La geometria non-euclidea/Capitolo II/Wolfgang Bolyai (1775-1856)

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Wolfgang Bolyai (1775-1856)

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[p. 54 modifica] WOLFGANG Bolyai [1775-1856].


§ 29. In questo capitolo va ricordato anche il geometra ungherese W. Bolyai, che si occupò delle parallele fin dall'epoca in cui studiava a Gottinga [1796-1799], probabilmente per consiglio di Kaestner e del giovane professore di astronomia K. F. Seyffer [1762-1822], col quale aveva relazioni amichevoli.

Nel 1804 spedì a Gauss, suo compagno di studio a Gottinga, una «Theoria Parallelarum», contenente un tentativo per dimostrare l'esistenza di rette equidistanti1. Gauss confutò questa dimostrazione. Bolyai non cessò per questo di occuparsi dell'assioma XI, riuscendo soltanto a sostituire l'assioma con altri di maggiore o minore evidenza. Giunse così a dubitare della sua dimostrabilità e ad intuire l'impossibilità di ridurre l'ipotesi euclidea, perchè [egli afferma] le conseguenze derivanti dalla negazione dell'assioma XI non possono contraddire i principi della geometria, [p. 55 modifica]in quanto la legge della intersezione di due rette, comunque ammessa, rappresenta un nuovo dato, indipendente dagli altri che lo precedono2.

WOLFGANG raccolse le sue vedute intorno ai principi delle matematiche nell'opera: «Tentamen juventutem studiosa in elementa Matheseos.» [1832-33] e in particolare le sue ricerche sull'assioma XI, ponendo in evidenza, in ciascun tentativo, la nuova ipotesi da introdurre, per rendere rigorosa la dimostrazione.

Un notevole postulato cui WOLFGANG riconduce quello d'Euclide è il seguente: Tre punti non in linea retta giaciono sempre sopra una sfera, o, ciò che fa lo stesso: tre punti non in linea retta appartengono sempre ad una circonferenza3.

Ecco come può dedursi il postulato euclideo.

Siano AA', BB' due rette l'una perpendicolare, l'altra obbliqua ad AB. Preso il punto M nel segmento AB ed i simmetrici di M rispetto alle rette AA', BB', si otterranno [p. 56 modifica]due punti M', M" non in linea retta con M. Questi tre punti M, M', M" appartengono ad una circonferenza, ed allora le due rette AA', BB', dovendo entrambe passare pel centro del cerchio, s'incontrano.

Ma dal fatto che una perpendicolare ed una obbliqua ad una stessa retta s'incontrano segue senz'altro l'unicità della parallela.

  1. La «Theoria Parallelarum.» fu pubblicata in latino e versione tedesca dai SS. Stäckel ed Engel nel t. XLIX dei Math. Ann., p. 168-205 [1897].
  2. Cfr. Stäckel: «Die Entdeckung der Nichteuklidischen Geometrie durch J. Bolyai». Math. u. Naturwissenschaf. Berich. Aus Ungarn, t. XVII, [1901].
  3. Cfr. W. Bolyai: «Kurzer Grundriss eines Versuchs, etc.» p. 46 [Maros Vásárhely, 1851].