De' matematici italiani anteriori all'invenzione della stampa/Appendice/2

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Appendice

II.

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Il Guglielmini scrive che «Lionardo insegna di rilevare l’area d’un triangolo dai suoi tre lati; e fu il primo a proporre e dimostrare questo elegante e profondo teorema, che io chiamo il fondamento della Geodesia più scrupolosa» (Elogio not. yy pag. 176); e grandemente si compiace d’aver fatto restituire «all’Italia una delle gemme più brillanti e preziose della geometria, che è nostra produzione, e che non potrà strapparsi giammai dalla inestimabile corona, che il capo adornando del nostro Lionardo lo fa sedere con [p. 102 modifica]Pitagora fra i primi geometri Euclide ed Apollonio» (Elog. n.° 26 pag. 31). E perchè il Bossut avea creduto di trovare quel teorema nella Geodesia del giovine Erone, dubitando per altro che questi l’avesse involato a qualche celebre suo antecessore, ed il suo parere era stato adottato dal Montucla nella seconda edizione della sua Storia, perciò impiega quattordici facciate a rispondergli, concludendo «che Erone di siffatto teorema non fu plagiario, perciò nella sua Geodesia non v’è di tale Teorema ombra neppure... Se fui lungo, esigeva così l’elogio di Lionardo, a cui il Teorema appartiene.» (nota ecc. pag. 194). Alle quali parole il Guglielmini appone la seguente noterella. «È già impresso il foglio 12, ed il rovescio del 13 presente; quando il celebre sig. Cav. Venturi mi avvisa, che darà in luce un Opuscolo inedito del vecchio Erone, che offre il Teorema colla sua dimostrazione». Parrebbe, a dir vero, che ammonito da tal uomo, qual era il Venturi, avesse dovuto il Guglielmini (se anche mutar non poteva i fogli stampati) modificare alquanto le parole qui sopra trascritte di quella sua medesima pagina dove aggiunse la noterella; perchè il nome di Lionardo non abbisogna, che per regalargli il merito d’una invenzione non sua, il suo lodatore diventi ingiusto verso altri, e non tenga conto di fatti a lui resi noti.

Non tardò molto il Venturi a mantenere la sua parola; ed in Bologna nel 1814, per le stampe de’ Fratelli Masi e C. tipografi dell’Istituto, nel Tomo Primo (che sgraziatamente rimase Unico) de’ Commentarj sopra la storia e le teorie dell’Ottica, il Cav. Venturi pubblicò il Trattato del Traguadro di Erone il Meccanico, da lui tradotto ed illustrato. Ivi al n. xxx (pag. 123) si trova il Teorema desiderato dal Guglielmini, [p. 103 modifica]che io chiamerei Problema: Dati i lati di un triangolo trovarne l’area... Sia proposto di misurare l’area senza saperne il cateto.


Nella illustrazione apposta alla dimostrazione d’Erone dal Venturi, questi cita due Codici della Biblioteca di Berna, scritti l’uno nel 1004, l’altro circa un secolo prima, diversi fra loro e contenenti la Geometria di Boezio stravolta ed interpolata con frammenti presi d’altronde. Uno di que’ frammenti, che il Venturi congettura essere lavoro d’alcuno de’ Gromatici romani, contiene fra altre pratiche operazioni anche la seguente: Omne trigonum una ratione podismare, ut puta orthogonium, oxigonium et ambligonium. Sic quaeritur. Cujuslibet ex tribus triangulis tres numeros jungo in unum; ut puta orthogonium, cujus numeri dantur, cathetus quidem pedes sex, basis ped. VIII, hypotenusa ped. X. Hos tres numeros jungo, fiunt XXIV. Hujus semper sumo dimidium, idest XII. Hoc sepono; et de hoc numero idest de XII tollo singulos numeros... pono sub XII. Item basim ped. VIII tollo de XII, reliquum pono sub VI. Hypotenusam ped. X tollo de XII, relinquuntur pono sub IV. Deinde multiplico VI per IV, fiunt XXIV; hoc duco bis, fiunt XLVIII; hoc duco per XII, fiunt DLXXVI Hujus sumo latus idest XXIV; erit embadum.

«Oserei asserire (dice il Venturi) che Boezio ha preso dai fragmenti sopracitati molte delle operazioni di pratica ch’ei riferisce, traducendole nel suo stile degenere dalla purezza e semplicità degli Antichi.» E poi quasi all’intento di confutare del tutto il Guglielmini, il quale non all’Antico ma al giovine Erone avea negato ogni conoscenza di questo Teorema, e avea scritto non doverlo aver letto nè il Bossut nè il Montucla, prosegue il Venturi annoverando le tre Geodesie che vanno col nome di Erone giuniore, e dice: [p. 104 modifica]« La prima delle Geodesie suddette non contiene il Problema nostro: bensì lo hanno le due altre, ma senza dimostrazione, secondo l’uso del loro autore. E può ognuno leggerlo, tradotto come sopra dal Valla, (nel libr. XIV de expetendis et fugiendis rebus) cogli stessi numeri 13, 14, 15, che abbiam veduto recati in esempio da Erone l’antico; del quale il juniore teneva l’Opera sul Traguardo alle mani » (pag. 125, 126).

Il rimanente della illustrazione del Venturi, opportunissimo al suo intento di dare qualche notizia circa la storia di questo Problema divenuto celebre fra le curiosità geometriche, trattenendosi ne’ secoli anteriori a fra Luca Pacioli, perciò dal tempo di questo in poi ne avea parlato il Klügel nel Dizionario matematico, non fa al caso mio che è soltanto di mettere in mostra un pregio di Gerberto. E pregio non piccolo mi sembra che egli, almeno in parte abbia sciolto questo problema medesimo; sia che unicamente il facesse per forza dell’ingegno suo, sia che trovandolo in altri abbia soltanto il merito d’averne apprezzato il valore, e d’averlo inserito nella sua Geometria. Recherò qui le sue parole; ma, perciò meglio si comprendano, giova premettere l’esempio pratico dato da Erone del suo problema. Chiamando AB, BG, GA i tre lati d’un triangolo, « sia AB = 13; BG = 14; GA = 15. La loro semisomma verrà = 21. Sottraggone 13, resta 8; poi 14, resta 7; poi 15, resta 6. Moltiplicando fra loro 21 X 8 X 7 X 6, nasce 7056; di cui la radice 84 a sarà l’area del triangolo. » (Venturi l.c. pag. 124).

Ecco ora le parole di Gerberto nel cap. 46 della sua Geometria. Si quaeratur trigoni orthogonii embadum, trium linearum, idest Catheti, et basis, atque hypotenusae numeri in unum redigantur, ut pota 6, 8, 10. Non hi juncti 24 reddunt. Medietas hinc sumatur. Ex [p. 105 modifica]his basis seducatur, idest 8, quod remanet scilicet quatuor per Cathetum, idest 6, multiplicetur: illud quodque multiplicetur, et fient 48; quibus per quartam sui multiplicatis illius summae latus habeatur pro embado.

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In ampligoniis autem vel oxygoniis jam dicta regula habet consequentiam, nec etiam in orthogoniis, nisi in illis, quos sesquitertia vel sesquiquarta regit proportio. In aliis autem vel orthogoniis sufficiat regula universalis, scilicet per cathetum basim ducere, ejus medium pro embado tenere....

Dalle quali parole (non ostante l’errore corso o allo stampatore, o più probabilmente all’amanuense del Codice onde fu tratta l’opera di Gerberto) vedesi chiaro non aver esso generalizzato, come Erone, il problema. Ma per altro una maggiore generalità si può ricavare dalle sue dottrine, perchè insegnando egli a dedurre da un computo sopra i lati di varie specie di triangoli la lunghezza del cateto, o perpendicolare, torna applicabile la regola universale, che Erone nel suo problema volle non applicare, supponendo non cognito il cateto.

Si noti la coincidenza, che non pare fortuita, fra i numeri del caso proposto e risoluto da Gerberto, e quello che mss. Bernese riportato dal Venturi; e non essendo chiaro da quale dei due Codici abbia levato quel tratto il Venturi, rimanga pure incerto se chi raffazzonò il Boezio del 1004 abbia preso da Gerberto, o questi siasi valso di ciò che trovò nell’altro più antico ovvero altrove.

— Era già compita questa nota quando è giunto a Modena, e mi è venuto alle mani il T.XIX, stampato a Parigi [p. 106 modifica]nel 1858, delle Notices et extracts des Manuscrits de la Bibliothèque Impériale et autres bibliothèques publiés par l’Istitut Impérial de France. In questo volume a pag. 157 e seg. sono pubblicati da M. J. H. Vincent parecchi estratti di Manoscritti relativi alla Geometria pratica de’ Greci, e fra questi per la prima volta il testo inedito di Erone περι διοπτρας con le annotazioni del Venturi, ed altre aggiunte del dotto editore. Alla nota sovraccennata del Venturi apposta al problema xxx d’Erone, M. Vincent aggiunge il rimando all’opera di M. Chasles Aperçus historiques sur l’origine et le développement des methodes en géometrie, pag. 431 e seg. e al Tomo v de’ Nouvelles annales de Mathématiques redigées par MM. Terquem et Gerono pag. 557, ove trovasi la traduzione della parte geometrica dell’Algebra d’Abou Abdallah Mohammed ben Moussa (al Kowarezmi) con introduzione e note di M. Aristide Marre. E di queste reca un tratto, del quale, all’uopo mio, giova e basta addurne la parte che segue: «Les nombres 13, 14, 15, sont très-remarquables en ce qu’ ils sont ceux choisis à plusieurs siècles d’intervalle, non seulement par les Hindous, mais aussi par Héron d’Alexandrie, Héron le Jeune, les trois fils de Moussa ben Shaker, Leonarde de Pisa, Jordan, Lucas de Burgo, Georges Valla, Tartalea etc. L’usage général de ces trois nombres semblait dire qu’ils avaient une origine commune: mais M. Chasles, en y réfléchissant davantage ne tarda pas à reconnaître que ces nombres n’ offraient probablement pas les secours historiques qu’ il avait espérés d’abord. En effet, on aura cherché naturellement pour les trois còtés du triangle á proposer en exemple, trois nombres pour lesquels l’aire de ce triangle, et conséquemment la hauteur, fussent exprimés en nombres rationnels....» (pag. 293). [p. 107 modifica]Intorno alla distinzione de’ varii autori di nome Erone si consulti l’Introduzione di M. Vincent (ivi pag. 161 e seg.) «Suivant moi (così conclude) il a dû exister, sous le nom d’Héron, et cela dès une époque trèsélévée, une vaste composition qui, servant de texte pour l’ensígnement des écoles, s’est transmise, de siècle en siècle, en subissant des modifications suceessives, des additions, des mutilations, des interpolations.... Chaque professeur rédigeait à sa maniére et dictait son Héron. Dès lors, que nous trouvions Héron cité dans un ouvrage qui porte son nom, il n’y a rien là d’étonnant: c’est, je le répéte, identiquement ce qui s’est pratiqué à l’égard d’Euclide dans tout le moyen âge, lorsque l’ensígnement de la geométrie appliquée eut fait place, dans les écoles, à celui de la géométrie purement abstraite; et c’est ce qui se pratique encore aujourd’hui. Au lieu de dire Héron le Jeune, il fallait dire le nouvel Héron, comme nous disons le nouveau Baréme» (pag. 163).

M. Vincent in un Supplemento aggiunge un confronto de’ metodi de’ geometri greci co’ procedimenti de’ latini estraendo dal MS. 7377 C (ancien fonds) della Biblioteca Imperiale alcune soluzioni che vi si trovano. E dice: «Celles qui proviennent des folios 30-32 sont absolument anonymes. Quant à celles qui se trouvent aux folios 35-38, il pourrait résulter d’une note que l’on trouve au folio 34 que ces solutions seraient dues à Gerbert. Mais d’une part, cette note est d’une main plus moderne que le manuscrit; et ensuite il n’est pas sûr qu’elle soit applicable aux folios qui suivent le 34» (pag. 416).

Siccome fra questi estratti pubblicati da M. Vincent vi si trova quello che insegna a misurare le altezze per speculum aut per concham plenam aquae, di che ho parlato nella nota 18, accennando trovarsi nella Geometria [p. 108 modifica]di Gerberto, ho creduto bene di confrontare coll’opera di questo tutti gli estratti del MS. 7377 C pubblicati da M. Vincent. E avendo così veduto che questo in realtà è in gran parte copiato, e quasi per tutto il rimanente desunto, sebbene non alla lettera, dalla Geometria di Gerberto, ho stimato bene di porre qui in uno specchietto di confronto la corrispondenza fra il MS. Parigino, e il Codice edito dal P. Pez nel Tomo iii parte ii del suo Thesaurus Anecdotorum.

La lezione del MS. di Parigi migliora in alcuni luoghi, e in altri guasta quella dello stampato: e non potrebbe essere trascurata da chi volesse curare una nuova edizione della Geometria di Gerberto col riscontro dei Codici.

Ecco adunque il confronto sovraccennato.

MS. PARIGINO
GERBERTI GEOMETRIA
1 fol. 30 r.° Geometricas tractanti diversitates etc. Cap. xiv.
2 ibid. Ad altitudinem inaccessibilem nobis altioribus ut metiatur etc. Cap. xxxii.
3 fol. 36 vad altitudinem cum arundine metiendam.
Componitur instrumentum etc.
Cap. xxiv in med. Componitur etiam aliud instrumentum etc.
4 ibid. Est aliud ortogonium etc. Cap. xxx.
5 ibid. Est etiam alia altitudinis metiendae regula etc.
6 fol. 36 r.° Componatur a geometra ortogonium naturalibus proportionibus catheti, basis [et] hypothenosae compaginatum....
ex cap. xxxi. Est etiam aliud aestimandae altitudinis orthogonium, quod ab inventore denominative nuncupatur Pythagoricum, naturalibus catheti, basis, hypothenusae compaginatum....
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7 fol. 31 r.° Si per speculum aut per concham plenam aquae quaeris scire altitudines montium vel turrium etc. Cap. xxxvii.
8 fol. 33 vAd altitudinem cum aqua vel speculo metiendam. Posito [signo] in speculi centro vel in media scutella plena aquae, constituantur etc. Cap. xxiii.
Ad altitudinem cum speculo vel pelvi metiendam.
Posito in speculo centro vel in media scutella plena aqua constituatur etc.
9 fol. 31 v.° Stabiliatur harundo aequipartita metienti in termine epiphaniae...
Cap. xxv. Stabiliatur arundo visui aequiperata metientis in termine epiphaniae..
10 fol. 36 v.° Ad planitiem cum harundine inveniendam.
Stans mensor in metiendae planitiei extremitate....
Cap. xxviii.
11 fol. 38 r.° Si queris scire latitudinem fluvii vel alicujus campi vel curtis aut alicujus rei.... Cap. XXXVIII.
12 ibid. Si queris aliter scire.... Cap. xxxix.
13 fol. 37 vMensura putei.
Prius a geometra diligenter perpendatur quatinus circumductio putei circularis inquiratur. Qua inventa, stans mensor etc.
Cap. xxix. Ad mensurandum puteum.
Ut in superiori figura putei dictum est, primo a geometra diligenter perpendatur, quatenus circumductio putei circularis habeatur: deinde cujus quantitatis sit diametrum, inquiratur. Quo invento, stans mensor etc.

Delle tredici soluzioni pubblicate come anonime dal dotto Accademico francese, dodici sono tolte dall’opera di Gerberto. Una sola è talmente modificata che non si potrebbe dire essere della medesima provenienza. Ma nel copiare libri di scienza nel medio evo i copiatori [p. 110 modifica]facevano appunto come M. Vincent ha osservato essere fatto di Euclide e di Erone. E bene potrebbe anche quella duodecima soluzione essere desunta dallo scritto di Gerberto. Eccole per intero ed a riscontro.

MS. PARIGINO


Fol. 36 v. Est etiam alia altitudinis metiendae ratio qua cum umbra ipsius attitudinis ipsa altitudo mensuratur. Quam tametsi ita notam putamus ut expositione carere estimemus, tamen aliquid inde dicendum est.

In altitudinis umbrae summitate alicujus mensurae virga ponatur; et virgae umbra sibi comparetur. Et quali comparatione virgae umbra confertur ad virgam, tali altitudinis umbra ad altitudinem. Quod ut planius sit, ejus figura demonstrat.

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GERBERTI CAP. XXIV.


Quaecumque res posita fuerit sub divo, umbram emittit, sed non sibi semper aequalem. Quapropter umbrae ipsius quotam partem volueris, eligas. Deinde virgulam coaequalem huic parti in terra statuas, et umbram exinde cadentem seu per pedes, seu per palmos, seu per uncias dividas. Si major inventa fuerit umbra quam virgula, quantam umbra virgulam superat, tantum a singulis, quarum mensuram virgula habet, subtrahas. Si autem minor est umbra, quantum virga superat, tantum praedictis partibus adjicias. Quidquid autem in umbra vel augmentatione creverit, vel subtractione remanserit, pro mensura illius rei habeto.

Veratti Appendice Triangolo 3.jpg

In tutte le altre soluzioni e nelle figure ad esse unite havvi non solo simiglianza, ma identità; nè altra differenza vi si trova se non che sono in un Ms. disegnate verso la destra del lettore, le figure che nell’altro si presentano volte alla sinistra: del resto non son nemmeno diverse le lettere appostevi.