Lezioni di analisi matematica/Capitolo 11/Paragrafo 71

by Guido Fubini

Capitolo 11 - Concavità, convessità, flessi

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 71 — Concavità, convessità, flessi.

Sia $y=f(x)$ definita in un intervallo, a cui è interno il punto $a$; e possegga la $f(x)$ infinite e continue derivate

Fig. 27. di cui avremo bisogno (fig. 27 e 28)). (Basterebbe supporle finite e determinate). Consideriamo i punti $A$, $B$ della curva, aventi per ascissa $a$ ed $a+h$, e la retta $AC$ tangente in $A$. Sia $C$ il punto di tale retta tangente, che ha $a+h$ per ascissa . L'ordinata di $A$ sarà $f(a)$; quella di $B$ sarà $f(a+h)$, perchè i punti $A$, $B$ giacciono sulla curva $y=f(x)$.

Fig. 28. Se $\eta$ è l'ordinata di $C$, il coefficiente angolare della retta $AC$ è

${\frac {{\text{ordinata di}}\,C-{\text{ordinata di}}\,A}{{\text{ascissa di}}\,C-{\text{ascissa di}}\,A}}={\frac {\eta -f(a)}{h}}$.

Ma $AC$ è tangente in $A$ alla $y=f(x)$; il suo coefficiente angolare è perciò $f'(a)$. E si ha quindi

${\frac {\eta -f(a)}{h}}=f'(a)$.

Donde, risolvendo rispetto ad $\eta$, si ha che l'ordinata $\eta$ di $C$ vale $f(a)+hf'(a)$. Quindi la differenza

(ordinata di $B$) $-$ (ordinata di $C$) $=$

$=f(a+h)[f(a)+hf'(a)]=[f(a+h)-f(a)]-hf'(a)=$

$=hf'(a+\theta \,h)-hf'(a)=h|f'(a+\theta \,h)-f'(a)|\,\,\,$; (1)

$0<\theta <1$,

come si riconosce tosto in virtù del teorema della media di Lagrange,

Distinguiamo ora parecchi casi:

1° La $f'(x)$ sia in $x=a$ crescente. In tal caso

$f'(a+\theta \,h)-f'(a)$

ha (per $h$ sufficientemente piccolo) il segno di $\theta h$, ossia il segno di $h$. E la (1) è perciò positiva. Quindi:

Se $\mathrm {f'(x)}$ è crescente per $\mathrm {x=a}$, la curva $\mathrm {y=f(x)}$ in un intorno abbastanza piccolo di $\mathrm {x=a}$ rimane al disopra della sua tangente nel punto $\mathrm {x=a}$; ciò che si enuncia dicendo che volge la concavità verso l'alto.

2° In modo simile si prova che

Se $\mathrm {f'(x)}$ è decrescente per $\mathrm {x=a}$, la curva $\mathrm {y=f(x)}$ in un intorno abbastanza piccolo di $\mathrm {x=a}$ rimane al disotto della sua tangente nel punto $\mathrm {x=a}$; ciò che si enuncia dicendo che essa volge la concavità verso il basso.

3° Se $f'(x)$ ha per $x=a$ un massimo o un minimo $f'(a+\theta h)-f'(a)$ ha per $h$ sufficientemente piccolo un segno costante, che non varia cambiando il segno di $h$. Quindi la (1) ha un segno che cambia, mutando il sengo di $h$.

Se $\mathrm {f'(x)}$ ha per $\mathrm {x=a}$ un massimo o un minimo, la curva $\mathrm {y=f(x)}$ attraversava la sua tangente nel punto $\mathrm {x=a}$; ciò che si enuncia dicendo che il punto $\mathrm {x=a}$ è un punto flesso per la curva $\mathrm {y=f(x)}$. (Cfr., p. es., la fig. 13, a pag. 159).

Se segue che in un punto di flesso $x=a$ l'angolo $\omega$ che l'asse delle $x$ forma con la tangente della curva $y=f(x)$ ha una valore massimo o minimo. Se dunque andiamo da un punto posto a sinistra ad un punto posto a destra del flesso, l'angolo $\omega$, nei casi più comuni, o diminuisce per poi aumentare, oppure aumenta per poi diminuire. In una parola, quando si cammina, attraversando il flesso, l'angolo $\omega$ da crescente diventa decrescente, o viceversa. In una parola cambia il verso in cui gira la direzione della retta tangente.

Ricordo che negli enunciati precedenti la frase « verso l'alto » [basso] è scritta invece della: « verso la direzione positiva [negativa] dell'asse delle $y$».

Se, p. es., $f''(a)>0$, allora $f(x)$ è crescente per $x=a$. Se $f''(a)<0$, allora $f'(x)$ è decrescente per $x=a$; se $f''(a)=0$, $f'''(a)\not =0$, allora $f'(x)$ ha un massimo o un minimo per $x=a$.

Dal precedente teorema si deduce quindi in particolare:

Se $\mathrm {f''(a)>o}$, la curva $\mathrm {y=f(x)}$ volge in $\mathrm {x=a}$ la concavità verso l'alto; se $\mathrm {f''(a)<0}$ essa volge in $\mathrm {x=a}$ la concavità verso il basso; infine, se $\mathrm {f''(a)=0}$, $\mathrm {f'''(a)\not =0}$, la curva ha un flesso nel punto $\mathrm {x=a}$.

Oss. Ricordiamo che, mentre in un punto $\mathrm {x=a}$ di flesso è $\mathrm {f''(a)=0}$, può darsi benissimo che $\mathrm {f''(a)=0}$ sia un punto di flesso; e ciò perchè, come già osservammo, può in un punto $x=a$ essere nulla la derivata di $f'(x)$, senza che in tale punto $f'(x)$ abbia un massimo o un minimo.

In un punto della curva ordinata $y>0$, anziché dire che la concavità (o la convessità) sono volte verso il basso, si suol dire che in tale punto la curva volge la concavità o convessità) verso l'asse delle $x$. La stessa locuzione si usa in un punto di ordinata negativa per dire che la concavità (o convessità) sono volte verso l'alto. Dunque: Una curva volge in un suo punto (di ordinata differente da zero) la concavità (convessità) verso l'asse delle $\mathrm {x}$ se $\mathrm {y}$ ed $\mathrm {y''}$ hanno ivi segno contrario (ugual segno), ossia se $\mathrm {yy''}$ è negativo (positivo)..

Esempio.

Si studii l'andamento della curva

$y=x^{3}+ax^{2}+bx+c$

Ris. Posto $Y=y$, $X=x+{\frac {a}{3}}$ (ciò che equivale, quando si considerino $X$, $Y$ come nuove coordinate, a fare una traslazione parallela all'asse delle $x$), si avrà

$Y=\left(X-{\frac {a}{3}}\right)^{3}+a\left(X-{\frac {a}{3}}\right)^{2}+b\left(x-{\frac {a}{3}}\right)+c$,

ossia $Y=X^{3}+pX+q$, dove $p$, $q$ sono costanti facili a determinarsi, dipendenti soltanto dalle $a$, $b$, $c$. I massimi e minimi di $Y$ si ottengono risolvendo la $Y'=3X^{+}p=0$ donde $X=\pm {\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}$

Se $p>0$ non vi sono nè massimi nè minimi e la $Y$ è sempre crescente (perchè $Y'>$ dappertutto). Se invece $p\leq \,O$, sostituendo il valore trovato di $X$ in $Y''=X$, si ottiene $\pm 6{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}$. Se $p=0$, questa derivata è nulla, poichè $Y'''=6\not =0$, il punto trovato non è un punto nè di massimo, nè di minimo.

Rimane dunque il solo caso di $p<0$. In tal caso

$Y''>$ per $X+{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}$. Questo punto è un punto di minimo.

$Y''<0$ per $X=-{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}$. Questo punto è un punto di massimo.

A sinistra del punto di massimo la funzione $Y$ (che per $X=-\infty$ tende a $\infty$) è crescente (come si riconosce verificando $Y'>0$); poi $Y$ decresce fino al punto di minimo, per poi crescere di nuovo tendendo a $+\infty$ per $X=+\infty$.

Per trovare i flessi si deve risolvere la $Y''=6X=0$.

Se ne deduce $X=0$, il quale è certo un flesso, perchè $Y'''=6\not =0$.

Con la $x=X-a$ si ritorna all'antica variabile $x$.

L'allievo illustri col disegno l'andamento dalle curva in tutti i casi ($p>0$, $p=0$, $p<0$) anche per qualche valore numerico in particolare delle <$a$, $b$, $c$.

Il lettore veda in quanti punt inei varii casi la nostra curva incontra l'asse delle $X$: punti, che saranno le radici reali dell'equazione $X^{2}+pX+q=0$¹ . E confronti coi risultati del § 10, esaminando a quali disuguaglianze le $p$, $q$ soddisfano nei varii casi,

Applicazione.

Sia $y=f(x)$ lo spazio percorso da un punto $M$ mobile su una retta $r$ all'istante $x$. Come si può, dall'esame della curva $y=f(x)$ (che viene spesso tracciata automaticamente in casi pratici, come ad esempio nel varo di una nave) determinare in quali istanti la velocità di $M$ raggiunge il massimo o il minimo valore?

Ris. Basta determinae quali valori di $x$, a cui corrisponde un flesso della nostra curva.

Note

1. Se il valore massimo $\left({\text{per}}X=-{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\right)$ della $Y$ è negativo, la nostra curva incontra in un solo punto $\left({\text{a destra del punto di minimo}}X=+{\sqrt {\frac {p}{3}}}\right)$l'asse delle $x$. Un risultato simile si ha se il valore minimo della $Y$ è positivo. In tali casi la nostra equazione ha una sola radice reale. Se il valore minimo di $Y$ è negativo, quello massimo è positivo, vi sono tre radici reali poste rispettivamente negli intervalli

   $\left(\infty ,-{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\right)$, $\left(-{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}},+{\sqrt {+{\frac {p}{3}}}}\right)$, $\left(+{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}},+\infty \right)$.