La geometria non-euclidea/Capitolo II/Adriano Maria Legendre (1752-1833)
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ADRIANO MARIA Legendre [1752-1833]
§ 27. I precedenti geometri si limitarono a rilevare le difficoltà e ad emettere giudizi intorno al postulato; chi invece tentò di trasformarlo in teorema fu Legendre, le cui ricerche, sparse nelle varie edizioni dei suoi «Éléments de Géométrie.» [1794-1823], sono riassunte nelle «Refléxions sur différentes manières de démontrer la théorie des parallèles ou le théorème sur la somme des trois angles du triangle.» [Mém. Academie Sciences, Paris, t. XIII, 1833].
Nei più interessanti tentativi Legendre, come già Saccheri, affronta la questione dal lato della somma degli angoli d'un triangolo, somma ch'ei vuole dimostrare uguale a due angoli retti.
Allo scopo riesce, fin da principio, a scartare l'ipotesi saccheriana dell'angolo ottuso, stabilendo che «in qualsiasi triangolo la somma degli angoli è minore [ip. ang. acuto] od uguale [ip. ang. retto] a due angoli retti.
Riportiamone una semplice ed elegante dimostrazione di Legendre.
Siano sopra una retta n segmenti uguali e consecutivi A1 A2, A2 A3,.... An An+1, sui quali, da una stessa banda della retta, siano costruiti n triangoli uguali, aventi per terzi vertici i punti B1, B2,.... Bn.
I segmenti B1 B2, B2 B3,.... Bn-1 Bn , che congiungono questi ultimi vertici, sono uguali e possono considerarsi come basi di altri n triangoli uguali: B1A2B2, B2A3B3,.... Bn-1AnBn. Si completi la figura con il trangolo BnAn+1Bn+1, uguale ai precedenti. 
Denotando con beta l'angolo in B, del triangolo A1B1A2 e con alfa l'angolo in A2 del triangolo consecutivo, dico essere beta uguale/minore alfa. Infatti, se fosse beta > alfa, dal paragone dei due triangoli A1B1A2, B1A2B2, che hanno due lati uguali, si dedurrebbe A1A2 > B1B2.
Inoltre, essendo la spezzata A1B1B2.... Bn+1An+1 maggiore del segmento A1An+1, si avrebbe:
A1B1 + (B1B2) . n + An+1 Bn-1 > (A1A2) . n,
cioè:
2 A1B1 > (A1A2 – B1B2) . n.
Ma questa disuguaglianza, per n abbastanza grande, contraddice il postulato di Archimede, perciò non può essere A1A2, > B1B2, e conseguentemente è assurdo supporre beta > alfa. Segue beta uguale/minore alfa, da cui si ricava subito che la somma dei tre angoli del triangolo A1B1A2 è minore od uguale a due angoli retti.
Questo teorema suole impropriamente chiamarsi 1° teorema di Legendre. Diciamo impropriamente perchè Saccheri, dimostrando falsa l'ip. ang. ottuso, aveva già stabilito, quasi un secolo prima, questo teorema [cfr. p. 34].
Il così detto 2° teorema di Legendre, dato anch'esso da Saccheri e sotto forma più generale [cfr. § 13], è il seguente:
«Se in un solo triangolo la somma degli angoli è minore od uguale a due angoli retti, è rispettivamente minore od uguale a due angoli retti in ciascun altro triangolo.».
Non riportiamo la dimostrazione di questo teorema perchè non sostanzialmente diversa da quella di Saccheri.
Ecco piuttosto come Legendre dimostra che la somma dei tre angoli d'un triangolo è uguale 
a due angoli retti.
Nel triangolo ABC suppongasi A + B + C < 2 retti. Fissato il punto D sul lato AB, si tracci la trasversale DE in modo che l'angolo ADE sia uguale all'angolo B. Nel quadrilatero DBCE la somma degli angoli è minore di quattro retti, onde AED > ACB. L'angolo in E del triangolo ADE è dunque una ben determinata funzione [decrescente] del lato AD, o, ciò che fa lo stesso, la lunghezza del lato AD è pienamente determinata quando si conosca la misura [in angoli retti] dell'angolo E e dei due angoli fissi, A, B. Ma questo risultato, secondo Legendre, è assurdo, perchè la lunghezza d'un segmento non ha significato se non si conosce l'unità di misura cui è riferita e la natura della questione non indica in alcun modo questa unità.
Quindi cade l'ipotesi A + B + C < 2 retti e conseguentemente si avrà: A + B + C = 2 retti.
Ma da questa uguaglianza segue facilmente la dimostrazione del postulato Euclideo.
Il metodo di Legendre si basa quindi sul postulato di Lambert, che nega l'esistenza d'una unità assoluta pei segmenti.
§ 28. In un'altra dimostrazione Legendre fa uso dell'ipotesi: Da un punto qualunque preso nell'interno di un angolo si può sempre condurre una retta che incontra i due lati dell'angolo1. Ecco come procede. [
Sia ABC un triangolo, in cui, se è possibile, la somma degli angoli sia minore di due angoli retti.
Posto: 2 retti - A- B - C = alfa [deficienza], si costruisca il punto A', 
simmetrico di A rispetto al lato BC. La deficienza del nuovo triangolo CBA' è pure alfa. Poi, in forza dell'ipotesi sopra enunciata, si conduca per A' una trasversale che incontri in B1 e C1 i lati dell'angolo A. La deficienza del triangolo AB1C1, come facilmente si verifica, è la somma delle deficienze dei quattro triangoli che lo compongono [cfr. anche Lambert, p. 40], quindi maggiore di 2 alfa. Ripetendo, a partire dal triangolo AB1C1, la precedente costruzione, si otterrà un nuovo triangolo, di deficienza maggiore di 4 alfa. Dopo n operazioni di tale natura si sarà costruito un triangolo di deficienza maggiore di 2n alfa. Ma, per n abbastanza grande, è 2n alfa > 2 retti [post. Archimede], il che è assurdo. Segue: alfa = 0, quindi: A + B + C = 2 retti.
Questa dimostrazione è appoggiata sul postulato di Archimede. Ecco come si potrebbe evitare l'uso di tale postulato. Siano AB ed HK una obliqua ed una perpendicolare ad AH. 
Si costruisca la retta AB', simmetrica di AB rispetto ad AH. Pel punto H, in forza dell'ipotesi di Legendre, passa una retta r che incontra i due lati dell'angolo BAB'. Se questa retta è diversa dalla HK anche la sua simmetrica r', rispetto ad AH, gode della medesima proprietà e conseguentemente anche la HK. Dunque, una perpendicolare ed un'obliqua alla retta AH s'incontrano sempre. Da questo risultato segue la teoria ordinaria delle parallele, quindi A + B + C = 2 retti.
In altre dimostrazioni Legendre fa uso di ragionamenti analitici ed anche erroneamente di grandezze infinite.
Con quest'opera così svariata Legendre credè finalmente risolta l'inestricabile difficoltà annidata sul principio della geometria. In sostanza però non aggiunse nulla di veramente nuovo al materiale ed alle convinzioni guadagnate dai suoi predecessori. Il suo maggior merito sta nella forma piana ed elegante che seppe dare a talune sue ricerche, ond'esse raggiunsero quella diffusione che tanto contribuì ad allargare la cerchia dei cultori delle nuove idee, che allora andava formandosi.
- ↑ Di questa ipotesi già si era servito J. F. LORENZ, per lo stesso scopo: cfr. «Grundriss der reinen und angewandten Mathematik.» [Helmstedt, 1791].