La geometria non-euclidea/Capitolo II/I geometri francesi alla fine del XVIII secolo

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I geometri francesi alla fine del XVIII secolo

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I geometri francesi alla fine del XVIII secolo
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[p. 46 modifica]I GEOMETRI FRANCESI DELLA FINE DEL XVIII SECOLO


§ 23. La critica sulle parallele, che già in Italia ed in Germania aveva condotto a risultati di grande interesse, verso la fine del XVIII secolo e sul principio del XIX ebbe, anche in Francia un notevole impulso.

D’Alambert [1717-1783], in un suo articolo sulla geometria [1759] dichiara che: «La definition et les propriétés de la ligne droite, ainsi que des lignes parallèles sont 1'écueil et pour ainsi dire le scandale des éléments de Géométrie1». Ritiene che con una buona definizione di linea retta si dovrebbero evitare entrambe le difficoltà. Propone di chiamare parallela ad una retta data una qualsiasi altra retta coplanare, che congiunge due punti equidistanti e situati da una stessa banda di quella. Questa definizione permette di costruire immediatamente le parallele: però sarebbe necessario dimostrare che queste parallele sono equidistanti. Questo teorema fu proposto dal D’Alambert, quasi per sfida, ai suoi contemporanei.


§ 24. De Morgan, nella sua raccolta di paradossi, racconta che Lagrange [1736-1813], verso la fine di sua vita, scrisse una memoria sulle parallele. Presentata all'Accademia di Francia ne interruppe la lettura esclamando: «Il faut que j'y songe encore!» e ritirò il manoscritto2.

Inoltre Hoüel riporta che Lagrange, conversando con Biot, affermava l'indipendenza della trigonometria sferica dal [p. 47 modifica]postulato d'Euclide3. Ad avvalorare questa affermazione può aggiungersi che Lagrange si occupò con speciale interesse della trigonometria sferica4 e che egli fu ispiratore, se non autore, d'una memoria «Sur les principes fondamentaux de la Mécanique» [1760-61]5, in cui D. Foncenex svolge una questione di indipendenza analoga a quella sopra accennata della trigonometria sferica. Precisamente Foncenex dimostra che la legge analitica per la composizione delle forze concorrenti non dipende nè dal V postulato, nè da qualsiasi altro equivalente6.


§ 25. Il concetto di similitudine, come concetto fondamentale, già usato da Wallis nel 1663 [cfr. § 8], ricompare sul principio del XIX secolo, con l'autorevole appoggio di due grandi geometri: L. N. M. Carnot [1753-1823] e Laplace [1749-1827].

In una nota [p. 481] alla sua «Géométrie de Position» [1803] Carnot afferma che la teoria delle parallele si riattacca alla nozione di similitudine, il cui grado d'evidenza corrisponde, presso a poco, a quello dell'uguaglianza e che una volta ammessa questa nozione è facile stabilire con rigore la teoria in discorso.

Laplace [1824], dopo aver osservato che la legge di Newton [legge dell'attrazione universale], per la sua semplicità, per la sua generalità e per la rispondenza che trova nei fenomeni fisici, deve riguardarsi come rigorosa, nota che una delle sue proprietà più notevoli è che ove le dimensioni di tutti i corpi dell'universo, le loro mutue distanze [p. 48 modifica]e le loro velocità decrescessero proporzionalmente, i corpi celesti descriverebbero delle linee interamente simili a quelle che descrivono, in modo che l'universo, ridotto successivamente fino al più piccolo spazio immaginabile, offrirebbe sempre le stesse apparenze ai suoi osservatori. Queste apparenze, continua, sono dunque indipendenti dalle dimensioni dell'universo, talchè la semplicità delle leggi naturali non permette all'osservatore che di conoscere dei rapporti. Riattaccandosi a questa concezione astronomica dello spazio, aggiunge in nota: «I tentativi dei geometri per dimostrare il postulato d'Euclide sulle parallele sono stati finora inutili. Tuttavia nessuno pone in dubbio questo postulato ed i teoremi che Euclide dedusse. La percezione dello spazio racchiude dunque una proprietà speciale, evidente per sè stessa, senza la quale non si possono rigorosamente stabilire le proprietà delle parallele. L'idea dell'estensione limitata, per esempio, del cerchio, non contiene nulla che dipenda dalla sua grandezza assoluta. Ma se noi diminuiamo col pensiero il suo raggio siamo portati invincibilmente a diminuire nello stesso rapporto la sua circonferenza ed i lati di tutte le figure iscritte. Questa proporzionalità mi pare essere un postulato più naturale di quello di Euclide ed è notevole il ritrovarlo nei risultati della gravitazione universale»7.


§ 26. Insieme ai precedenti geometri si suole ricordare anche J. B. Fourier [1768-1830], per una discussione sulla linea retta da lui sostenuta insieme a Monge8. Volendo riattaccare questa discussione alle ricerche sulle parallele basta riferirsi all'idea espressa da D’Alambert, che la dimostrazione [p. 49 modifica]del postulato possa connettersi con la definizione di retta [cfr. § 23].

Fourier, assumendo come primitivo il concetto di distanza fra due punti, propose di definire prima la sfera, indi il piano, come luogo dei punti equidistanti da due punti dati9, poi la retta, come luogo dei punti equidistanti da tre punti dati. Questo modo di presentare il problema dei fondamenti della geometria concorda con le idee professate in seguito da altri geometri che si occuparono espressamente della questione delle parallele [W. Bolyai, N. Lobacefski, De Tilly]. In questo senso la discussione tra Fourier e Monge trova il suo posto fra i primi documenti che si riferiscono alla geometria non-euclidea10.

  1. Cfr. D’Alambert: «Mélanges de Litterature, d'Histoire et de Philosophie», t. V, § XI [1759]. — Cfr. ancora: «Encyclopedie Méthodique Mathématique», t. II, p. 519, articolo: Parallèles, [1785].
  2. A. De Morgan: «Budget of Paradoxes», p. 173 [Londra, 1872].
  3. Cfr. J. Hoüel: «Essai critique sur les prineipes fondamentaux de la géométrie élémentaire», p. 84, nota. [Paris, G. Villars, 1883].
  4. Miscellanea Taurinensia, t. II, p. 299-322 [1700-61].
  5. Cfr. Lagrange: Oeuvres, t. VII, p. 331-363.
  6. Cfr. Cap. VI.
  7. Cfr. Laplace: «Oeuvres», t. VI. Livre V, Ch. V, p. 472.
  8. Cfr.: Séances de 1'École normale; Débats, t. I, p. 28-33 [1795]. — La discussione fu ristampata in Mathésis, t. IX, p. 139-141 [1883].
  9. Questa definizione del piano fu data da LEIBNIZ circa un secolo prima. Cfr., ad es., gli «Opuscules et frangements inedits.», pubblicati da L. COUTURAT; p. 554-5 [Paris, Alcan, 1903].
  10. Aggiungiamo che studi e ricerche successive dimostrarono che anche la definizione di Fourier non permette di creare la teoria euclidea delle parallele senza il sussidio del V postulato o di qualche altro postulato equivalente.