La geometria non-euclidea/Capitolo II/Giovanni Enrico Lambert (1728-1777)

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Capitolo II - Gerolamo Saccheri (1667-1733) Capitolo II - I geometri francesi alla fine del XVIII secolo


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Giovanni Enrico Lambert [1728-1777]


§ 18. Quale influenza esercitasse l'opera di Saccheri sui geometri del XVIII secolo non si può precisare: tuttavia è probabile che il geometra svizzero Lambert la conoscesse1, imperocchè nella sua «Theorie der Parallellinien» [1766] egli cita una dissertazione di G. S. Klügel [1739-1812]2, ov'è minutamente analizzata l'opera del geometra italiano.

La «Theorie der Parallellinien» di Lambert, pubblicata nel 1786, dopo la morte dell'autore, per cura di G. Bernoulli e C. F. Hindenburg3, è divisa in tre parti. La prima, [p. 39 modifica]di natura critica e filosofica, fa cenno della duplice questione che possiamo proporci sul V postulato, cioè se esso possa dimostrarsi col semplice aiuto dei precedenti o se invece a ciò non si richieda l'impiego di qualche altra ipotesi. La seconda parte è dedicata all'esposizione di vari tentativi, in cui il postulato euclideo è ricondotto a proposizioni semplicissime, le quali però alla loro volta dovrebbero essere dimostrate. La terza, la più importante, contiene un sistema di ricerche simili a quelle del padre Saccheri, che rapidamente riassumiamo.


§ 19. La figura fondamentale di Lambert è un quadrilatero trirettangolo e le tre ipotesi sono fatte sulla natura del 4° angolo. La prima è l'ip. ang. retto, la seconda è l'ip. ang. ottuso, la terza è l'ip. ang. acuto. Anche nella trattazione di queste ipotesi l'autore si accosta al metodo Saccheriano.


La prima ipotesi conduce facilmente al sistema euclideo.

Per rigettare la seconda ipotesi Lambert ricorre ad una figura formata con due rette a, b perpendicolari alla terza retta AB. Dai punti susseguentisi B, B1, B2,... Bn della b cala le perpendicolari BA, B1A1.... BnAn su a e dimostra, in primo luogo, che i segmenti di perpendicolare compresi fra a e b vanno decrescendo a partire dalla perpendicolare AB; poi che la differenza fra ciascuna di esse e la successiva va crescendo. Talchè risulta:


BA – BnAn > (BA – B1A1) . n [p. 40 modifica]


Ma, per n abbastanza grande, il secondo membro della disuguaglianza è grande quanto si vuole [post. Archimede)4, mentre il primo membro è sempre minore di BA. Questa contraddizione permette a Lambert di dichiarare falsa la seconda ipotesi.

Per trattare la terza ipotesi Lambert si giova ancora della precedente figura, sulla quale dimostra che i segmenti BA, B1A1, B2A2.... BnAn vanno crescendo e che in pari tempo crescono le differenze fra ciascuno di essi e il precedente. Questo risultato però non lo conduce a contraddizioni, percui, come già Saccheri, è costretto a proseguire nelle deduzioni. Allora, nella terza ipotesi, trova che la somma degli angoli di un triangolo è minore di due angoli retti, e, oltrepassando Saccheri, scopre che la deficienza d'un poligono, cioè la differenza fra 2 (n - 2) angoli retti e la somma degli angoli d'un poligono, è proporzionale all'area dello stesso poligono. Questo risultato si ottiene più facilmente osservando che tanto l'area, quanto la deficienza d'un poligono somma di più altri, sono rispettivamente la somma delle aree e delle deficienze dei poligoni che lo compongono5.


§ 20. Un'altra notevole scoperta di Lambert si riferisce alla misura delle grandezze geometriche. Essa consiste precisamente in ciò che, mentre nella geometria ordinaria, alla misura dei segmenti compete soltanto un significato relativo [p. 41 modifica]alla scelta di una particolare unità, nella geometria fondata sulla terza ipotesi si può invece conferirle un significato assoluto.


È necessario anzitutto chiarire la distinzione che qui si presenta tra assoluto e relativo. In molte questioni accade che gli elementi che si suppongono dati si possano dividere in due gruppi, per modo che quelli del primo gruppo restino fissi in tutto il campo delle nostre considerazioni, mentre quelli del secondo gruppo possano variare in una molteplicità di casi possibili. Quando ciò accade si suole spesso trascurare l'esplicita menzione dei dati del primo gruppo e considerare come relativo tutto ciò che dipende dai dati variabili, come assoluto tutto ciò che dipende soltanto dai dati fissi.

Così ad esempio, nella teoria dei campi di razionalità si prendono come dati del secondo gruppo [dati variabili] certi irrazionali elementari [costituenti una base] e come dati del primo gruppo l'unità [1], che spesso si tace perchè comune a tutti i campi. Allora, parlando di un numero si dice che esso è razionale relativamente ad una data base, se appartiene al campo di razionalità definito da quella base; si dice invece che è razionale assolutamente se risulta razionale rispetto alla base 1, comune a tutti i campi.

Venendo ora alla geometria notiamo che, in ogni studio concreto, generalmente si suppongono date certe figure e quindi le grandezze dei loro elementi; ma oltre questi dati variabili [del secondo gruppo], che possono essere scelti in modo arbitrario, è sempre implicitamente presupposta l'aggiunta delle figure fondamentali: rette, piani, fasci ecc. [dati fissi o del primo gruppo]. Allora, ogni costruzione, ogni misura, ogni proprietà d'una figura qualsiasi dovrà ritenersi come relativa se è essenzialmente relativa ai dati variabili; dovrà invece dirsi assoluta se è relativa soltanto ai dati fissi [ [p. 42 modifica]figure fondamentali], oppure, se venendo enunciata in rapporto ai dati variabili, ne dipende soltanto in modo apparente, sicchè rimanga fissa al variare di questi.

In questo senso è chiaro che, nell'ordinaria geometria, la misura dei segmenti ha necessariamente un significato relativo. Infatti, l'esistenza delle trasformazioni per similitudine non ci permette in alcun modo di individuare la grandezza di un segmento rispetto alle figure fondamentali [retta, fascio, ecc.]. Per l'angolo invece si può scegliere un modo di misura, che ne esprima una proprietà assoluta: basta infatti prendere il suo rapporto all'angolo di un giro, cioè all'intero fascio, che è una delle figure fondamentali.


Ritorniamo ora a Lambert ed alla sua geometria corrispondente alla terza ipotesi. Egli ha osservato che ad ogni segmento può farsi corrispondere un determinato angolo, facilmente costruibile. Segue da ciò che ogni segmento è in relazione con la figura fondamentale fascio e quindi che, nella nuova [ipotetica] geometria, anche alla misura dei segmenti dovrebbe potersi attribuire un significato assoluto.

Per vedere poi nel modo più semplice come ad ogni segmento possa coordinarsi un angolo ed ottenere così una rappresentazione numerica assoluta dei segmenti, immaginiamo di costruire sopra ogni segmento un triangolo equilatero. Possiamo associare ad ogni segmento l'angolo del relativo triangolo e successivamente la misura di quest'angolo, attesochè esiste una corrispondenza biunivoca fra i segmenti e gli angoli compresi entro certi limiti.

L'ottenuta rappresentazione numerica dei segmenti non gode però della proprietà distributiva che compete alle lunghezze, perchè sommando due segmenti non vengono sommati gli angoli corrispondenti. Si può tuttavia determinare una funzione dell'angolo che goda di questa proprietà ed [p. 43 modifica]associare ad un segmento non l'angolo in discorso, ma questa funzione dell'angolo. Tale funzione, per ogni valore dell'angolo compreso entro certi limiti, ci dà una misura assoluta dei segmenti. L'unità assoluta è quel segmento per cui la funzione assume il valore 1.

Se si osserva poi che ove una certa funzione dell'angolo sia distributiva nel senso sopra indicato, anche il prodotto di questa funzione per una costante arbitraria gode della stessa proprietà, è chiaro che si potrà sempre disporre di questa costante in modo che l'unità assoluta dei segmenti sia quel tale segmento che corrisponde ad un angolo assegnato, ad es. all' angolo di 45°. La possibilità di costruire, dato l'angolo, l'unità assoluta dei segmenti è legata alla risoluzione del seguente problema: Costruire, nell' ip. ang. acuto, un triangolo equilatero di assegnata deficienza.

Per quanto riguarda la misura assoluta delle aree poligonali osserviamo che essa è data senz'altro dalla deficenza dei poligoni. Anche pei poliedri potrebbe istituirsi una misura assoluta.

Ma secondo la nostra intuizione spaziale la misura assoluta di tutte queste grandezze geometriche non ci sembra possibile, onde, negando l'esistenza e l'una unità assoluta pei segmenti, si potrebbe, con Lambert, rigettare la terza ipotesi.


§ 21. Non si creda che Lambert ritenga d'aver così dimostrato il V postulato, poichè egli comprende quanto sia arbitraria la precedente affermazione!

Per ottenere la desiderata prova procede nella ricerca delle conseguenze della terza ipotesi, ma non riesce che a trasformare la sua questione in altre ugualmente difficili da risolversi.

Altre cose molto interessanti sono contenute nella «Theorie der Parallellinien», ad es., il riavvicinamento della geometria che varrebbe sul piano se fosse lecita la seconda [p. 44 modifica]ipotesi, con la geometria sferica6, e l'osservazione relativa all'indipendenza di quest'ultima dal postulato delle parallele. Riferendosi poi alla terza ipotesi esprimeva la seguente acuta ed originale veduta: Ich sollte daraus fast den Schluss machen, die dritte Hypothese komme bey einer imaginären Kugelfläche vor.

A questo modo di concepire le cose forse fu condotto dalla formula: r2 (A + B + C - pi greco), che esprime l'area di un triangolo sferico, perchè, mutando in essa il raggio r nel raggio immaginario r . radice di (-1), diventa:


r2 (pi greco - A - B - C)


cioè la formula dell'area d'un triangolo piano, nella terza ipotesi di Lambert7.


§ 22. Lambert lascia dunque la questione sospesa; anzi non avendo pubblicato le sue ricerche fa supporre d'aver intravvisto qualche nuovo orizzonte.

Intanto è bene notare che, pel generale insuccesso di sifatte ricerche, nella seconda metà del XVIII secolo andava formandosi la convinzione che fosse necessario ammettere senza dimostrazione il postulato euclideo o qualche altro postulato equivalente.

In Germania, ove con frequenza si succedevano gli studi sull'argomento, la convinzione aveva già assunto una forma abbastanza precisa. La ritroviamo in A. G. Kaestner [1719-1800], grande cultore delle ricerche sulle parallele8, [p. 45 modifica]nel suo discepolo G. S. Klügel , autore della pregevole critica sui più celebri tentativi per la dimostrazione del V postulato, citata nella nota 42. In questo lavoro Klügel , trovata insufficiente ciascuna delle dimostrazioni proposte, affaccia la possibilità che rette non incontrantisi siano divergenti [«Möglich wäre es freilich dass Gerade die sich nicht schneiden, von einander abweichen.»], ed aggiunge che l'apparenza di controsenso che questo presenta non è il risultato di una prova rigorosa, nè una conseguenza dei concetti determinati delle linee rette o curve, ma piuttosto qualche cosa che si deduce dall'esperienza e dal giudizio dei nostri sensi. [«Dass so etwas widersinnig ist, wissen wir nicht in Folge strenger Schlusse oder vermöge deutlicher Begriffe von der gereden und der krummen Linie, vielmehr durch die Erfahrung und durch dass Urteil unsrer Augen.»].

Le ricerche di Saccheri e Lambert propendono ad appoggiare l'opinione di Klügel , ma non possono ritenersi come prove dell'indimostrabilità dell'ipotesi euclidea. E nemmeno si raggiungerebbe una prova ove, proseguendo nella via aperta dai due nominati geometri, si deducessero quante altre proposizioni si vogliano, non contradditorie coi principi della geometria.

Nondimeno, l'avventurarsi in quest'ultimo campo, senza la preoccupazione saccheriana di scoprirvi delle contraddizioni, costituisce, in linea storica, il passo decisivo per conquistare l'indimostrabilità del postulato d'Euclide e scoprire le geometrie non-euclidee.

Ma dall'opera di Saccheri e Lambert a quella di Lobacefski e Bolyai, che all'idea qui espressa s'informano, deve passare ancora più di mezzo secolo!...

  1. Cfr. Segre: «Congetture intorno alla influenza di Girolamo Saccheri sulla formazione della geometria non euclidea», Atti Acc. Scienze di Torino, t. XXXV III, [1903].
  2. «Conatum praecipuorum theoriam parallelarum demonstrandi recensio, quam publico examini submittent A. G. Kaestner et auctor respondens G. S. Klügel » [Gottinga, 1763].
  3. cfr.: Magazin für reine und angewandte Math., 2 Stüch, p. 137-164, 3 Stüch, p. 325-358, [1786]. — L'opera di Lambert fu ripubblicata dai SS. Stäckel ed Engel nella loro «Th. der P.», p. 135-208, preceduta da notizie storiche riguardanti l'autore.
  4. Il postulato d'Archimede anche qui è usato sotto tale forma da includere l'infinità della retta [Cfr. Saccheri, nota a p. 32].
  5. Conviene notare che Saccheri aveva già riscontrato, nell'ip. ang. acuto, la deficienza di cui si parla, ed anche implicitamente notato che un quadrilatero somma di più altri ha per deficienza la somma delle deficienze [prop. XXV]. Tuttavia non ne aveva tratto alcuna conseguenza circa la proporzionalità fra l'area e la deficienza.
  6. Infatti in geometria sferica la somma degli angoli di un quadrilatero è maggiore di quattro angoli retti, ecc.
  7. Cfr. Stäckel ed Engel: «Th. der P.», p. 146.
  8. Per qualche notizia intorno a Kaestner Cfr. Stäckel ed Engel: «Th. der P.», p. 139-141.