La geometria non-euclidea/Capitolo IV/La trigonometria assoluta

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La trigonometria assoluta

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Capitolo IV - Giovanni Bolyai (1802-1860) Capitolo IV - Ipotesi equivalenti al postulato euclideo

[p. 105 modifica] LA TRIGONOMETRIA ASSOLUTA

§ 56. Benchè le formule della trigonometria non-euclidea contengano, come caso limite, le ordinarie relazioni fra lati ed angoli di un triangolo [cfr. § 36], tuttavia esse non rientrano in quella che GIOVANNI Bolyai chiamava geometria assoluta. Invero, dette formule non si applicano senz'altro ai due tipi di geometria e furono dedotte supponendo la validità dell'ip. ang. acuto. Relazioni applicabili senz'altro al caso euclideo ed al caso non-euclideo furono da noi incontrate al § 49 e costituiscono il teorema di Bolyai. Esse sono tre, di cui due soltanto indipendenti, e ci forniscono così un primo gruppo di formule della trigonometria assoluta.

Altre formule di trigonometria assoluta furono date nel 1870 dal geometra belga M. De Tilly, nei suoi «Études de Mécanique abstraite.»1.

Le formule di De Tilly si riferiscono ai triangoli rettangoli e furono dedotte mediante considerazioni cinematiche, che utilizzano soltanto quelle proprietà di una regione limitata di piano, che sono indipendenti dal valore della somma degli angoli del triangolo.

Oltre la funzione [vedi simbolo 93.png], che già s'incontra nelle formule di Bolyai, in quelle di De Tilly compare un'altra funzione Ex, definita nel modo seguente. Sia r una retta, l la linea equidistante da r del segmento x. Poichè gli archi di l sono proporzionali alle rispettive proiezioni su r è chiaro che il rapporto fra un arco [rettificato] di l e la sua proiezione [p. 106 modifica]non dipenderà dalla lunghezza dell'arco, ma soltanto dalla distanza x. La funzione che esprime questo rapporto è la funzione Ex introdotta da De Tilly.

Ciò posto ecco le formule della trigonometria assoluta, che si riferiscono al triangolo ABC.

[vedi formula 101_a.png]

(3) Ec = Ea. Eb


Il gruppo (1) è il teorema di Bolyai nel triangolo rettangolo. Tutte le formule della trigonometria assoluta si deducono combinando opportunamente questi tre gruppi. In particolare, nel triangolo rettangolo si ottiene; [vedi formula 106_b.png]

Questa può considerarsi come l'espressione del teorema di PITAGORA nella geometria assoluta2.


§ 57. Vediamo ora come dalle relazioni del § precedente possano dedursi quelle della geometria euclidea e della non-euclidea.

Caso euclideo. — L'equidistante l è una retta [quindi Ex = 1], le circonferenze sono proporzionali ai raggi. Allora le (1) diventano:


(1') a = c sen alfa b = c sen beta; [p. 107 modifica]


le (2) danno: cos alfa = sen beta, cos beta = sen alfa, cioè: (2') alfa+ beta = 90°; infine la (3) si riduce a una identità.

Le (1'), (2') comprendono tutta l'ordinaria trigonometria.

Caso non-euclideo. - Combinando fra loro le (1) e le (2) si ottiene:


[vedi formula 107_a.png]


Se poi applichiamo la 1a delle (2) ad un triangolo rettangolo col vertice A tendente all'infinito, e quindi alfa tendente a zero, avremo:


lim cos alfa = lim (Ea. sen beta)

Ma Ea è indipendente da alfa; l'angolo beta, al limite, diventa l'angolo di parallelismo corrispondente ad a, cioè pi greco(a). Avremo dunque:


1 Ea = ————————


sen alfa(a)


Altrettanto dicasi per Eb. Sostituendo nella (5) otteniamo:


[vedi formula 107_b.png]

da cui:

[vedi formula 107_c.png]


Questa relazione, insieme alla espressione di Ex, ci permette senz'altro di ottenere dalle (1), (2), (3) le formule della trigonometria di Lobacefski-Bolyai.


(1){ ctg pi greco(a) = ctg pi greco(c). sen alfa ctg pi greco(b) = ctg pi greco(c). sen beta


(2){ sen alfa = cos beta . sen pi greco(b) sen beta = cos alfa [p. 108 modifica]. sen pi graco(a)


(3") sen pi greco(c) = sen pi greco(a) . sen pi greco(b)


Queste relazioni, cui soddisfano gli elementi di ogni triangolo rettangolo, sono nella forma loro data da Lobacefski3. Se in luogo degli angoli di parallelismo pi greco(a), pi greco(b), pi greco(c) si volessero introdurre delle funzioni dirette dei lati, basterebbe ricordare [§. 41] che:


[vedi formula 108.png]


ed esprimere le funzioni circolari di pi greco(x) con funzioni iperboliche di x. Si otterrebbero allora le precedenti relazioni sotto la nuova forma:

(1"') Sh a/k = Sh c/k sen alfa. Sh b/k = Sh c/k sen beta.

(2) cos alfa = sen beta Ch a/k. Cos beta= sen alfa Ch b/k.

(3"') Ch c/k = Ch a/k Ch b/k.


§ 58. Una osservazione importantissima sulla trigonometria assoluta è questa. Interpretando gli elementi delle sue formule come elementi di un triangolo sferico, essa porge un sistema di relazioni valide anche pei triangoli sferici.

La ragione di questa proprietà della trigonometria assoluta risiede nel fatto, già notato a § 56, ch'essa fu dedotta [p. 109 modifica]utilizzando solo le relazioni pertinenti a regioni limitate di piano, che non dipendono dalle ipotesi sulla somma degli angoli di un triangolo e perciò valide anche sulla sfera.


Chi volesse ottenere direttamente il risultato potrebbe osservare:

1°) che in geometria sferica le circonferenze sono proporzionali ai seni dei raggi [sferici], per la qual cosa la prima formula dei triangoli sferici rettangoli:


sen a = sen c sen alfa,


si trasforma immediatamente nella 1° delle (1);

2°) che un cerchio di raggio sferico ½ pi greco – b può considerarsi come una linea equidistante dal cerchio massimo concentrico e che il rapporto Eb fra questi due cerchi è dato da:

[vedi formula 109.png]

per cui le formule dei triangoli sferici rettangoli:


cos alfa = sen beta cos a, cos c = cos a cos b,


si trasformano immediatamente nelle (2) e (3).

Concludendo: Le formule della trigonometria assoluta sono valide anche sulla sfera.

  1. Mémoires couronnés et autres Mémoires, della Reale Accademia del Belgio, t. XXI [1870]. Vedi anche, dello stesso autore «Essai sur les principes fondamentaux de la Geométrie et de la Mécanique.», Mém. de la Societé des Sciences de Bordeaux, t. III, 1er Cahier [1878].
  2. Cfr. R. BONOLA: «La trigonometria assoluta secondo Gioranni Bolyai.». Rend. Istituto Lombardo, (2), t. XXXVIII [1905].
  3. Cfr. ad es. le «Geometrische Untersuchungen» di Lobacefski, citate nel § 39.