Opere matematiche di Luigi Cremona/Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane/La curva di terz'ordine considerata come Hessiana di tre diverse reti di coniche

by Luigi Cremona

Art. 24. La curva di terz’ordine considerata come Hessiana di tre diverse reti di coniche

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Luigi Cremona - Opere matematiche (1914)

Art. 24. La curva di terz’ordine considerata come Hessiana di tre diverse reti di coniche

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Art. XXIV.

La curva di terz’ordine considerata come Hessiana
di tre diverse reti di coniche.

146. Una data cubica qualsivoglia ${\rm {C_{3}}}$ può risguardarsi come Hessiana di tre altre cubiche ad essa sizigetiche (143). Ciascuna di queste tre curve dà origine ad una rete di coniche polari, epperò la cubica data sarà l’Hessiana di tre distinte reti di coniche. Rispetto a ciascuna di queste tre reti, la cubica data è il luogo delle coppie de’ poli coniugati (132, b); dunque in tre guise diverse i punti di una cubica possono essere coniugati a due a due, per modo che due punti coniugati abbiano lo stesso tangenziale, ossia nella cubica esistono tre sistemi di punti corrispondenti (133, a).

Ed invero, se $o$ è un punto della cubica data ed $u$ è il tangenziale di esso, da $u$ partono, oltre $uo$, altre tre tangenti (130, d); siano $o'o''o'''$ i punti di contatto. Abbiamo così le tre coppie di poli coniugati $oo',oo'',oo'''$, in relazione alle tre diverse reti che hanno per comune Hessiana la cubica data.

Applicando lo stesso discorso a ciascuno de’ punti $o'o''o'''$, come al punto $o$, si vede tosto che per la prima rete sono poli coniugati $oo'$ ed $o''o'''$; per la seconda $oo''$ ed $o'''o'$; per la terza $oo'''$ ed $o'o''$.

(a) Essendo $oo',o''o'''$ due coppie di poli coniugati relative ad una stessa rete, se le rette $oo'',o'o'''$ si segano in $y$ e le $oo''',o'o''$ in $z$, anche $yz$ sarà una coppia di poli coniugati relativi alla stessa rete (134).

I punti $o,o'',y$ sono in linea retta, epperò i loro tangenziali (che sono anche i tangenziali ordinatamente de’ punti $o',o''',z$) saranno allineati in una seconda retta (39, b). Ma i tangenziali di $o,o''$ coincidono in $u$; dunque il tangenziale comune di $y$ e $z$ sarà anche il tangenziale di $u$. Donde si raccoglie che:

Se $oo'o''o'''$ sono i punti ove una cubica è toccata dalle tangenti condotte da un suo punto $u$, i punti diagonali $xyz$ del quadrangolo $oo'o''o'''$ giacciono nella cubica, e le tangenti a questa in $uxyz$ concorrono in uno stesso punto della curva.

(b) Dal teorema (134) risulta che, se $aa',bb'$ sono due coppie di punti corrispondenti della cubica, affinchè questi siano relativi ad uno stesso sistema è necessario e sufficiente che il punto comune alle $ab,a'b'$ ed il punto comune alle $ab',a'b$ giacciano nella curva. Laonde, avuto riguardo alla proprietà (45, d), potremo concludere la seguente:

Se un quadrilatero completo è inscritto in una cubica, i vertici opposti formano tre coppie di punti corrispondenti relative ad uno stesso sistema.

Qui si offre immediatamente la ripartizione in tre diversi sistemi de’ quadrilateri completi inscritti in una cubica.

(c) Siano $aa_{1},bb_{2}$ due coppie di poli coniugati relative a due reti diverse; $\alpha$ il tangenziale di $a$ ed $a_{1}$; $\beta$ il tangenziale di $b$ e $b_{2}$. Siano $c,c_{3},\gamma$ le terze intersezioni della cubica colle rette $ab,a_{1}b_{2},\alpha \beta$; sarà $\gamma$ il tangenziale sì di $c$ che di $c_{3}$. Dunque $c,c_{3}$ sono due poli coniugati, relativi però alla terza rete (b). Così pure, se le rette $ab_{2},a_{1}b$ segano la cubica nei punti $c_{2},c_{1}$, questi sono poli coniugati rispetto alla terza rete medesima¹.

147. — Dato un punto $o$ ed un fascio di coniche circoscritte ad un quadrangolo $efgh$, quale è il luogo de’ punti di contatto delle tangenti condotte da $o$ a queste coniche? Siccome per $o$ si può condurre una conica del fascio e quindi ad essa la tangente in $o$, così il luogo richiesto passa per $o$. Oltre ad $o$, ogni trasversale tirata per questo punto ne contiene altri due del luogo, e sono i punti doppi dell’involuzione che le coniche del fascio determinano sulla trasversale (49). Dunque il luogo richiesto è una cubica, la quale passa anche per $efgh$, poichè si può descrivere una conica del fascio che tocchi $oe$ in $e$, ovvero $of$ in $f$, ecc.

Ciascuna conica del fascio sega la cubica in altri due punti $m,m'$ (oltre $efgh$), che sono quelli ove la conica tocca le tangenti condotte per $o$. La retta $mm'$, polare di $o$ rispetto alla conica, passa per un punto fisso $u$ (il punto opposto ai quattro $efgh$) (65). Quando la conica passa per $o$, i due punti $mm'$ coincidono in $o$; laonde questa conica tocca la cubica in $o$, ed $u$ è il tangenziale di $o$.

Fra le coniche del fascio vi sono tre sistemi di due rette, e sono le coppie di lati opposti $(ef,gh)$, $(eg,fh)$, $(eh,fg)$ del quadrangolo dato; per ciascuno di essi i punti $mm'$ coincidono nel relativo punto diagonale. Donde segue che i punti diagonali $o'o''o'''$ del quadrangolo appartengono alla cubica, e le tangenti in questi punti concorrono in $u$.

Siccome le rette $o(e,f,g,h)$ sono tangenti alla cubica in $e,f,g,h$, così la conica determinata dai cinque punti $oefgh$ è la prima polare del punto $o$ rispetto alla cubica medesima. Analogamente la conica $uoo'o''o'''$ è la prima polare di $u$.

148. Sia $o$ un punto qualunque di una data cubica ${\rm {C_{3}}}$, ed $u$ il tangenziale di $o$. Se ${\rm {K_{3}}}$ è una cubica, la cui Hessiana sia ${\rm {C_{3}}}$, la conica polare di $u$ rispetto a ${\rm {K_{3}}}$ è un pajo di rette, una delle quali passa per $o$ (133, b); dunque la retta polare di $o$ rispetto a ${\rm {K_{3}}}$ passa per $u$. Ma $u$ giace anche nella retta polare di $o$ relativa a ${\rm {C_{3}}}$, giacchè quest’ultima curva è toccata in $o$ dalla retta $ou$; dunque in $u$ concorreranno le rette polari di $o$, relative a tutte le cubiche descritte pei punti comuni a ${\rm {C_{3}}}$ e ${\rm {K_{3}}}$ (84, c), ossia:

Se una retta tocca una cubica in un punto $o$ e la sega in un altro punto $u$, le rette polari di $o$, rispetto alle cubiche sizigetiche colla data, passano tutte per $u$²³.

(a) Siano $oo'o''o'''$ i punti di contatto delle tangenti condotte alla cubica data dal punto $u$; pel teorema precedente, $u$ giace nelle rette polari di ciascuno dei quattro punti suddetti, rispetto a tutte le cubiche sizigetiche. Dunque le coniche polari di $u$ rispetto alle cubiche medesime passeranno per $oo'o''o'''$⁴.

Le tre coppie di lati opposti del quadrangolo $oo'o''o'''$ sono le coniche polari di $u$ rispetto a quelle tre curve sizigetiche la cui Hessiana è ${\rm {C_{3}}}$, epperò saranno tangenti alle tre corrispondenti Cayleyane.

(b) Si noti inoltre che $o'o''o'''$ sono i punti diagonali del quadrangolo formato dai quattro punti di contatto delle tangenti condotte alla cubica data dal punto $o$ (146, a); dunque $o'$ è il polo della retta $o''o'''$ rispetto alle coniche polari di $o$ relative a tutte le cubiche sizigetiche (108, b); ecc.

149. Siano $\alpha \beta \gamma$ i tre punti in cui una retta sega una data cubica, ed $a_{0}a_{1}a_{2}a_{3}$, $b_{0}b_{1}b_{2}b_{3}$, $c_{0}c_{1}c_{2}c_{3}$ i punti di contatto delle tangenti che da quelli si possono condurre alla curva. Siccome i tangenziali di tre punti in linea retta sono pur essi in linea retta, così la retta che unisce uno de’ punti $a$ con uno de’ punti $b$ passerà necessariamente per uno de’ punti $c$; epperò i dodici punti $abc$ giacciono a tre a tre in sedici rette⁵.

Siano $a_{0}b_{0}c_{0}$ tre punti scelti fra quei dodici in modo che siano allineati sopra una retta; e siano $a_{1}b_{1}c_{1}$, $a_{2}b_{2}c_{2}$, $a_{3}b_{3}c_{3}$ i punti corrispondenti a quelli rispettivamente nelle tre reti di coniche, alle quali dà nascimento la data cubica considerata come Hessiana (146). Pel teorema (134) sono in linea retta le terne di punti:

$a_{0}b_{1}c_{1}$,	$b_{0}c_{1}a_{1}$,	$c_{0}a_{1}b_{1}$,
$a_{0}b_{2}c_{2}$,	$b_{0}c_{2}a_{2}$,	$c_{0}a_{2}b_{2}$,
$a_{0}b_{3}c_{3}$,	$b_{0}c_{3}a_{3}$,	$c_{0}a_{3}b_{3}$,

oltre ad

$a_{0}b_{0}c_{0}$.

E pel teorema (146, c) sono in linea retta anche le terne:

$a_{1}b_{2}c_{3}$,	$a_{2}b_{3}c_{1}$,	$a_{3}b_{1}c_{2}$,
$a_{1}b_{3}c_{2}$,	$a_{2}b_{1}c_{3}$,	$a_{3}b_{2}c_{1}$.

Queste sedici rette si possono aggruppare in otto sistemi di quattro rette ciascuno, le quali contengano tutt’i dodici punti di contatto⁷.

(a) I punti $a_{1}b_{1}c_{1}$, che corrispondono ad $a_{0}b_{0}c_{0}$ rispetto ad una medesima rete, sono i vertici di un triangolo i cui lati passano ordinatamente per $a_{0},b_{0},c_{0}$, (134), e sono anche i punti di contatto della cubica colla poloconica della retta $a_{0}b_{0}c_{0}$, relativa a quella rete (137). Dunque (39) le rette che uniscono i punti $a_{1}b_{1}c_{1}$ ai vertici del triangolo formato dalle tre tangenti $\alpha a_{1},\beta b_{1},\gamma c_{1}$ concorreranno in uno stesso punto⁸⁹.

È superfluo accennare che la stessa proprietà compete ai punti $a_{2}b_{2}c_{2}$, $a_{3}b_{3}c_{3}$ che sono i corrispondenti di $a_{0}b_{0}c_{0}$ rispetto alle altre due reti.

(b) Le rette $a_{0}b_{0},a_{1}b_{1}$ s’incontrano sulla data curva in $c_{0}$, onde questa passa sì pei punti comuni ai due sistemi di tre rette $(\alpha a_{0},\beta b_{0},\gamma c_{0})$, $(\alpha \beta ,a_{0}b_{0},a_{0}b_{0})$, sì pei punti comuni agli altri due analoghi sistemi $(\alpha a_{1},\beta b_{1},\gamma c_{0})$, $(\alpha \beta ,a_{1}b_{1},a_{1}b_{1})$. Saravvi adunque (50, b) un luogo di terz’ordine soddisfacente alla duplice condizione di passare pei punti comuni ai due sistemi $(\alpha a_{0},\beta b_{0},\gamma c_{0})$, $(\alpha a_{1},\beta b_{1},\gamma c_{0})$ e di contenere le intersezioni dei due sistemi $(\alpha \beta ,a_{0}b_{0},a_{0}b_{0})$, $(\alpha \beta ,a_{1}b_{1},a_{1}b_{1})$. Queste due condizioni sono appunto sodisfatte dal sistema di tre rette $(\alpha \beta ,[01][10],\gamma c_{0})$, ove $[01]$ indica il punto comune alle rette $\alpha a_{0},\beta b_{1}$, ed $[10]$ il punto ove si segano le $\alpha a_{1},\beta b_{0}$. D’altronde, qualunque luogo di terz’ordine appartenente al fascio determinato dai due sistemi $(\alpha \beta ,a_{0}b_{0},a_{0}b_{0})$, $(\alpha \beta ,a_{1}b_{1},a_{1}b_{1})$ non può essere altrimenti composto che della retta $\alpha \beta$ e di un pajo di rette coniugate nell’involuzione quadratica i cui raggi doppi sono $a_{0}b_{0},a_{1}b_{1}$¹⁰. Dunque la retta $[01][10]$ passa pel punto $c_{0}$¹¹ ed è coniugata armonica di $\gamma c_{0}$ rispetto alle $a_{0}b_{0},a_{1}b_{1}$ (25, a).

(c) Per la stessa ragione, se $\alpha a_{0}$ incontra $\beta b_{2},\beta b_{3}$ in $[02],[03]$, e se $\beta b_{0}$ incontra $\alpha a_{2},\alpha a_{3}$ in $[20],[30]$, le rette $[02][20]$, $[03][30]$ passano per $c_{0}$. Laonde, rappresentato con $[00]$ il punto comune alle $\alpha a_{0},\beta b_{0}$, i due sistemi di quattro punti $[00,01,02,03]$, $[00,10,20,30]$ avranno eguali rapporti anarmonici, imperocchè essi risultano dal segare colle due trasversali $\alpha a_{0}$, $\beta b_{0}$ uno stesso fascio di quattro rette concorrenti in $c_{0}$. Ne segue che i rapporti anarmonici de’ due fasci $\alpha (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3})$, $\beta (b_{0},b_{1},b_{2},b_{3})$ sono eguali, ossia che i sei punti $[00]$, $[11]$, $[22]$, $[33]$, $\alpha$, $\beta$ giacciono in una stessa conica, come si è già dimostrato altrove (131, a).

Analogamente, concorrendo in $c_{1}$ le quattro rette $a_{0}b_{1}$, $a_{1}b_{0}$, $a_{2}b_{3}$, $a_{3}b_{2}$, i due fasci $\alpha (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3})$, $\beta (b_{1},b_{0},b_{3},b_{2})$ avranno eguali rapporti anarmonici; ecc.

(d)	Come nel punto	$c_{0}$	concorrono le rette	$[01][10],[02][20],\dots$
così	„	$c_{1}$	„	$[00][11],[22][33],\dots$
	„	$c_{2}$	„	$[00][22],[33][11],\dots$
	„	$c_{3}$	„	$[00][33],[11][22],\dots$13.

Dunque i punti $[00],[11],[22],[33]$, ove si segano i raggi omologhi de’ due fasci projettivi $\alpha (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3})$, $\beta (b_{0},b_{1},b_{2},b_{3})$ formano un quadrangolo completo, i cui punti diagonali $c_{1},c_{2},c_{3}$ appartengono alla cubica e sono i punti di contatto di tre tangenti concorrenti in $\gamma$, terza intersezione della curva colla retta $\alpha \beta$.

Quando i punti $\alpha \beta$ coincidano, ritroviamo un teorema già dimostrato (146, a).

(e) I punti $\alpha ,\beta$ sono i centri di due fasci projettivi, ne’ quali alle rette $\alpha (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3})$ corrispondono $\beta (b_{0},b_{1},b_{2},b_{3})$. Condotta per $\alpha$ una retta qualunque che seghi $\beta b_{0}$ nel punto $[x0]$; unito $[x0]$ con $c_{0}$ mediante una retta che seghi $\alpha a_{0}$ in $[0x]$; sarà $\beta [0x]$ la retta corrispondente ad $\alpha [x0]$¹⁵. In questo modo si trova che alla retta $\alpha \beta$ corrisponde $\beta c_{0}$ od $\alpha c_{0}$, secondo che $\alpha \beta$ si consideri appartenente al fascio $\alpha$ o $\beta$. Dunque (59) $\alpha c_{0}$, $\beta c_{0}$ sono le tangenti in $\alpha$, $\beta$ alla conica generata dai due fasci projettivi; ossia (107) $c_{0}$ è il polo della retta $\alpha \beta$ rispetto alla conica $\alpha \beta [00][11][22][33]$.

Analogamente, i punti $c_{1},c_{2},c_{3}$ sono i poli della retta $\alpha \beta$ rispetto alle altre tre coniche passanti per $\alpha \beta$ e per le intersezioni delle tangenti che concorrono in $\alpha$ ed in $\beta$ (131, a). Ossia:

Le tangenti che si possono condurre ad una cubica da due suoi punti $\alpha ,\beta$ si segano in sedici punti $[xy]$ situati a quattro a quattro in quattro coniche passanti per $\alpha$ e $\beta$.

I poli della retta $\alpha \beta$ rispetto a queste coniche giacciono nella cubica, la quale è ivi toccata da quattro rette concorrenti in $\gamma$, terza intersezione della curva colla retta $\alpha \beta$.

I poli di $\alpha \beta$ rispetto a tre qualunque fra quelle coniche sono i punti diagonali del quadrangolo completo avente per vertici i quattro punti $[xy]$ situati nella quarta conica¹⁶.

(f) La conica polare di $c_{0}$, oltre al toccare la cubica in $c_{0}$, la seghi ne’ punti $pqrs$. Ogni conica passante per $pqrs$ incontra la cubica in due altri punti che sono in linea retta col punto $\gamma$, tangenziale di $c_{0}$ (147); dunque la conica descritta per $pqrs$ ed $\alpha$ passerà anche per $\beta$.

Si noti poi che il quadrangolo completo $pqrs$ ha i suoi punti diagonali in $c_{1}c_{2}c_{3}$, cioè ne’ punti che hanno il tangenziale comune con $c_{0}$ (146, a). Ne segue che il triangolo $c_{1}c_{2}c_{3}$ è coniugato rispetto ad ogni conica circoscritta al quadrangolo $pqrs$.

Ma siccome $c_{1}c_{2}c_{3}$ sono anche i punti diagonali del quadrangolo $[00][11][22][33]$, così il triangolo $c_{1}c_{2}c_{3}$ è pur coniugato rispetto alla conica nella quale giacciono i sei punti $\alpha \beta [00][11][22][33]$. Dunque (108, e) questa conica passa anche per $pqrs$¹⁸.

150. Se nel metodo generale (67, c) per costruire il punto opposto a quattro punti di una cubica ${\rm {C_{3}}}$ si suppone che questi, coincidendo per coppie, si riducano a due soli $a,b$, il punto opposto $\gamma$ sarà in linea retta coi tangenziali $\alpha ,\beta$ di $a,b$, cioè sarà il tangenziale della terza intersezione $c$ della cubica colla retta $ab$. Ogni retta condotta per $\gamma$ sega la cubica in altri due punti $mn$, pei quali passa una conica tangente in $a$ e $b$ alla cubica medesima; onde, se i punti $mn$ coincidono, la conica e la cubica avranno fra loro tre contatti bipunti. Pel punto $\gamma$ passano quattro rette tangenti a ${\rm {C_{3}}}$; uno de’ punti di contatto, $c$, è in linea retta con $ab$; gli altri tre siano $c_{1}c_{2}c_{3}$, e consideriamo la conica tangente in $abc_{1}$. I punti $cc_{1}$ sono poli coniugati rispetto ad una delle tre reti di coniche, l’Hessiana delle quali è la cubica data (146); e se $b_{1}$ è il polo coniugato a $b$ nella stessa rete, la retta $b_{1}c_{1}$ passerà per $a$, e le $bc_{1}$, $b_{1}c$ si tagleranno in $a_{1}$, polo coniugato ad $a$ rispetto alla medesima rete (134). Vale a dire, se la cubica è toccata in $abc_{1}$ da una curva di second’ordine, i poli $a_{1}b_{1}c$ coniugati ad $abc_{1}$ rispetto ad una delle tre reti sono in linea retta; donde segue che, rispetto alla rete medesima, quella curva di second’ordine è la poloconica della retta $a_{1}b_{1}c$ (137). Analogamente, se $a_{2}b_{2}$, $a_{3}b_{3}$ sono i punti corrispondenti ad $ab$ nelle altre due reti, le coniche tangenti in $abc_{2}$, $abc_{3}$ sono le poloconiche delle rette $a_{2}b_{2}c$, $a_{3}b_{3}c$ rispetto a queste reti.

Così le coniche tangenti ad una cubica in tre punti si distribuiscono in tre sistemi, relativi alle tre reti aventi per comune Hessiana la cubica data. I sei punti di contatto di due coniche d’uno stesso sistema giacciono in una conica segante; e viceversa, se pei tre punti di contatto d’una conica d’un certo sistema si descriva ad arbitrio una linea di second’ordine, questa sega la cubica in tre nuovi punti, ne’ quali questa curva è toccata da un’altra conica dello stesso sistema (137, a).

Se una poloconica dee passare per due punti dati $o,o'$, la retta a cui essa corrisponde sarà tangente alla conica polare di $o$ ed a quella di $o'$ (136, a). Ma due coniche hanno quattro tangenti comuni; dunque per due punti dati ad arbitrio passano dodici coniche (quattro per ciascun sistema) aventi tre contatti bipunti colla data curva di terz’ordine.¹⁹

La poloconica di una tangente stazionaria, per ciascuna delle tre reti, ha un contatto sipunto coll’Hessiana (137); vi sono adunque ventisette coniche (nove in ciascun sistema) aventi un contatto sipunto colla cubica data²⁰. I punti di contatto sono quelli che nei tre sistemi corrispondono ai nove flessi, vale a dire, sono i punti in cui la cubica è toccata dalle tangenti condotte per uno de’ flessi (39, d). Uno qualunque di questi punti chiamisi $p,q$ od $r$, secondo che appartenga all’uno o all’altro dei tre sistemi.

Tre flessi in linea retta ed i nove punti $pqr$ che ad essi corrispondono, nei tre sistemi, formano un complesso di dodici punti ai quali si possono applicare le proprietà (149). Dunque:

Ogni retta che unisca due punti $p$ (dello stesso sistema) passa per un flesso;

Ogni retta che unisca due punti $pq$ (di due diversi sistemi) sega la cubica in un punto $r$ (del terzo sistema).

Ed inoltre (137, a):

I sei punti $p$ che (in uno stesso sistema) corrispondono a sei flessi allineati sopra due rette, giacciono in una conica²¹.

Note

1. Hesse, Ueber Curven dritter Ordnung und die Kegelschnitte, welche diese Curven in drei verschiedenen Puncten berühren (Giornale di Crelle, t. 36, Berlino 1848, p. 148-152).
2. Salmon, On curves of the third order, p. 535.
3. {Dal teorema (132, c) segue che, condotte per $u$ le altre tre tangenti a ${\rm {C_{3}}}$, queste sono le rette polari di $o$ rispetto alle tre cubiche di cui ${\rm {C_{3}}}$ è la Hessiana. Cioè le quattro tangenti che da un punto $u$ di una cubica ${\rm {C_{3}}}$ si posson condurre a questa sono le rette polari di uno dei punti di contatto, rispetto a ${\rm {C_{3}}}$ ed alle tre cubiche di cui ${\rm {C_{3}}}$ è Hessiana. Il rapporto anarmonico delle quattro tangenti è quindi uguale a quello delle quattro cubiche: donde si cava una nuova dimostrazione della costanza del rapporto anarmonico delle quattro tangenti, al variare di $u$ (131).
   Se $o$ è un flesso di ${\rm {C_{3}}}$, segue dal teorema precedente che le tre rette che da $o$ si possono condurre a toccare ${\rm {C_{3}}}$ altrove sono le tangenti (stazionarie) in $o$ alle tre cubiche di cui ${\rm {C_{3}}}$ è l’Hessiana: il che s’accorda col teorema 141.}
4. Cayley, A Memoir on curves etc. p. 443.
5. Plücker, System der analytischen Geometrie, p. 272.
6. Nella Einleitung, dopo questa citazione, segue (nella stessa nota a piè di pagina) un quadro degli otto sistemi di quattro rette, che si trovava già in Hesse, loc. cit. (= Ges. Werke, p. 166).
7. Hesse, Ueber Curven dritter Ordnung u. s. w. p. 153.⁶
8. Sopprimiamo, d’accordo con (A), un’asserzione non esatta relativa a quel punto di concorso.
9. Plücker, System der analytischen Geometrie, p. 46.
10. Se le coniche d’un fascio hanno un punto doppio comune $c_{0}$, cioè se ciascuna di esse consta di due rette incrociate in $c_{0}$, tutte le analoghe coppie di rette formano evidentemente un’involuzione, i cui raggi doppi rappresentano le due linee del fascio per le quali $c_{0}$ è una cuspide (48).
11. {Poichè la retta $[01][10]$ passa per $c_{0}$, ne segue che l’esagono $\alpha a_{0}b_{0}\beta b_{1}a_{1}$ è inscritto in una conica (S. Roberts, Ed. Times, ottobre 1868).}
12. Così in $c_{0}$ concorrono $[01][10]$, $[02][20]$, $[03][30]$, $[23][32]$, $[31][13]$, $[12][21]$.
13. In ciascuno de’ punti $c$ concorrono sei rette analoghe a $[01][10]$.¹²
14. Per quel punto $c_{0}$ (centro di projettività) passa anche la retta che unisce le intersezioni di $(\alpha b_{0},\beta b_{0}),(\alpha a_{0},\beta a_{0})$. {Di qui segue che le rette $\alpha b_{0},\beta a_{0}$ sono corrispondenti, e però il loro punto comune appartiene alla conica $\alpha \beta [00][11][22][33]$. Dunque i punti $a_{0}$, $b_{0}$ sono coniugati rispetto a questa conica, e le loro polari s’incrociano in un punto della retta $\alpha \beta$ allineato con $[00]$ e col punto comune alle $\alpha b_{0}$, $\beta a_{0}$. Analogamente per $a_{1}$, $b_{1}$; ecc.}
15. {Perchè $c_{0}$ è il punto in cui concorrono le rette che uniscono le intersezioni delle coppie alterne di raggi, come $(\alpha a_{0},\beta b_{1})$, $(\alpha a_{1},\beta b_{0})$; $(\alpha a_{0},\beta b_{2})$, $(\alpha a_{2},\beta b_{0})$; ecc.¹⁴}
16. Salmon, Théorèmes sur les courbes de troisième degré, p. 276, — Higher plane curves, p. 134.
17. {Le tangenti alla conica $\alpha \beta [00][11][22][33]$ nei punti $[00],[11],[22],[33]$ sono anche tangenti alla conica polare di $c_{0}$, ed i punti di contatto sono situati rispettivamente nelle rette $a_{0}b_{0},\,a_{1}b_{1},\,a_{2}b_{2},\,a_{3}b_{3}$ (S. Roberts, p. 120).}
18. Samuel Roberts, On the intersections of tangents drawn through two points on a curve of the third degree (Quarterly Journal of pure and applied Mathematics, vol. 3, London 1860, p. 121).¹⁷
19. {Similmente: in ciascuno dei 3 sistemi di coniche tritangenti alla cubica vi sono otto coniche che passano per un punto dato e toccano una retta data, e ve ne sono sedici che toccano due rette date.}
20. Steiner, Geometrische Lehrsätze (Giornale di Crelle, t. 32, Berlino 1846, p. 132).
21. Hesse, Ueber Curven dritter Ordnung u. s. w. p. 165-175.
    Oltre alle Memorie citate in questo e nel precedente articolo veggansi le seguenti:
    • Möbius, Ueber die Grundformen der Linien der dritten Ordnung (Abhandlungen der K. Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften, 1. Bd, Leipzig 1849, p. 40).
    • Bellavitis, Sulla classificazione delle curve del terz’ordine (Memorie della Società Italiana delle scienze, t. 25, parte 2, Modena 1851, p. 33). — Sposizione dei nuovi metodi di geometria analitica (Memorie dell’Istituto Veneto, vol. 8, Venezia 1860, p. 342).