Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Curve descritte da un punto, le indicatrici del quale variino con legge data

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Art. 19. Curve descritte da un punto, le indicatrici del quale variino con legge data

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Art. 19. Curve descritte da un punto, le indicatrici del quale variino con legge data
Applicazione alle curve di second'ordine Alcune proprietà della curva Hessiana e della Steineriana

[p. 419 modifica]112. Riprendendo il caso generale d'una curva fondamentale d'ordine qualsivoglia , cerchiamo di condurre per un dato punto una retta che tocchi ivi la prima polare d'alcun punto della retta medesima1. Le prime polari passanti per hanno i loro poli nella retta polare di questo punto. Se inoltre dev'essere il punto di contatto della prima polare con una tangente condotta dal polo , anche la seconda polare di dovrà passare per (70); talché sarà una delle intersezioni della retta polare colla conica polare di , cioè dev'essere tangente alla conica polare di .

Dunque le rette che risolvono il problema sono le due tangenti che da si possono condurre alla conica polare di questo punto, ossia le due indicatrici del punto (90, c).

(a) Se è un punto dell'Hessiana, la sua conica polare è un pajo di rette incrociantisi nel corrispondente punto della Steineriana, pel quale passa anche la retta polare di . I punti di questa retta sono poli di altrettante prime polari passanti per ed ivi aventi una comune tangente (90, a); donde segue che questa è un'indicatrice del punto . Ma le indicatrici di sono insieme riunite nella retta (90, c); dunque (98, b):

La retta che unisce un punto dell'Hessiana al corrispondente punto della Steineriana tocca nel primo di questi punti tutte le prime polari passanti per esso.

Ond'è che la linea della classe , inviluppo delle tangenti comuni ne' punti di contatto fra le prime polari (91, b), può anche essere definita come l'inviluppo delle rette che uniscono le coppie di punti corrispondenti dell'Hessiana e della Steineriana (98, b).

(b) Data una retta , in essa esistono punti, ciascun dei quali, , è il polo d'una prima polare tangente ad in un punto (103, c); epperò in una retta qualunque vi sono punti, per ciascuno de' quali essa è un'indicatrice.

Se è una tangente della curva fondamentale, nel punto di contatto sono riuniti due punti ed i due corrispondenti punti .

113. Quale è il luogo del punto , se una delle sue indicatrici passa per un punto fisso ? Ciascuna retta condotta per contiene posizioni del punto (112,b); ed rappresenta altri due punti , corrispondenti alle due indicatrici dello stesso punto . Dunque il luogo richiesto è una curva dell'ordine , che passa due volte per . [p. 420 modifica]Considerando una tangente della curva fondamentale, nel punto di contatto sono riuniti due punti ; dunque la linea tocca negli punti di contatto delle tangenti condotte a questa dal punto .

Quando il polo (112) prende il posto del punto , le intersezioni della prima colla seconda polare di sono altrettante posizioni del punto . Viceversa, se è nella seconda polare di , la conica polare di passa per ; ma dee giacere in una tangente condotta da alla conica polare di quest'ultimo punto, dunque anche la retta polare di passerà per , e conseguentemente giacerà nella prima polare di . Quegli punti sono pertanto i soli che la curva abbia comuni colla seconda polare di ; ond'è che in tutti quei punti le due curve si toccano. Concludiamo adunque che la curva tocca la curva fondamentale e la seconda polare del punto ovunque le incontra, e gli punti di contatto giacciono tutti nella prima polare di .

Siccome la prima polare di presa due volte può considerarsi come una linea dell'ordine , e siccome la curva fondamentale e la seconda polare di costituiscono insieme un'altra linea dello stesso ordine; così (41) per i punti ne' quali la prima polare di sega e la seconda polare, si può far passare un fascio di curve dell'ordine , ciascuna delle quali tocchi la curva fondamentale e la seconda polare di in tutti quei punti. Fra le infinite curve di questo fascio, quella che passa per è .

114. Di qual classe è l'inviluppo delle indicatrici dei punti di una data curva d'ordine ? Ossia, quanti punti di questa curva hanno un'indicatrice passante per un punto fissato ad arbitrio? Il luogo di un punto , un'indicatrice del quale passi per , è (113) una curva dell'ordine , che segherà in punti; dunque in concorrono tangenti dell'inviluppo richiesto.

Si noti poi che quest' inviluppo tocca la curva fondamentale ovunque essa è incontrata da ; e ciò perchè ciascuna di queste intersezioni ha le sue indicatrici confuse insieme nella relativa tangente di . Dunque:

Le indicatrici dei punti di una linea d'ordine inviluppano una linea della classe , che tocca la curva fondamentale ne' punti ove questa è incontrata dalla linea d'ordine .

(a) Di qui per si ricava che le indicatrici dei punti di una retta data inviluppano una curva della classe , la quale tocca in punti la retta medesima, perchè questa è indicatrice di suoi punti (112, b)2. [p. 421 modifica](b) In virtù del teorema generale or dimostrato, se il punto percorre l'Hessiana che è una curva dell'ordine , le indicatrici di inviluppano una linea della classe ; ma siccome in questo caso, per ogni posizione di le due indicatrici si confondono in una retta unica (90, c), così la classe dell'inviluppo si ridurrà a : risultato già ottenuto altrimenti (91, b; 112, a).

A quest'inviluppo arrivano tangenti da ogni dato punto ; onde ciascuno dei punti dell'Hessiana, le indicatrici de' quali sono le anzidette tangenti, rappresenta due intersezioni dell'Hessiana colla curva superiormente determinata (113).

Riunendo questa proprietà colle altre già dimostrate (113), si ha l'enunciato:

Dato un punto , il luogo di un punto tale che la retta sia tangente alla conica polare di è una linea dell'ordine , che passa due volte per e tocca la curva fondamentale, l'Hessiana e la seconda polare di ovunque le incontra.

115. Cerchiamo ora di determinare l'ordine del luogo di un punto , un'indicatrice del quale sia tangente ad una data curva della classe , cioè indaghiamo quanti punti sianvi in una retta , dotati di un'indicatrice tangente a . Se il punto si muove nella retta , le sue indicatrici inviluppano (114, a) una linea della classe , la quale avrà tangenti comuni colla data curva . Dunque il luogo richiesto è dell'ordine .

Se consideriamo una tangente comune a ed a , nel contatto con quest'ultima linea sono riuniti due punti , pei quali la tangente fa l'ufficio d'indicatrice; donde s'inferisce che il luogo richiesto tocca la curva fondamentale negli punti ove questa è toccata dalle tangenti comuni a , ovvero (ciò che è la stessa cosa) ne' punti in cui la curva fondamentale è incontrata dalla prima polare di (104, d).

La curva ha tangenti comuni coll'inviluppo delle indicatrici dei punti dell'Hessiana; talché è il numero dei punti comuni all'Hessiana ed al luogo dell'ordine , di cui qui si tratta. Dunque:

Il luogo di un punto dal quale tirate le tangenti alla sua conica polare, una di queste riesca tangente ad una data curva della classe , è una linea dell'ordine che tocca la curva fondamentale e l'Hessiana ovunque le incontra.

116. Dati due punti fissi , , cerchiamo il luogo di un punto tale che le rette , siano polari coniugate (108) rispetto alla conica polare di . È evidente che questo luogo passa per e per .

Sia una retta condotta ad arbitrio per , e un punto di . Le rette polari di , rispetto alla conica polare di incontrino ne' punti , ; i quali se coincidessero in un punto solo, questo sarebbe il polo della retta relativamente alla detta conica, talché si avrebbe in un punto del luogo richiesto. Assunto ad arbitrio [p. 422 modifica]il punto come intersezione di con una retta polare, gli corrispondono posizioni del polo (i punti comuni ad e alla prima polare di ), e quindi altrettanti punti . Se invece si assume ad arbitrio , come incontro di colla retta polare di rispetto ad una conica polare indeterminata, il polo di questa è nella prima polare di relativa alla prima polare di (69, d), cioè in una curva d'ordine , le intersezioni della quale con sono le posizioni di corrispondenti al dato punto ; ond'è che a questo punto corrisponderanno punti 3. Dunque il numero de' punti in , pei quali e coincidono, è ; e siccome anche è un punto della curva cercata, così questa è dell'ordine . La designeremo con , perchè, ove coincida con , essa rientra nella curva , già considerata (113)4.

Sia il punto di contatto della curva fondamentale con una tangente uscita da ; la retta polare di è , tangente in alla conica polare dello stesso punto , onde, qualunque sia , la retta passa pel polo di . Dunque è un punto di , cioè questa linea passa per gli punti di contatto della curva fondamentale colle tangenti che le arrivano da ; e per la stessa ragione passerà anche per gli punti in cui è toccata da rette condotte per .

Cerchiamo in quanti e quali punti la curva incontri la prima polare di relativa alla prima polare di , la quale chiameremo per brevità seconda polare mista de' punti . Se questa seconda polare mista passa per , viceversa (69, d) la retta polare di rispetto alla conica polare di passa per , ossia i punti , sono poli coniugati (108) relativamente alla conica polare di . In tal caso, affinchè le rette , siano polari coniugate rispetto alla medesima conica, basta evidentemente che la retta polare di passi per o per ; epperò dovrà trovarsi o nella prima polare di o in quella di . Dunque la curva passa pei punti in cui la seconda polare mista de' punti è segata dalle prime polari de' punti medesimi. [p. 423 modifica]Ora siano , due punti corrispondenti dell'Hessiana e della Steineriana, tali che la retta passi per . Per esprimere che, rispetto alla conica polare di , le rette , sono coniugate, basta dire che le rette polari di e (relative alla conica) concorrono in un punto di . Ma nel caso attuale, la conica polare di è un pajo di rette incrociatisi in (90, a), talché per questo punto passano le polari di e (relative alla conica medesima). E siccome anche contiene, per ipotesi, il punto , così appartiene ad , ossia questa curva passa pei punti dell'Hessiana, le cui indicatrici concorrono in . Analogamente la curva passa anche pei punti dell'Hessiana, le indicatrici de' quali partono da . Dunque:

Dati due punti , , il luogo di un punto , tale che le rette , siano coniugate rispetto alla conica polare di , è una linea dell'ordine , che passa:

  1. pei punti , ;
  2. pei punti in cui la curva fondamentale è toccata dalle tangenti condotte per o per ;
  3. pei punti in cui la prima polare di (o di ) è toccata da rette concorrenti in (o in );
  4. pei punti dell'Hessiana, le indicatrici de' quali convergono ad o a .

(a) In altre parole, la linea sega la curva fondamentale e l'Hessiana ne' punti ove queste sono toccate dalle due linee , , che dipendono separatamente dai punti , (113).

(b) Se il punto è dato, mentre varii descrivendo una retta , la linea genera un fascio. Infatti, essa passa, qualunque sia , per punti fissi, i quali sono:

  1. il punto ;
  2. gli punti in cui è toccata dalle tangenti che passano per ;
  3. i punti dell'Hessiana, le cui indicatrici concorrono in ;
  4. i punti nei quali (oltre a che è variabile) sega ; questi ultimi non variano, perchè sono i punti comuni a due involuzioni proiettive, indipendenti dal punto 3.

Questa proprietà si dimostra anche cercando quante curve passino per un dato punto , quando sia fisso e debba trovarsi in una retta . Siccome le rette , devono essere coniugate rispetto alla conica polare di , così il punto sarà l'intersezione di colla retta che congiunge al polo di relativo a quella conica. Dunque ecc.

Nello stesso modo si dimostra che, se è fisso, le curve passanti per uno stesso punto formano un fascio; cioè per due punti dati , passa una sola curva relativa al punto fisso ; ecc.

117. La precedente ricerca (116) può essere generalizzata, assumendo una curva-inviluppo invece del punto , od anche una seconda curva invece di , ovvero una sola curva in luogo del sistema dei due punti.

Data una curva della classe e dato un punto , vogliasi determinare il luogo di un punto tale che la retta sia, rispetto alla conica polare di , coniugata ad [p. 424 modifica]alcuna delle tangenti che da ponno condursi a : ovvero con altre parole, la retta passi per alcuno de' punti in cui la retta polare di taglia la curva polare reciproca di rispetto alla conica polare di (110).

La curva richiesta passa volte per , giacché se il punto cade in , sonvi rette sodisfacenti all'anzidetta condizione: quelle cioè che da vanno agli punti in cui la retta polare di taglia la polare reciproca di (relativa alla conica polare di ).

Sia un punto di ; la retta polare di sarà la tangente alla curva fondamentale nel punto medesimo. Laonde se questa retta tocca anche , sarà un punto della polare reciproca di (relativa alla conica polare di ) e siccome, qualunque sia , la retta passa per , punto comune alla detta polare reciproca ed alla retta polare di , così questo punto apparterrà al luogo richiesto. Ond'è che questo luogo contiene gli punti di contatto della curva fondamentale colle tangenti comuni a .

Se invece appartiene a e è tangente a questa curva in , la stessa retta è la polare di ; ma essa incontra in punti la polare reciproca di , dunque è un punto multiplo secondo per la curva richiesta. Questa ha pertanto punti pli, e son quelli ove è toccata da tangenti che concorrono in .

Sia un punto dell'Hessiana, il corrispondente punto della Steineriana. Se è tangente alla data curva , essa sarà coniugata alla retta rispetto alla conica polare di  ; infatti, sì quella tangente che le polari dei punti , , relative a questa conica, concorrono nel punto . Donde s'inferisce che è un punto del luogo che si considera; vale a dire, questo luogo passa pei punti dell'Hessiana, le indicatrici de' quali toccano .

Siano ancora , punti corrispondenti dell'Hessiana e della Steineriana; ma passi per . Allora, siccome la conica polare di è un pajo di rette incrociate in , così la polare reciproca di rispetto a tale conica sarà (110, a) un fascio di rette concorrenti in . Ond'è che il punto rappresenta intersezioni sì della retta che della retta polare di colla polare reciproca di , e per conseguenza tien luogo di punti consecutivi comuni alla curva richiesta ed all'Hessiana. Dunque il luogo geometrico, del quale si tratta, ha un contatto punto [89] coll'Hessiana in ciascuno dei punti le cui indicatrici passano per .

Passiamo da ultimo a determinare l'ordine della curva in questione. Sia una retta arbitraria condotta per , e un punto in . La retta polare di incontri in , e la polare reciproca di (rispetto alla conica polare di ) seghi in punti . Se si assume ad arbitrio , vi corrispondono posizioni di (le intersezioni di colla prima polare di ) e quindi posizioni di . Se invece si assume ad arbitrio , come incontro di colla polare reciproca di rispetto alla conica polare [p. 425 modifica]di un polo indeterminato, questo polo giace (104, k) nella prima polare di relativa alla prima polare di ; la qual curva essendo (104, d) dell'ordine sega in altrettanti punti , ed a ciascuno di questi corrisponde un punto . Così ad ogni punto corrispondono punti , ed ogni punto individua punti ; onde la coincidenza di un punto con uno dei corrispondenti punti avverrà volte. Ma ove tale coincidenza si verifichi, il punto appartiene alla curva cercata. Questa ha dunque punti in , oltre al punto che è multiplo secondo ; vale a dire, essa è dell'ordine .

(a) Analogamente si dimostra che:

Date due curve , , le cui classi siano , , il luogo di in punto tale che due tangenti condotte per esso, l'una a , l'altra a , siano coniugate rispetto alla conica polare dello stesso punto , è una linea dell'ordine , la quale

  1. passa volte per ciascuno degli punti in cui la curva fondamentale è toccata da rette tangenti di ;
  2. passa volte per ciascuno degli punti in cui è toccata da rette tangenti di ;
  3. ha coll'Hessiana un contatto punto in ciascuno dei punti le cui indicatrici toccano ;
  4. ha coll'Hessiana medesima un contatto punto in ciascuno dei punti le indicatrici dei quali sono tangenti a .

(b) Se invece è dato un solo inviluppo della classe , e si cerca il luogo di un punto tale che due tangenti condotte da esso a siano coniugate rispetto alla conica polare di , si trova una linea dell'ordine , la quale passa volte per ciascuno degli punti ove la curva fondamentale è toccata da rette tangenti di , ed ha un contatto punto coll'Hessiana in ciascuno de' punti di questa curva, le indicatrici de' quali toccano .

Note

  1. Clebsch, l. c. p. 280-285.
  2. <Quella curva è dell'ordine , e contiene, oltre ai punti suddetti, anche le intersezioni della retta data colla Hessiana e colla curva fondamentale.>
  3. 3,0 3,1 Variando il punto nella retta , la prima polare di genera un fascio (77), le curve del quale determinano in un'involuzione del grado . Ma ad ogni punto corrisponde un punto ; dunque, col variare di , il gruppo de' corrispondenti punti genera un' involuzione del grado . [88] Anche la prima polare di , rispetto alla prima polare del punto fisso , quando corra sopra , dà luogo ad un fascio; epperò, col variare di , il gruppo de' corrispondenti punti genera un'involuzione del grado . Dunque, variando simultaneamente i punti , producono due involuzioni projettive, l'una del grado , l'altra del grado . I punti comuni a queste involuzioni (24, b), insieme con , sono quelli in cui incontra il richiesto luogo geometrico.
  4. < sega la retta nei punti le cui coniche polari toccano quella retta: punti che appartengono anche alle curve , .>