Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/L'Hessiana e la Cayleyana di una curva del terz'ordine

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Art. 22. L'Hessiana e la Cayleyana di una curva del terz'ordine

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Art. 22. L'Hessiana e la Cayleyana di una curva del terz'ordine
Proprietà delle seconde polari Fascio di curve del terz'ordine aventi i medesimi flessi

[p. 436 modifica]130. Applichiamo le teorie generali precedentemente esposte al caso che la curva fondamentale sia del terz'ordine, vale a dire una cubica , che supporremo priva di punti multipli; ond'essa sarà della sesta classe (70) ed avrà nove flessi (100).

(a) Un punto qualunque è polo di una conica polare e di una retta polare (68). Per due punti presi ad arbitrio passa una sola conica polare (77, a). Tutte le coniche polari passanti per un punto hanno altri tre punti comuni, e i loro poli giacciono in una retta, che è la polare di ciascuno di quei quattro punti .

Una retta ha dunque quattro poli; essi sono i vertici del quadrangolo inscritto nelle coniche polari dei punti della retta.

Tutte le rette passanti per uno stesso punto hanno i loro poli in una conica, la quale è la conica polare del punto (69, a).

(b) La retta polare di un punto rispetto alla conica polare di un altro punto coincide colla retta polare di rispetto alla conica polare di (69, c). Ond'è che, se da si conducono le tangenti alla conica polare di , e da le tangenti alla conica polare di , i quattro punti di contatto giacciono in una sola retta: la seconda polare mista de' punti (123).1

(c) Da un punto qualunque del piano si possono, in generale, condurre sei tangenti [p. 437 modifica]alla cubica data, poiché questa è una curva della sesta classe. I sei punti di contatto giaccono tutti nella conica polare del punto .

(d) Ma se è un punto della cubica, questa è ivi toccata sì dalla retta polare che dalla conica polare del punto medesimo. In questo caso, da partono sole quattro rette, tangenti alla cubica in altri punti. Ed i punti di contatto sono le quattro intersezioni di questa curva colla conica polare di (71).

131. Sia un punto della cubica, la quale intersechi la conica polare del medesimo (oltre al toccarla in ) in : onde le rette saranno tangenti alla cubica rispettivamente in (130, d).

Una tangente è incontrata dalla tangente infinitamente vicina nel suo punto di contatto (30); quindi, se è il punto della cubica successivo ad , le quattro rette saranno le quattro tangenti che si possono condurre da . Siccome poi la conica polare di tocca la cubica in e la sega in , così i sei punti giacciono tutti in essa conica, epperò i due fasci , hanno lo stesso rapporto anarmonico (62). Ciò significa che il rapporto anarmonico delle quattro tangenti condotte alla cubica da un suo punto non cambia passando al punto successivo; ossia:

Il rapporto anarmonico del fascio di quattro tangenti, che si possono condurre ad una cubica da un suo punto qualunque, è costante.2 [91]

(a) Di qui si ricava che, se , sono i due fasci di tangenti relativi a due punti qualisivogliano della cubica, i quattro punti in cui le tangenti del primo fascio segano le corrispondenti del secondo giacciono in una conica passante per (62). La corrispondenza delle tangenti ne' due fasci può essere stabilita in quattro maniere diverse, perchè il rapporto anarmonico del fascio è identico (1) a quello di ciascuno de'tre fasci , , ; dunque i sedici punti ne' quali le quattro tangenti condotte per intersecano le quattro tangenti condotte per giacciono in quattro coniche passanti per .

(b) Il rapporto anarmonico costante delle quattro tangenti, che arrivano ad una cubica da un suo punto qualunque, può essere chiamato rapporto anarmonico della cubica.

Una cubica dicesi armonica quando il suo rapporto anarmonico è l'unità negativa, cioè quando le quattro tangenti condotte da un punto qualunque della curva formano un fascio armonico.

Una cubica si dirà equianarmonica quando il suo rapporto anarmonico sia una radice [p. 438 modifica]cubica imaginaria dell'unità negativa, cioè quando le quattro tangenti condotte da un punto della curva abbiano i tre rapporti anarmonici fondamentali eguali fra loro (27).

132. Se la conica polare di un punto è un pajo di rette che si seghino in , viceversa la conica polare di è un pajo di rette incrociate in (78). Dunque il luogo de' punti doppi delle coniche polari risolventisi in paja di rette è anche il luogo de' loro poli, cioè la Steineriana e l'Hessiana sono una sola e medesima curva del terz'ordine (88, 90).

(a) Inoltre, siccome la retta tiene il luogo di due rette congiungenti due punti dell'Hessiana ai corrispondenti punti della Steineriana, così l'inviluppo di , che secondo il teorema generale (98, b) sarebbe della sesta classe, si ridurrà qui alla terza classe3.

(b) I punti sono poli coniugati rispetto ad una qualunque delle coniche polari (98, b), le quali costituiscono una rete geometrica del second'ordine. Dunque:

Il luogo delle coppie di poli coniugati relativi ad una rete di coniche è una curva di terz'ordine (l'Hessiana della rete).4.

(c) Nella teoria generale è dimostrato che la Steineriana in un suo punto qualunque è toccata dalla retta polare del corrispondente punto dell'Hessiana (118), e che l'Hessiana è toccata in un suo punto qualunque dalla seconda polare del corrispondente punto della Steineriana (127, a). Nel caso della curva di terz'ordine, queste due proprietà si confondono in una sola, ed è che la tangente all'Hessiana in è la retta polare di ; ossia:

L'Hessiana e l'inviluppo delle rette polari de' suoi punti.

Questo teorema somministra le sei tangenti che arrivano all'Hessiana da un punto arbitrario . Infatti, le rette polari passanti per hanno i loro poli nella conica polare di , la quale incontra l'Hessiana in sei punti; ciascuno di questi ha per retta polare una tangente dell'Hessiana, concorrente in . Naturalmente i punti di contatto di queste sei tangenti giacciono nella conica polare di relativa all'Hessiana.

133. Siano (fig. 8.a pag. 441) due poli coniugati (rispetto alle coniche polari); la conica polare di sarà il sistema di due rette concorrenti in , e la conica polare di sarà formata da due altre rette incrociantisi in . Se le due coniche polari si segano mutuamente in , questi saranno (130, a) i poli della retta , e le rette , il cui punto comune sia , formeranno la conica polare di un punto situato nella retta . Dunque sono due nuovi poli coniugati; ed è il terzo punto d'intersezione dell'Hessiana colla retta . [p. 439 modifica]La retta polare di rispetto alla cubica fondamentale coincide (69, b) colla polare di rispetto alla conica formata dalle due rette ; dunque (132, c) la tangente in all'Hessiana è la retta , coniugata armonica di rispetto alle : proprietà che poteva anche concludersi dal teorema (127, b). Analogamente la tangente all'Hessiana in è . Dunque:

Le tangenti all'Hessiana in due poli coniugati concorrono nel punto di questa curva, che è polo coniugato alla terza intersezione della medesima colla retta .

(a) Due punti di una cubica chiamansi corrispondenti, quando hanno lo stesso tangenziale (39, b), cioè quando le tangenti in essi incontrano la curva in uno stesso punto.

Usando di questa denominazione possiamo dire che due poli coniugati rispetto ad una rete di coniche sono punti corrispondenti dell'Hessiana di questa rete.

(b) Siccome le rette polari di concorrono in , così la conica polare di passerà per e per . Ma è un punto dell'Hessiana; dunque la sua conica polare consta della retta e di una seconda retta passante per . Ossia:

Una retta la quale unisca due poli coniugati , e seghi per conseguenza l'Hessiana in un terzo punto , fa parte della conica polare di quel punto che è polo coniugato ad .

Le rette che costituiscono le coniche polari dei punti dell'Hessiana inviluppano una curva di terza classe (128). Essa coincide adunque coll'inviluppo della retta che unisce due punti corrispondenti dell'Hessiana (132, a).

A questa curva daremo il nome di Cayleyana della cubica data, in onore dell' illustre Cayley, che ne trovò e dimostrò le più interessanti proprietà in una sua elegantissima Memoria analitica5.

(c) Le tangenti che da un punto qualunque dell'Hessiana si possono condurre alla Cayleyana sono la retta che unisce al suo polo coniugato , e le due rette formanti la conica polare di .

(d) Se sono i quattro poli di una retta , le coppie di rette , , costituiscono tre coniche polari, i cui poli giacciono in ; dunque i punti di concorso di quelle tre coppie di rette appartengono all'Hessiana. Ossia:

L'Hessiana è il luogo de' punti diagonali, e la Cayleyana è l'inviluppo dei lati del quadrangolo completo i cui vertici siano i quattro poli di una retta qualunque.

134. Siano due coppie di poli coniugati; il punto comune alle rette ; quello ove si segano le . Allora saranno i sei vertici di un quadrilatero completo; e siccome i termini delle due diagonali sono, per ipotesi, [p. 440 modifica]poli coniugati rispetto a qualsivoglia conica polare, così anche i punti saranno poli coniugati rispetto alla medesima rete di coniche (109). Dunque:

Se sono tre punti dell’Hessiana in linea retta, i tre poli coniugati a quelli formano un triangolo i cui lati passano per .6

Donde si ricava che, dati due poli coniugati ed un altro punto dell’Hessiana, per trovare il polo coniugato , basta tirare le rette che seghino nuovamente questa curva in ; il punto comune alle è il richiesto7.

(a) Le rette condotte da un punto qualunque dell’Hessiana alle coppie di poli coniugati formano un’involuzione (di secondo grado). Infatti: se una retta condotta ad arbitrio per sega l’Hessiana in e , i poli coniugati a questi sono pure in linea retta con ; onde le rette sono così tra loro connesse che l’una determina l’altra in modo unico. Dunque ecc.8

(b) Viceversa, dati sei punti , il luogo di un punto , tale che le coppie di rette , , siano in involuzione, è una curva del terz’ordine, per la quale sono coppie di punti corrispondenti9.

135. Quando due de’ quattro poli (poli congiunti) di una retta coincidano in un solo , questo appartiene all’Hessiana (90, b), e tutte le coniche polari passanti per esso hanno ivi la stessa tangente . Siano (fig. 8.a) gli altri due poli della retta polare di ; cioè siano i punti in cui le rette formanti la conica polare di incontrano quella retta che passa per e forma con la conica polare di (133, b).

Due delle tangenti, che da ponno condursi alla Cayleyana (133, d), coincidono con , e la terza è ; così pure, delle tangenti che da arrivano alla Cayleyana, due coincidono in , e la terza è . Dunque (30) le rette toccano la Cayleyana in .

Ne segue che la Cayleyana è il luogo del poli congiunti ai punti dell’Hessiana (105), cioè: se una retta polare si muove inviluppando l’Hessiana, due poli coincidenti percorrono l’Hessiana medesima, mentre gli altri due poli distinti descrivono la Cayleyana.

(a) Si noti ancora che da un punto qualunque dell’Hessiana partono tre tangenti della Cayleyana; e due di queste si corrispondono fra loro in modo che la retta passante pei loro punti di contatto è pure una tangente della Cayleyana. [p. 441 modifica](b) Quella retta che passa per , e forma con la conica polare di , sega la Cayleyana, non solo in poli congiunti ad , ma eziandio in poli congiunti ad . Siccome poi quella retta è pure una tangente della Cayleyana, così se ne inferisce che questa curva è del sest’ ordine.

Fig.a 8a.

Il che può dimostrarsi anche nel seguente modo. Da un punto partono sei tangenti dell’Hessiana (132, c); ciascuna di queste rette ha due poli coincidenti in un punto dell’Hessiana medesima, dunque gli altri dodici poli giacciono nella Cayleyana. Ma i poli delle rette passanti per sono tutti nella conica polare di , epperò questa sega la Cayleyana in dodici punti; cioè la Cayleyana è una curva del sest’ordine.

(c) Da quanto precede si raccoglie che, se è una tangente della Cayleyana, il punto di contatto è un polo congiunto a quel punto dell’Hessiana che giace in quella retta, senza però che vi giaccia il suo corrispondente . Dunque, se indichiamo [p. 442 modifica]con il punto di contatto della colla Cayleyana, sarà un polo congiunto al punto .

Sia il terzo punto in cui l'Hessiana è segata dalla retta , e sia il polo coniugato a . Quella retta che passa per e forma con la conica polare di segherà nel punto .

Ora, la retta polare di rispetto alla conica polare di passa per , perchè questa conica è un pajo di rette incrociate in . Ma la retta polare di rispetto alla conica polare di coincide (130, b) colla retta polare di rispetto alla conica polare di , cioè rispetto al sistema ; dunque il polo ed i punti , in cui la retta taglia la conica e la retta polare anzidette, formano un sistema armonico (110, a); ossia:

La retta che unisce due poli coniugati è divisa armonicamente dal terzo punto ov'essa incontra l'Hessiana, e dal punto ove tocca la Cayleyana.10

136. L'inviluppo delle rette polari de' punti di una data retta è una conica, che è anche il luogo dei poli delle coniche polari tangenti ad (103), ed anche il luogo dei poli di rispetto alle coniche polari dei punti di medesima (125). Questa conica, che secondo la teoria generale (104) è la seconda polare (pura) di , si chiamerà, nel caso attuale, più brevemente poloconica (pura) della retta .

(a) La conica polare di un punto , oltre all'essere il luogo de' punti le cui rette polari concorrono in , può anche definirsi l'inviluppo delle rette le cui poloconiche passano per (104, g).

(b) Le rette le cui poloconiche hanno un punto doppio son quelle che costituiscono le coniche polari dei punti dell'Hessiana (128), cioè sono le tangenti della Cayleyana.

Consideriamo adunque la retta (fig. 8.a) e ricerchiamone la poloconica, come luogo dei poli delle coniche polari tangenti ad . Siccome fa parte della conica polare di , così questo punto sarà doppio per la poloconica richiesta (128). Osservisi poi che la conica polare di ciascuno de' punti ha due punti coincidenti comuni con ; dunque la poloconica di questa è il pajo di rette .

Vediamo così che l'Hessiana è il luogo de' punti doppi delle poloconiche risolventisi in due rette, ed è anche l'inviluppo di queste rette; mentre la Cayleyana è inviluppata dalle rette a cui si riferiscono quelle poloconiche.11

(c) Il luogo di un punto rispetto alla conica polare del quale due rette siano coniugate, è una conica (la seconda polare mista di , giusta la teoria generale), la quale può chiamarsi la poloconica mista delle rette . Essa è anche il luogo dei [p. 443 modifica]poli di una qualunque di queste rette rispetto alle coniche polari dei punti dell’altra (125, a, b).

(d) La retta polare del punto comune a due rette tocca le poloconiche pure di queste in due punti, che giacciono nella poloconica mista delle rette medesime (125, c).

137. Se una retta incontra l’Hessiana in tre punti , la poloconica di tocca questa curva ne’ poli coniugati a quelli (122, 127). Donde segue che, se è una tangente ordinaria dell’Hessiana, il cui punto di contatto sia ed il punto di semplice intersezione , la poloconica di avrà coll’Hessiana un contatto quadripunto in (polo coniugato ad ) ed un contatto bipunto in (polo coniugato a ). E se tocca l’Hessiana in un flesso , la poloconica di avrà colla curva medesima un contatto sipunto in (127, d).

(a) I sei punti in cui l’Hessiana è toccata dalle poloconiche pure di due rette giacciono nella poloconica mista delle rette medesime (127). Dunque:

Se due rette incontrano l’Hessiana in sei punti, i poli coniugati a questi giacciono in una stessa conica.12

Se pei tre punti in cui l’Hessiana è toccata da una poloconica si fa passare un’altra conica qualsivoglia, questa taglia l’Hessiana in tre nuovi punti, ne’ quali questa curva è toccata da una seconda poloconica.

Abbiamo veduto (136, b) che, se sono due poli coniugati (fig. 8.a), ne’ quali l’Hessiana sia toccata da rette concorrenti in , queste rette costituiscono la poloconica (pura) di . Questa poloconica tocca l’Hessiana in . Dunque questi tre punti ed altri tre analoghi giacciono sempre in una stessa conica.

(b) Le quattro rette che da si ponno condurre a toccare altrove l’Hessiana sono quelle che costituiscono le poloconiche (pure) delle due rette concorrenti in e formanti la conica polare di (136, b). I punti di contatto di quelle quattro rette sono in una conica tangente all’Hessiana in (130, d), e d’altronde i punti di contatto dell’Hessiana colle poloconiche pure di due rette giacciono nella poloconica mista di queste. Dunque:

La conica polare di un punto dell’Hessiana, rispetto all’Hessiana medesima, coincide colla poloconica mista delle due rette che formano la conica polare di , rispetto alla curva fondamentale.

138. Una trasversale condotta ad arbitrio per un polo fisso seghi la cubica fondamentale ne’ punti e la conica polare di in . Nella medesima trasversale si cerchino i due punti determinati dalle due equazioni: [p. 444 modifica]

1)

,

ossia dall’equazione quadratica:
2)

Ma per le relazioni che hanno luogo fra i tre punti ed i loro centri armonici (Art. III.), si ha:

,

,

onde l’equazione 2) potrà scriversi così:
3)

.

Facendo girare la trasversale intorno ad , il luogo de’ punti sarà una curva di second’ordine, che si può chiamare conica satellite del polo 13.

Se i punti coincidono, cioè se la trasversale tocca la cubica in e la sega in , l’equazione 3) manifesta nel primo membro il fattore . Dunque la conica satellite contiene i sei punti in cui la cubica fondamentale è segata dalle tangenti condotte pel polo.

Se i punti coincidono, cioè se la trasversale tocca in la conica polare di , le 1) mostrano che i punti coincidono entrambi in , vale a dire, in questo punto la trasversale tocca anche la conica satellite. Dunque la conica satellite tocca la conica polare ne’ punti in cui questa è incontrata dalla retta polare.

(a) Da quanto or si è detto e dal teorema (39, b) risulta che, se è un punto dell’Hessiana, cioè se la conica polare di è un pajo di rette concorrenti in , anche la conica satellite sarà un pajo di rette concorrenti in questo medesimo punto, e propriamente [p. 445 modifica]il pajo formato dalle rette satelliti di quelle che costituiscono la conica polare di .

Dunque ciascuna delle due rette concorrenti in e facenti parte della conica polare di ha per punto satellite (39, b) il punto . Ossia:

L’Hessiana è il luogo de’ punti satelliti delle rette che toccano la Cayleyana.

(b) Si ottiene un’altra definizione della Cayleyana, osservando che (fig. 8.a) il punto è (133) il tangenziale di (come anche di ) rispetto all’Hessiana; e siccome le rette formano un fascio armonico, così è la retta polare di rispetto alla conica polare di . Dunque la Cayleyana è l’inviluppo della retta seconda polare mista di due punti dell’Hessiana, l’un de’ quali sia il tangenziale dell’altro14.

Note

  1. <Una retta qualunque è la seconda polare mista dei due suoi punti , le cui coniche polari toccano la retta medesima (i punti di contatto sono ). Ciò è una conseguenza della proprietà più generale: la seconda polare mista di due punti è la retta che unisce i poli della retta rispetto alle coniche polari di .>
  2. Salmon, Théorèmes sur les courbes de troisième degré (Giornale di Crelle, t. 42, Berlino 1851, p. 274) — Higher piane curves, p. 151.
  3. Cayley, Mémoire sur les courbes du troisième ordre (Journal de M. Liouville, août 1844, p. 290).
  4. Hesse, Ueber die Wendepuncte u. s. w. p. 105.
  5. A Memoir on curves of the third order (Philosophical Transactions, vol, 147, part 2, London 1857, p. 415-446),
  6. <Il triangolo è coniugato al fascio delle coniche polari dei punti della retta .>
  7. Maclaurin, l. c. p. 242.
  8. <I raggi doppi di questa involuzione sono le tangenti della Cayleyana passanti per e diverse da > [ essendo il polo coniugato di ].
  9. Cayley, Mémoire sur les courbes du troisième ordre, p. 287.
  10. Cayley, A Memoir on curves etc., p. 425.
  11. Cayley, A Memoir on curves etc., p. 432.
  12. Più generalmente, se una conica taglia l’Hessiana in sei punti, i poli coniugati a questi giacciono in un’altra conica (129).
  13. Qual sarebbe l’analoga ricerca per una curva fondamentale di ordine ? Essa dovrebbe condurre ad una curva satellite dell’ordine . Veggasi: Salmon, Higher piane curves, p. 68-69.
  14. Cayley, A Memoir on curves etc. p. 439-442.