce Polimetra per non essere diversa da quello; onde poche cose bastaranno per mostrare, come, rappresentando questa una delle gambe del compasso, vi s’aggiunga con industria l’altra, e si conducano à fine quasi con l’istessa facilità le sue operationi. [p. 41 modifica] Mà, ò vogliamoci servire del compasso, ò pure della Riga, nell’uno, e nell’altro, è necessario, che vi sia notato la grandezza propria del diametro d’una palla di qual si sia metallo, e peso; purché vi ci sia scritto l’uno, e l’altro, per schivare ogni errore nell’adoprarlo: et perche i pesi, che si costumano in un paese, non sono quasi mai i medesimi che quelli d’un’altro; perciò come sarebbe impossibile fare un diametro d’una palla, che il suo peso riuscisse sempre l’istesso in ogni luogo; cosi sarebbe negotio fastidioso, l’andare ricercando queste differenze per poterne fare per molti luoghi. Il Ghettaldi fece quelli che rispondono a i pesi, e misure, che usa Roma, e frà tanti de tutti i metalli un solo di trentotto libre di stagno, ne trovò ches’affrontasse essere di sei oncie del palmo antico senza particelle; del qual palmo la AB, é la quarta parte cioè tre oncie che uiene ad’essere la metà di detto diametro. Quarta parte del palmo antico Romano, et metà del diametro della palla di 38. libre di stagno.

Dove poi quei pesi di Roma non sono i medesimi, bisognerà sormarsene uno à proposito; e perche il fare col torno una palla d’una [p. 42 modifica]isquisita rotondità, la diligenza humana non è à sofficienza, converà ricorrere à mezzo meno difficile, e procurare, che da eccellente artefice sia fatto un cilindro di qualche metallo, di qual si voglia grandezza, con che però, tanto sia alto; cioe da un centro all’altro delle sue basi, quanto è tutto il diametro di esse basi; poi pesatolo con acurata diligenza, cor. 32. del primo d'Archim.de sphera et cylindro. à i due terzi di tutto, sarà uguale il peso della palla di quell’istesso diametro, e metallo: se questa dunque s’abbatesse essere di qualche peso di libre intiere, puotrà servire molto bene per lo fine che si hà: mà caso che nò, e si desiderasse d’un qualche detterminato peso, ridurannosi prima alla natura di quelle particelle,che mancavano à far le libre intiere, le libre del peso già trovato,poi facciasi che il diametro di questo, ad’un’altra linea habbia la proportione medema, che dette particelle à quelle, che comporebbono il peso intiero, che si desidera, cap. 4. di questo 18. del 12. e frà queste due, trovatone due altre medie proportionali, la prima di esse, che verebbe ad’essere conseguente a detto diametro, farà il diametro della palla del peso proposto. Il quale diametro, accioche nel compasso non si confonda con quelle che concorrono al centro si potrebbe segnare nella costa d'una delle sue gambe dalla parte di fuori, e nella Riga come una delle altre.