La geometria non-euclidea/Capitolo III/Francesco Adolfo Taurinus (1794-I874)
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FRANCESCO ADOLFO Taurinus [1794-1874].
§ 36. Oltre essersi occupato personalmente delle parallele, Schweikart indusse [1820] il nipote Taurinus a dedicarvisi, richiamando la di lui attenzione sulla geometria astrale e sul favorevole giudizio di Gauss.
Solo nel 1824 pare che Taurinus si occupasse seriamente della cosa, ma non certo con le vedute dello zio. Egli era e fu sempre persuaso della verità assoluta del V postulato e nutrì la speranza di poterlo dimostrare. Fallito nei primi tentativi e sotto l'influenza di Schweikart e Gauss, riprese lo studio della questione. Nel 1825 pubblicò una «Theorie der Parallellinien.», contenente sviluppi non euclidei, il rigetto dell'ip. ang. ottuso e ricerche simili a quelle di Saccheri e Lambert, nell'ip. ang. acuto. Ritrovò così la costante di Schweikart, che chiamò parametro, e, incapace di rappresentarsi lo spazio come un concetto suscettibile di varie determinazioni, concluse che dovrebbero contemporaneamente valere tutti i sistemi corrispondenti agli infiniti valori assegnati al parametro. Questo modo di interpretare il significato del parametro condusse Taurinus a rigettare anche l'ip. ang. acuto, pur riconoscendo la compatibilità logica delle proposizioni che da essa conseguono.
Nell'anno successivo Taurinus pubblicò i suoi «Geometriae prima elementa.» [Colonia, 1826] ove riespose migliorate le ricerche del 1825. Lo scritto è poi chiuso da una importantissima appendice, in cui l'autore mostra come si possa effettivamente costruire un sistema geometrico [analitico] corrispondente all'ip. ang. acuto1.
Allo scopo Taurinus parte dalla formula fondamentale della trigonometria sferica:
[vedi formula 68.png]
e vi muta il raggio reale k nel raggio immaginario ik [dove i = radice di (-1)]. La formula ottenuta da Taurinus può scriversi, mediante l'uso delle funzioni iperboliche2, nella seguente forma:
[vedi formula 68_b.png]
Questa è la formula fondamentale della geometria logaritmico-sferica [«logarithmisch-sphärischen Geometrie»] di Taurinus.
È facile dimostrare che nella geometria log.-sferica la somma degli angoli d'un triangolo è minore di 180°. Riferiamoci per semplicità al triangolo equilatero, ponendo nella (1) a = b = c. Risolvendo poi rispetto a cos alfa, avremo:
[vedi formula 70_a.png]
Ma:
[vedi formula 70_b.png]
quindi:
[vedi formula 70_c.png]
Questa frazione evidentemente e maggiore di ½, perciò sarà alfa < 60°, quindi la somma degli angoli del triangolo minore di 180°.
Inoltre è opportuno notare che:
[vedi formula 70_d.png]
vale a dire: il limite di alfa, per a tendente a zero, è 60°. Perciò nella geometria log.-sferica la somma degli angoli di un triangolo tende a 180° quando i lati tendono a zero.
Sulla (*) possiamo fare anche la seguente osservazione:
[vedi formula 70_e.png]
ovvero: per k tendente all'infinito alfa tende a 60°. Cioè: se si suppone la costante k infinitamente grande, l'angolo del triangolo equilatero è di 60°, come nell'ordinaria geometria.
Più generalmente si potrebbe vedere che la (1), per k = infinito, diventa:
a2 = b2 + c2 – 2bc cos alfa,
cioè la formula fondamentale della trigonometria piana euclidea. Questo risultato può utilmente riavvicinarsi alle affermazioni di Gauss e Schweikart.
§ 37. La seconda formula fondamentale della trigonometria sferica:
a
cos alfa = – cos beta cos gamma + sen beta sen gamma cos -
k
col semplice mutamento del coseno circolare nel coseno iperbolico, diventa la seconda formula fondamentale della geometria log.-sferica:
a (2) cos alfa = – cos beta cos gamma + sen beta sen gamma Ch —.
k
Per alfa = 0 e beta = 90° si ricava:
a 1
(3) Ch - = --------
k sen beta
Il triangolo corrispondente a questa formula 
ha un angolo nullo e i due lati che lo comprendono di lunghezza infinita e paralleli [asintotici]. L'angolo beta, compreso fra il lato parallelo ed il lato perpendicolare a CA, come risulta dalla (3), è funzione di a: potremo fin d'ora chiamarlo angolo di parallelismo corrispondente alla distanza a [cfr. Lobacefski, p. 78].
Per beta = 45° il segmento BC, la cui lunghezza è calcola bile mediante la (3), è la costante di Schweikart [cfr. § 35] Denotando con P tale costante, avremo:
[vedi formula 72_a.png]
da cui, risolvendo rispetto a k:
[vedi formula 72_b.png]
Questa relazione, che lega le due costanti k e P, fu dedotta da Taurinus. La costante k è quella stessa usata da Gauss [cfr. § 34] per esprimere la lunghezza della circonferenza.
§ 38. Sempre trasformando le formule della trigonometria sferica, mutando il raggio reale nel raggio immaginario, Taurinus dedusse altri importanti teoremi della geometria log.sferica, ad es., che l'area d'un triangolo è proporzionale alla sua deficienza [Lambert, p. 40], che il limite superiore dell'area in discorso è:
[vedi formula 72_c.png] [Gauss, p. 67],
che la lunghezza della circonferenza di raggio r è:
[vedi formula 72_d.png] [Gauss, p. 64],
che l'area del cerchio è data da:
[vedi formula 72_e.png]
che l'area della superficie sferica ed il volume della sfera sono dati rispettivamente da:
[vedi formula 72_f.png]
Non ci tratterremo sui relativi sviluppi analitici perchè nulla si aggiungerebbe per illuminare il metodo. Notiamo piuttosto che i risultati di Taurinus confermano la previsione di Lambert circa la sua terza ipotesi [cfr. § 20], imperocchè le formule della geometria log.-sferica, analiticamente interpretate, danno le relazioni fondamentali fra gli elementi d'un triangolo tracciato sopra una sfera di raggio immaginario3.
Aggiungeremo che Taurinus riconobbe, come Lambert, che la geometria sferica corrisponde pienamente al sistema valido nell'ip. ang. ottuso; inoltre che l'ordinaria geometria forma un anello di congiunzione fra la geometria sferica e la geometria log.-sferica.
Infatti, se il raggio k varia con continuità dal campo reale al campo puramente immaginario, attraverso l'infinito, si passa dal sistema sferico al sistema log.-sferico, attraverso quello d' Euclide.
Benchè Taurinus, come già si disse, escluda la possibilità d'una geometria log.-sferica valida sul piano, non disconosce l'interesse teorico ch'essa può offrire, e, richiamando sulle sue formule l'attenzione dei geometri, sembra prevedere l'esistenza di qualche caso concreto, in cui trovino una interpretazione4.
- ↑ Per quanto riguarda l'eventuale influenza di Saccheri e Lambert su Taurinus cfr. le «Congetture» di Segre, citate a nella nota 41.
- ↑ Per comodità del lettore rammentiamo la definizione analitica e le proprietà principali delle funzioni iperboliche. [vedi formula 69_a.png] Notando poi che le funzioni circolari sen x, cos x, tg x ...., sono suscettibili anch'esse d'una definizione analitica, e precisamente che: [vedi formula 69_b.png] è facile vedere che le funzioni circolari e le funzioni iperboliche sono legate dalle seguenti relazioni: (III) i Sh x = sen (ix) ; i Th x = tg (ix) Ch x = cos (ix) ; – i Cth x = ctg (ix). Queste ultime permettono di trasformare le formule fondamentali della goniometria, nelle corrispondenti formule per le funzioni iperboliche. Le quali sono le seguenti: (IV) Ch2 x – Sh2 x = 1 Sh (x ± y) = Sh x Ch y ± Sh y Ch x Ch (x ± y) = Ch x Ch y ± Sh x Sh y
- ↑ A questo punto conviene notare che Lambert, contemporaneamente alle ricerche sulle parallele, si è occupato delle funzioni trigonometriche con argomento immaginario, il cui legame con la geometria non-euclidea è messo in evidenza da Taurinus. Potrebbe darsi che Lambert avesse riconosciuto che le formule della trigonometria sferica conservano una forma reale anche mutando in esse il raggio reale nel raggio immaginario puro. Con ciò la previsione di Lambert, relativa all'ip. ang. acuto [cfr. § 21], avrebbe un fondamento indiscutibile. Nulla però ci autorizza a credere che Lambert abbia effettivamente riavvicinato le sue ricerche sulle funzioni trigonometriche alla teoria delle parallele — cfr. P. Stäckel: «Bemerkungen zu Lamberts Theorie der Parallellinien.» — Bibliotheca Math, p. 107-110 [1899].
- ↑ L'importanza di Schweikart e Taurinus, nella scoperta della geometria non-euclidea, fu rilevata e messa in luce dai SS. Stäckel ed Engel, che nella «Th. der P.» dedicarono loro un intero capitolo [p. 237-286], riportando i passi più importanti delle opere di Taurinus e alcune lettere fra questi, Gauss e Schweikart. Vedi pure l'articolo di Stäckel, su «Franz Adolph Taurinus», Abhandlungen Z. Gheschichte d. Math., t. IX, p. 397-427 [1899].