La geometria non-euclidea/Nota II/Cenni sul problema di Clifford-Klein

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Cenni sul problema di Clifford-Klein

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Nota II - La quadrica di Clifford Elenco degli autori citati

[p. 204 modifica] CENNI SUL PROBLEMA DI CLIFFORD -KLEIN.


§ 9. Le idee di CLIFFORD, illustrate nei precedenti §§, condussero KLEIN a un nuovo modo di formulare il problema fondamentale della geometria. Volendo dare un rapido cenno delle vedute di KLEIN riferiamoci ai risultati del § 68, relativi alla possibilità di interpretare la geometria piana con quella delle superficie di curvatura costante. Il raffronto fra le proprietà dei piani euclideo e non-euclidei e quelle delle superficie in discorso fu allora ristretto a regioni convenientemente limitate: allargando il confronto alle forme complete si incontreranno in generale delle differenze, imputabili talvolta alla presenza di punti singolari delle superficie [es. vertice di un cono], tal'altra alla connessione di esse.

Prescindiamo dai punti singolari e come esempio di superficie a curvatura costante, ovunque regolare, dotata di [p. 205 modifica]una connessione diversa da quella del piano euclideo, consideriamo l'ordinario cilindro.

La differenza fra la geometria piana e quella cilindrica, intese l'una e l'altra in senso integrale, fu già rilevata [§ 70] osservando che il postulato della congruenza fra due rette arbitrarie cessa di essere vero sul cilindro. Non di meno esistono numerose proprietà comuni alle due geometrie, traenti origine dal duplice carattere di avere tanto il piano quanto il cilindro la stessa curvatura e di essere entrambi regolari.

Queste proprietà possono riassumersi dicendo:

1) la geometria d'una regione normale di cilindro è identica alla geometria d'una regione normale di piano;

2) la geometria d'una qualsiasi regione normale di cilindro, fissata intorno ad un punto arbitrario di esso, è identica alla geometria d'una qualsiasi regione normale di piano.

L'importanza di un raffronto fra la geometria del piano e quella d'una superficie, fondato sulle proprietà 1) e 2), emerge dalle seguenti considerazioni.

Una geometria del piano, edificata con criteri sperimentali, dipende da due gruppi distinti di ipotesi. Il primo gruppo esprime la validità di certi fatti, direttamente osservati in un interno accessibile alle esperienze [postulati della regione normale]; il secondo gruppo estende a regioni inaccessibili alcune proprietà della regione iniziale [postulati d'estensione].

I postulati d'estensione potrebbero richiedere, ad es., che sull'intero piano fossero valide le proprietà della regione accessibile: saremmo allora condotti alle due forme di piano parabolica ed iperbolica; se invece i detti postulati richiedessero l'estensione delle proprietà in discorso, con eventuale riserva per quella che attribuisce alla retta i caratteri della linea aperta, insieme ai due piani indicati, dovremmo annoverare anche il piano ellittico. [p. 206 modifica]

Ma le precedenti considerazioni sulle superficie regolari di curvatura costante suggeriscono un modo più generale di enunciare i postulati d'estensione: potremmo infatti semplicemente richiedere che intorno a ciascun punto del piano fossero verificate le proprietà della regione iniziale. Allora la classe delle possibili forme di piano si allarga notevolmente: si potrebbe, ad es., concepire una forma a curvatura nulla, doppiamente connessa e rappresentabile completamente sul cilindro dello spazio euclideo.

La ricerca di tutte le varietà a due dimensioni, di curvatura costante, ovunque regolari, forma oggetto del problema di CLIFFORD-KLEIN.


§ 10. E possibile realizzare con opportune superficie regolari a curvatura costante dello spazio euclideo, tutte le forme di CLIFFORD-KLEIN?

La risposta è negativa, come risulta chiaramente dal seguente esempio. La sola superficie regolare sviluppabile dello spazio euclideo, la cui geometria non sia identica a quella del piano è il cilindro a sezione chiusa: d'altra parte la quadrica di CLIFFORD dello spazio ellittico è una superficie regolare, di curvatura nulla, essenzialmente diversa dal piano e dal cilindro.

Però con opportune convenzioni si può rappresentare nello spazio ordinario anche la quadrica di CLIFFORD.

Riferiamoci in primo luogo al cilindro. Volendo sviluppare il cilindro è necessario renderlo semplicemente connesso con un taglio lungo una generatrice [g]: dopo, con flessione senza estensione, lo si adagia sul piano, ricoprendone una striscia compresa fra due parallele [g1, g2].

Fra i punti del cilindro e quelli della striscia intercede una corrispondenza biunivoca: fanno solo eccezione i punti della generatrice g, a ciascuno dei quali corrispondono due punti, situati l'uno su g1 l'altro su g2. Però se si conviene di riguardare questi due punti come identici, cioè come un unico [p. 207 modifica]punto, allora la corrispondenza diventa biunivoca senza eccezione, e la geometria della striscia è integralmente la stessa di quella del cilindro.

Una rappresentazione analoga alla descritta si può istituire anche per la quadrica di CLIFFORD. Prima si rende la superficie semplicemente connessa con due tagli lungo le generatrici [g, g'] uscenti da un suo punto, ottenendo, nello spazio ellittico, un parallelogramma sghembo, i cui lati hanno ciascuno la lunghezza della retta e i cui angoli teta e teta' [teta + teta' = 2 retti] sono gli angoli formati da g e g'.

Ciò posto fissiamo sul piano euclideo un rombo, i cui lati abbiano la lunghezza della retta ellittica ed i cui angoli siano teta e teta'. Su questo rombo può rappresentarsi congruentemente [svilupparsi] la quadrica di CLIFFORD. La corrispondenza fra i punti della superficie e quelli del rombo è biunivoca, con eccezione per i punti di g e g', a ciascuno dei quali ne corrispondono due, situati su lati opposti del rombo. Però, se si conviene di riguardare come a due a due identici questi punti, allora la corrispondenza risulta biunivoca senza eccezione e la geometria del rombo è integralmente identica a quella della quadrica di CLIFFORD1.


§ 11. Le indicate rappresentazioni del cilindro e della superficie di CLIFFORD ci mostrano come, per il caso della curvatura nulla, la ricerca delle forme di CLIFFORD-KLEIN possa ricondursi alla determinazione di convenienti poligoni euclidei, eventualmente degeneri in striscie, i cui lati sono a due a due trasformabili l'uno nell'altro con opportuni movimenti del piano, ed i cui angoli hanno per somma quattro angoli retti [KLEIN2]. Dopo non rimarrà che a riguardare a due a due come identici i punti dei lati predetti, per [p. 208 modifica]avere sul piano ordinario le immagini delle forme richieste.

In modo analogo si presenta la ricerca delle forme di CLIFFORD-KLEIN, per il valore positivo e negativo della curvatura e la successiva estensione allo spazio di rifatto problema3.

  1. Cfr.: «Preliminary Sketch....». — Vedi pure il citato [nota 180] scritto di KLEIN: «Zur Nicht-Euklidischen Geometrie».
  2. Opera citata.
  3. Una trattazione sistematica del problema di CLIFFORD-KLEIN si trova nell'opera di W. KILLING: «Einführung in die Grundlagen der Geometrie.», Bd. I, p. 271-349 [Paderborn, 1893].