Sopra alcune questioni nella teoria delle curve piane (Cremona)/6

by Luigi Cremona

Art. 6. Sulle curve di terz'ordine

../5 IncludiIntestazione 19 agosto 2010 50% Da definire

Questo testo è da formattare.

Luigi Cremona - Sopra alcune questioni nella teoria delle curve piane (1864)

Art. 6. Sulle curve di terz'ordine

◄

5

26. Sia $i$ un flesso di una data curva di terz’ordine ed $I$ la retta polare armonica di $i$. Siccome due tangenti della curva i cui punti di contatto siano in linea retta col flesso $i$ concorrono in un punto $m$ della retta $I$ e formano sistema armonico colla $mi$ e colla medesima $I$ (Introd. 139, a), così:

Le sei tangenti che si possono condurre ad una cubica, da un punto della polare armonica di un flesso sono accoppiate in involuzione, in modo che la corda di contatto di due tangenti coniugate passa pel flesso.¹

E siccome le polari armoniche dei flessi sono le medesime per tutte le cubiche sizigetiche alla data, così:

Dato un fascio di cubiche sizigetiche, se da un punto della polare armonica di un flesso si tirano coppie di tangenti alle cubiche in modo che la corda di contatto passi sempre pel flesso suddetto, quelle infinite coppie di tangenti formano un’involuzione, i cui raggi doppi sono la retta condotta al flesso e la polare armonica.

Siano $m_{1}m_{2}m_{3}$ tre punti presi ad arbitrio e rispettivamente nelle polari armoniche di tre flessi 123 situati in linea retta. Condotte per ciascuno de’ punti $m_{1}m_{2}m_{3}$ due tangenti alla cubica i cui punti di contatto siano in linea retta col flesso corrispondente, siccome le tre corde di contatto segano la curva in tre punti 1 2 3 che sono in una retta, così le altre sei intersezioni, cioè i punti di contatto delle sei tangenti, giaceranno in una conica (Introd. 39, a).

Se $r$ è un vertice di un trilatero $rr_{1}r_{2}$ sizigetico alla cubica data, per $r$ passano le polari armoniche dei tre flessi situati nel lato opposto (Introd. 142). Dunque le sei tangenti che si possono condurre da $r$ alla cubica sono accoppiate in involuzione in tre maniere diverse: a ciascuna di queste maniere corrispondono come raggi doppi la retta che congiunge $r$ ad uno de’ tre flessi e la relativa polare armonica.

Conducendo per un flesso $i$ situato in $r_{1}r_{2}$ una trasversale qualunque, il coniugato armonico di $i$ rispetto alle intersezioni della trasversale con $rr_{1},rr_{2}$ è situato nella polare armonica di $i$ (Introd. 139). Ne segue che le $rr_{1},rr_{2}$ sono coniugate armoniche rispetto alla retta $ri$ ed alla polare armonica di $i$. Dunque i raggi doppi delle tre involuzioni formate dalle tangenti che si possono condurre per $r$ alla cubica data (ed alle altre cubiche sizigetiche) sono accoppiati pur essi in una nuova involuzione i cui elementi doppi sono i lati $rr_{1},rr_{2}$, del trilatero sizigetico. Ossia:

Tre flessi in linea retta e le intersezioni di questa retta colle polari armoniche dei flessi medesimi formano tre coppie di punti in involuzione.²

È noto (Introd. 132, c) che se due tangenti ad una data cubica concorrono in un punto della medesima curva, ciascuna di quelle tangenti è la retta polare del punto di contatto dell’altra rispetto ad una cubica di cui la data è la Hessiana. È noto inoltre (Introd. 148) che se una retta tocca una cubica in un punto e la sega in un altro, le rette polari del primo punto, rispetto alle cubiche sizigetiche colla data, passano tutte pel secondo punto. Ne segue che:

Le quattro tangenti che si possono condurre ad una cubica da un suo punto sono le rette polari di uno qualunque de’ punti di contatto rispetto alla cubica medesima ed a quelle altre tre cubiche delle quali la data è la Hessiana.³

Ora, il rapporto anarmonico delle rette polari di un punto rispetto a quattro curve date di un fascio è costante, qualunque sia quel punto: si ha dunque così una nuova dimostrazione del teorema di Salmon (Introd. 131), essere costante il rapporto anarmonico delle quattro tangenti che arrivano ad una cubica da un suo punto qualunque.

27. Nel piano di una data curva del terz’ordine si immaginino condotte $n+1$ trasversali che seghino la curva nelle $n+1$ terne di punti

$(v_{1}v_{2}a_{1}),\quad (v_{3}v_{4}a_{3}),\quad (v_{5}v_{6}a_{5}),\dots (v_{2n+1}v_{2n+2}a_{2n+1})$.

Si unisca il punto $v_{2n+2}$ al punto $a_{1}$ mediante una retta che seghi di nuovo la curva in $v_{2n+3}$. Si tiri la retta $v_{2}v_{3}$ che incontri ulteriormente la curva in $a_{2}$; e sia $v_{2n+4}$ la terza intersezione della curva colla retta $v_{2n+3}a_{2}$. Continuando in questo modo si otterranno altre $3n$ trasversali contenenti le terne di punti

$(v_{2n+2}a_{1}v_{2n+3}),\quad (v_{2}v_{3}a_{2}),\quad (v_{2n+3}a_{2}v_{2n+4}),\quad (v_{2n+4}a_{3}v_{2n+5}),\quad (v_{4}v_{5}a_{4})$, $(v_{2n+5}a_{4}v_{2n+6}),\dots (v_{4n+1}a_{2n}v_{4n+2})$.

Ora dei $3(2n+1)$ punti $v_{1}v_{2}\dots v_{4n+2}$, $a_{1}a_{2}\dots a_{2n+1}$ risultanti dall’intersezione della cubica colle $2n+1$ rette

$(v_{1}v_{2}a_{1}),\quad (v_{3}v_{4}a_{3}),\quad (v_{5}v_{6}a_{5}),\dots (v_{2n+1}v_{2n+2}a_{2n+1})$, $(v_{2n+3}v_{2n+4}a_{2}),\quad (v_{2n+5}v_{2n+6}a_{4}),\dots (v_{4n+1}v_{4n+2}a_{2n})$,

ve ne sono $6n$ distribuiti sulle $2n$ rette

$(v_{2n+2}v_{2n+3}a_{1}),\quad (v_{2n+4}v_{2n+5}a_{3}),\dots (v_{4n}v_{4n+1}a_{2n-1})$, $(v_{2}v_{3}a_{2}),\quad (v_{4}v_{5}a_{4}),\dots (v_{2n}v_{2n+1}a+{2n})$;

dunque gli altri tre punti $v_{1}v_{4n+2}a_{2n+1}$ si troveranno pur essi in linea retta (Introd. 44). Dunque:

Se dei $3(2n+1)$ punti che sono i vertici e le intersezioni delle coppie di lati opposti d’un poligono di $4n+2$ lati, ve ne sono $6n+2$ situati in una curva di terz’ordine, anche il punto rimanente apparterrà alla medesima curva.⁴

28. Nel piano di una curva del terz’ordine si tirino due trasversali che seghino la curva nelle terne di punti $(v_{1}v_{2}a_{1}),(w_{2}w_{3}a_{2})$. Le due rette $w_{2}a_{1},v_{2}a_{2}$ incontrino la curva di nuovo in $w_{1},v_{3}$. Per $v_{3}$ si tiri ad arbitrio una trasversale che seghi la curva in $(v_{3}v_{4}a_{3})$; quindi congiunto $w_{3}$ con $a_{3}$, si ottenga la terna $(w_{3}w_{4}a_{3})$. Per $w_{4}$ si conduca ad arbitrio una trasversale che seghi la curva di nuovo nei punti $w_{5}a_{4}$, e congiunto $v_{4}$ con $a_{4}$, si ottenga la terza intersezione $v_{5}$. Si continui colla stessa legge finché siansi ottenute le terne $(v_{2n-1}v_{2n}a_{2n-1})$, $(w_{2n-1}w_{2n}a_{2n-1})$. Congiungasi allora $v_{2n}$ con $v_{1}$ e la retta così ottenuta incontri di nuovo la curva in $a_{2n}$.

Ora, dei $6n$ punti $v_{1}v_{2}\dots v_{2n}$, $w_{1}w_{2}\dots w_{2n}$, $a_{1}a_{2}\dots a_{2n}$, che risultano dall’intersecare la cubica col sistema delle $2n$ rette

$(w_{1}w_{2}a_{1}),\quad (w_{3}w_{4}a_{3}),\dots (w_{2n-1}w_{2n}a_{2n-1})$, $(v_{2}v_{3}a_{2}),\quad (v_{4}v_{5}a_{4}),\dots (v_{2n}v_{1}a_{2n})$,

ve ne sono $6n-3$ distribuiti sulle $2n-1$ rette

$(v_{1}v_{2}a_{1}),\quad (v_{3}v_{4}a_{3}),\dots (v_{2n-1}v_{2n}a_{2n-1})$, $(w_{2}w_{3}a_{2}),\quad (w_{4}w_{5}a_{4}),\dots (w_{2n-2}w_{2n-1}a_{2n-2})$;

epperò gli altri tre punti $w_{1}w_{2n}a_{2n}$ saranno pure in una retta. Cioè:

Se dei $6n$ punti che sono i vertici e le intersezioni delle coppie di lati corrispondenti di dite poligoni, di $2n$ lati ciascuno, ve ne sono $6n-1$ situati in una curva di terz’ordine, anche il punto rimanente giacerà nella medesima curva.⁵

Note

1. Giornale di matematiche, t. 2, pag. 84 (Napoli 1864). [Queste Opere, n. 49].
2. Questa proprietà si rende evidente anche osservando che il punto in cui la polare armonica di $i$ sega $r_{1}r_{2}$ è coniugato armonico di $i$ rispetto agli altri due flessi situati nella medesima retta $r_{1}r_{2}$. Ne segue ancora (Introd. 26) che ciascuno de’ due punti $r_{1}r_{2}$ combinato coi tre flessi situati nella retta $r_{1}r_{2}$ forma un sistema equianarmonico.
3. Educational Times, december 1864, p. 214 (London).
4. Questo teorema, generalizzazione di uno notissimo dovuto a Poncelet (Introd. 45, c), mi è stato comunicato dal ch. prof. Brioschi.
5. Questo teorema ed il precedente sono stati enunciati da Möbius nel caso che la cubica sia il sistema di una conica e di una retta (Verallgemeinerung des Pascalschen Theorems, Giornale di Crelle, tom. 36, Berlin 1848, p. 219).