La geometria non-euclidea/Capitolo I/Il postulato delle parallele presso gli arabi

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Il postulato delle parallele presso gli arabi

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Il postulato delle parallele presso gli arabi
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[p. 8 modifica]§ 6. Gli arabi, successori dei greci nel primato delle matematiche, si occuparono come questi del V postulato. Alcuni però accettarono senz’altro le idee e le dimostrazioni dei loro maestri, come, ad es., Al-Nirizi [IX secolo], il cui commento alle definizioni, postulati, ed assiomi del I libro è modellato, sulla introduzione agli «Elementi» [p. 9 modifica] dovuta a Simplicius, e la cui dimostrazione della V ipotesi euclidea è quella sopra accennata [§ 5] di Aganis.

Altri portarono un contributo personale alla questione. Nasîr-Eddîn [1201-1274], ad es., benchè dimostri il V postulato, informandosi al criterio seguito da Aganis, merita di essere ricordato, per la veduta originale di premettere esplicitamente il teorema sulla somma degli angoli di un triangolo, e per la forma esauriente del suo ragionamento1.

Ecco la parte essenziale dell'ipotesi ch'egli ammette. Se due rette r ed s sono la prima perpendicolare, l'altra obliqua al segmento AB, i segmenti di perpendicolare calati da s su r sono minori di AB dalla banda in cui AB forma con s angolo acuto, maggiori di AB dalla banda di cui AB forma con s angolo ottuso. Segue immediatamente che se due segmenti uguali AB, A'B' cadono da una stessa banda e perpendicolarmente su la retta BB', la retta AA' sarà perpendicolare essa pure ai due segmenti dati. Inoltre si avrà AA' = BB', vale a dire la figura AA'B'B è un quadrilatero con gli angoli retti e i lati opposti uguali, cioè un rettangolo.

Da questo risultato Nasîr-Eddîn ricava facilmente che la somma degli angoli d'un triangolo è uguale a due angoli retti. Per il triangolo rettangolo la cosa è manifesta, essendo esso metà di un rettangolo; per il triangolo qualunque si ottiene lo scopo mediante la decomposizione del triangolo in due triangoli rettangoli.

Ciò posto ecco rapidamente come il geometra arabo dimostra il postulato euclideo [cfr. Aganis].

Siano AB, CD due raggi, l'uno obliquo l'altro perpendicolare alla retta AC. Su AB si fissi il segmento AH e da H [p. 10 modifica] si cali la perpendicolare HH’ su AC. Se il punto H’ cade in C, ovvero da banda opposta di A rispetto a C, i due raggi AB, CD s’incontrano senz’altro. Se poi H’ cade fra A e C si tracci il segmento AL, perpendicolare ad AC ed uguale ad HH’. Allora, per quanto sopra si disse sarà: HL = AH’. Consecutivamente ad AH si prenda HK uguale ad AH e da K si cali la perpendicolare KK’ su AC. Essendo KK’ > HH’, si formi K’L’= H’H e si congiunga H con L’. Essendo i due quadrilateri K’H’HL’, H’ALH entrambi rettangoli i tre punti L’, H, L sono in linea retta. Segue: e conseguentemente l’uguaglianza dei due triangoli AHL, HL’K. Quindi: L’H = HL, e per le proprietà dei rettangoli: K’H’= H’A.

Prendasi ora KM uguale e consecutivo ad HK e da M si cali MM’ perpendicolare ad AC. Con un ragionamento uguale a quello ora svolto si dimostra:

Ottenuto questo primo risultato si prenda un multiplo di AH’maggiore di AC [postulato di Archimede]. Sia, ad esempio, AO’ = 4.AH’> AC. Allora su AB si costruisca AO = 4.AH e da O si cali la perpendicolare ad AC. Questa perpendicolare sarà evidentemente OO’. Allora nel triangolo rettangolo AO’O la retta CD, perpendicolare al cateto O’A, non potendo incontrare l’altro cateto OO’, incontrerà necessariamente l’ipotenusa OA. Con ciò rimane dimostrato che due rette AB, CD, l’una perpendicolare e l’altra obbliqua alla trasversale AC, si incontrano. In altre parole si è dimostrato il postulato euclideo nel caso in cui uno degli angoli interni sia retto. Facendo poi uso del teorema sulla somma degli angoli d’un triangolo, Nasîr-Eddîn riconduce il caso generale a questo caso particolare. Non [p. 11 modifica] riproduciamo il ragionamento perchè nel seguito dovremo riportarne uno uguale [cfr. § 15]2.


Note

  1. Cfr. «Euclidis elementorum libri XII studio Nassiredini» [Roma, 1594]. Quest'opera, scritta in lingua araba, fu riprodotta nel 1657, 1801. Non ne esiste alcuna traduzione in altra lingua.
  2. La dimostrazione di Nasîr-Eddîn del l’postulato è riportata per disteso dal geometra inglese J. Wallis, nel II volume delle sue opere (cfr. nota a p. 14), e da G. Castillon, in un suo scritto pubblicato nei «Mém. de l’Académie Royale de Sciences et Belles-lettres» di Berlino, T. XVIII,175-183 [1788-89]. Inoltre di essa fanno cenno parecchi altri scrittori, fra cui rammenteremo principalmente G. S. Klügel (cfr. nota (3)), J. Hoffman [Critik der Parallelen- Theorie, Jena 1807]; {{Sc|V. Flauti} [Nuova dimostrazione del postulato quinto...., Napoli 1818].