Lezioni di analisi matematica/Capitolo 13/Paragrafo 85

by Guido Fubini

Capitolo 13 - Generalizzazioni

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 85. — Generalizzazioni.

$\alpha$) Si abbia ora l'equazione

                                                  $f(x,y,z)=0$                                        (1)

Supponiamo che esista una funzione continua $z=\varphi (x,y)$ che soddisfi identicamente alla (1), ossia che, sostituita in (1), sia orgine a una funzione nulla per tutti i valori delle $x,y$, che noi consideriamo. Dal § 84, $\beta$, segue facilmente che esiste una tale funzione (e che noi la sappiamo anzi dare sotto forma di serie) se la (1) è soddisfatta per {{centrato|$x=x_{0},y=y_{0},z=z_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}={\text{cost.}})$ e se in un intorno di tale punto le derivate prime di $f$ sono finite e continue, e ${\frac {\partial f}{\partial z}}$ è differenze da zero.

La $z=\varphi (x,y)$ è una funzione definita da (1) in modo implicito; e noi ci proponiamo di calcolarne le derivate, senza scriverla sotto forma esplicita (senza risolvere la (1)).

Per trovare la derivata parziale ${\frac {\partial z}{\partial x}}$, bisogna considerare la $y$ come una costante, per cui la $z$ si potrà considerare come una funzione della sola $x$, e la $f=0$ come un'equazione tra le sole variabili $x,z$. Applicando i risultati precedenti si troverà quindi senz'altro ${\frac {\partial z}{\partial x}}=-{\frac {f'_{x}}{f'_{z}}}$.

Analogamente $z'_{y}=-{\frac {f'}{f'_{z}}}$.

$\beta$) Si abbiano ora due equazioni in tre variabili

$f(x,y,z)=0$,

$F(x,y,z)=0$.

Supponiamo che $f,F$ abbiano derivate prime finite e continue, che le equazioni siano soddisfatte per {{centrato|$x=x_{0},y=y_{0},z=z_{0}$, e che nel punto $(x_{0},y_{0},z_{0})$ sia

${\begin{vmatrix}f'_{y}&f'_{z}\\F'_{y}&F'_{z}\end{vmatrix}}\not =0$.

Almeno uno degli elementi di questo determinante sarà differente da zero. Se, p. es., $f'_{y}\not =0$ in $(x_{0},y_{0},z_{0})$, dalla $f=0$ potrò ottenere, risolvendo, $y=\psi (x,z)$, dove la $\psi$ è una funzione derivabile che diventa uguale a $y_{0}$ per $x=x_{0},z=z_{0}$. Sostituendo nella $F=0$ si trova:

                                             $F[x,\psi (x,z),z]=0$                                   (2)

La derivata del primo membro rispetto a $z$ è:

$F'_{y}\psi '_{z}+F'_{z}=-F'_{y}{\frac {f'_{z}}{f_{y}}}+F'_{z}={\frac {1}{f'_{y}}}{\begin{vmatrix}f'_{v}&f'_{z}\\F'_{y}&F'_{z}\end{vmatrix}}$,

che è differente da zero per $x=x_{0},y=y_{0}$. Se ne ricaverà che dalla (2) si potrà dedurre, risolvendo, $z$ come funzione $\Phi (x)$ della $x$ derivabile ed ugualle a $z_{0}$ per $x=x_{0}$.

Sostituendo questo valore i $\psi (x,z)$, se ne deduce il valore di $y$ come funzione derivabile $\varphi (x)$ della $x$, che per $x=x_{0}$ si riduce ad $y$

Esistono cioè due funzioni $\mathrm {y=\varphi (x),z=\Phi (x)}$ derivabili, soddisfacenti alle equazioni date e che, per $\mathrm {x=x_{0}}$, diventando rispettivamente uguali ad $\mathrm {y_{0}}$ e $\mathrm {z_{0}}$.

Ciò che si poteva del resto dimostrare, estendendo ai sistemi di equazioni il metodo con cui abbiamo studiato il caso di una equazione sola. E vale anche il teorema di unicità, che cioè in un intorno di $x=x_{0}$ non esistono altre funzioni soddisfacenti alle proprietà enunciate. Il calcolo di $\varphi '_{z}$, $\Phi '_{z}$ si effettua nel modo più rapido osservando che, se nelle $f,F$ sostituiamo al posto di $z$ ed $y$ i loro valori $\Phi (x),\varphi (x)$ in funzione della $x$, otteniamo due funzioni $f(x,\varphi ,\Phi )$ e $F(x,\varphi ,\Phi )$ della sola $x$ identicamente nulle, le cui derivate (totali) rispetto alla $x$ saranno quindi anch'esse nulle. Quindi, derivando

$f(x,y,z)$ e $F(x,y,z)$

rispetto alla $x$, quando vi si considerino $y$ e $z$ come funzioni della $x$ ed applicando quindi il teorema del ù 84, $\beta$, ottiene:

$1{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}y'_{z}+{\frac {\partial f}{\partial z}}z'_{x}=0$,

${\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}y'_{x}+{\frac {\partial F}{\partial z}}z'_{x}=0$.

Queste due uguaglianze si possono considerare come due equazioni di primo grado nelle $y'_{x},z'_{x}$, che saranno risolvibili con la regola di Kramer, se, come abbiamo supposto,

${\begin{vmatrix}{\frac {\partial f}{\partial y}}&{\frac {\partial f}{\partial z}}\\{\frac {\partial F}{\partial y}}&{\frac {\partial F}{\partial z}}\end{vmatrix}}\not =0$;

e di determineranno in tal caso le derivate cercate.

$\gamma$) Si abbia ora il sistema delle due equazioni

$f(x,y,z,t)=0$,

$F(x,y,z,t)=0$.

E supponiamo senz'altro che esistano due funzioni derivabili $z=\varphi (x,y),t=\Phi (x,y)$ che soddisfano a tali equazioni.

Vogliamo determinare le derivate. Se noi sostituiamo nelle due equazioni precedenti al posto delle $z,t$, rispettivamente le funzioni $z=\varphi (x,y),t=\Phi (x,y)$ si ottengono due funzioni di $x$ e di $y$: $f(x,y,\varphi ,\Phi )$ e $F(x,y,\varphi ,\Phi )$ identicamente nulle. Le loro derivate partiali tanto rapporto a $x$ quanto rapporto a $y$ saranno quindi nulle. Se allora deriviamo la $f(x,y,z,t)$ rapporto a $x$ considerandola come funzione della $x,z,t$ tutte e tre funzioni della $x$ questa derivata che, per non creare equivoci, dovremo indicare col simbolo¹

$\left[{\frac {\partial f}{\partial x}}\right]_{y={\text{cost.}}z=\varphi t=\Phi }$

per il teorema di derivazione delle funzioni di funzioni (funzioni composte) è:

$\left[{\frac {\partial f}{\partial x}}\right]_{y={\text{cost.}}\,z=\varphi \,t=\Phi }=\left[{\frac {\partial f}{\partial x}}\right]_{y,z,t={\text{cost.}}}x'_{x}+\left[{\frac {\partial f}{\partial z}}\right]_{x,y,t={\text{cost.}}}z'_{x}+\left[{\frac {\partial f}{\partial t}}\right]_{x,y,z={\text{cost.}}}t'_{x}$

Ma questa derivata, per quanto abbiamo osservato, è nulla.

Sarà quindi (poichè $x'_{x}=1$):

$\left[{\frac {\partial f}{\partial x}}\right]_{y,z,t={\text{cost.}}}+\left[{\frac {\partial f}{\partial z}}\right]_{x,y,t={\text{cost.}}}x'_{x}+\left[{\frac {\partial f}{\partial t}}\right]_{x,y,z={\text{cost.}}}t'_{x}=0$.

Ragionando sulla funzione $F(x,y,z,t)$ si otterrebbe analogamente:

$\left[{\frac {\partial F}{\partial x}}\right]_{y,z,t={\text{cost.}}}+\left[{\frac {\partial F}{\partial z}}\right]_{x,y,t={\text{cost.}}}z'_{x}+\left[{\frac {\partial F}{\partial t}}\right]_{x,y,z={\text{cost.}}}t'_{x}=0$.

Quest'ultima equazione con la precedente costituisce un sistema di due equazioni lineari nelle due incognite $z:x$ e $t_{x}$ che sono appunto (essendosi considerato $y$ costante) rispettivamente le derivate parziali rispetto a $x$ di $\varphi (x,y)$ e $\Phi (x,y)$. Il sistema è risolvibile con la regola di Kramer e quindi ammetterà una sola soluzione se:

${\begin{vmatrix}\left[{\frac {\partial f}{\partial z}}\right]_{z,y,t=\,{\text{cost.}}}&\left[{\frac {\partial f}{\partial t}}\right]_{z,y,t=\,{\text{cost.}}}\\\left[{\frac {\partial F}{\partial z}}\right]_{x,y,t=\,{\text{cost.}}}&\left[{\frac {\partial F}{\partial t}}\right]_{x,y,z=\,{\text{cost.}}}\end{vmatrix}}\not =0$.

Ragionamenti e risultati analoghi valgono per $z'_{y},t'_{y}$. Questo esempio di derivazione è interessante, perchè abbiamo avuto occasione di osservare quale complicazione di notazioni s'abbia quando, per non creare equivoci che potrebbero condurre a gravi errori, si vuole un simbolo di derivazione parziale che dica esplicitamente tutto e non possa prestarsi a varie interpretazioni.

L'allievo farà un'utile esercitazione, cercando di calcolare le derivate seconde.

$\delta$) Siano $f(x,y)$ e $F(x,y)$ due funzioni continue con le loro prime derivate in un campo $C$, nel quale esista una curva $\Gamma$ luogo dei punti per cui

                                   $F(x,y)=k\,(k={\text{cost,}})$                              (3)

Voglio trovare qualche condizione necessaria affinchè il valore assunto dalla $f$ in un punto $A$ di $\Gamma$ sia massimo o minimo rispetto agli altri valori assunti dalla $f$ in $\Gamma$ (in un intorno di $A$). Più brevemente cerco i massimi ed i minimi di $f(x,y)$, quando le $x,y$ sono legate alla (3). Lungo $\Gamma$ si può considerare la $y$ come una funzione della <ath>x</math> soddisfacente alla $y'_{x}=-{\frac {F'_{x}}{F'_{y}}}$ (se $F'_{y}\not =0$); e la $f$ si potrà perciò anche considerare come una funzione della sola $x$.

In uno dei punti $A$ cercati dovrà dunque esser nulla la derivata totale della $f$ rispetto alla $x$

${\frac {df}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial f}{|partialy}}{\frac {dy}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}-{\frac {1partialf}{\partial y}}{\frac {F'_{x}}{F'_{y}}}$.

Dovrà dunque essere in $A$

$f'_{x}F'_{y}-f'_{y}F'_{x}=0$,

ossia dovranno essere in $A$ compatibili le equazioni dell'incognita $\lambda$ (che supponiamo essere una costante)

$f'_{x}+\lambda F'_{x}=0$,

$f'_{y}+\lambda F'_{y}=0$.

Ad identico risultato si giunge se $F'_{x}\not =0$. Se dunque in $\Gamma$ non è mai contemporaneamente $F'_{x}=0,F'_{y}=0$, allora per trovare i cercati punti $A$ si cercano i punti ove sono nulle le derivate prime di $f+\lambda F$ rispetto a $x,y$: si procede cioè come se si cercassero i massimi e i minimidi $f+\lambda F$. le tre equazioni

$(f+\lambda F)'_{x}=0$

$(f+\lambda F)'_{y}=0$

$F(x.y)=k$.

sono tre equazioni nelle tre incognite (la costante $\lambda$ e le due coordinate $A$, che servono a determinarci quei punti $A$ di $C$, tra i quali soltanto si dovranno poi cercare i nostri punti di massimo o di minimo.

Questo metodo del moltiplicatore indeterminato $\lambda$ è suscettibile di molte e svariate generalizzazioni e applicazioni.

Note

1. Questa derivata è una derivata partiale, perchè $y$ si considera costante; ma non si può indicare con ${\frac {\partial f}{\partial x}}$. Con tale simbolo di indica $\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y,z,t={\text{cost.}}}$; si indica cioè la derivata che si ottiene considerando costante non solo la $y$, ma anche le $z,t$.