La geometria non-euclidea/Capitolo IV/Giovanni Bolyai (1802-1860)

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Giovanni Bolyai (1802-1860)

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Capitolo IV - Nicola Ivanovic Lobacefski (1793-1856) Capitolo IV - La trigonometria assoluta

[p. 86 modifica] GIOVANNI Bolyai [1802-1860].


§ 46. Insieme a Lobacefski divide la gloria della scoperta della geometria non-euclidea l'ungherese G. Bolyai, figlio di WOLFGANG Bolyai [cfr. § 29], ufficiale nell'esercito austriaco. Fin da giovinetto egli mostrò una meravigliosa attitudine per le matematiche, in cui lo istruì lo stesso genitore. Le lezioni di WOLFGANG attirarono presto l'attenzione di GIOVANNI sull'assioma XI, alla cui dimostrazione volle poi accingersi, trascurando i consigli paterni, che miravano a distoglierlo da tale impresa. La teoria delle parallele formò così l'occupazione favorita del giovane matematico, durante il suo soggiorno [1817-22] alla R. Accademia del Genio in Vienna.

In quel tempo GIOVANNI ebbe relazioni di amicizia con CARLO SZÀSZ [1798-1853] e nelle conversazioni dei due valenti studiosi germogliarono alcune di quelle idee che condussero poi Bolyai a creare la «Scienza assoluta dello spazio». [p. 87 modifica]

Pare che al SZÀSZ si debba l'idea esplicita di considerare la parallela ad AM condotta per B come la posizione limite di una secante BC, che ruota intorno a B in un senso determinato; cioè di considerare BC parallela ad AM, quando BC, secondo una espressione di SZÀSZ, si stacca [abspringe] da AM. Bolyai chiamava questa parallela col nome di parallela asintotica o asintoto [cfr. Saccheri]. Nei colloqui dei due amici si presentarono il concetto di linea di equidistanza da una retta; l'altro importantissimo di paraciclo [oriciclo di Lobacefski] e si riconobbe che si sarebbe ottenuta la dimostrazione dell'assioma XI se si potesse stabilire che il paraciclo è una retta.

Avendo sul principio del 1821 lo SZÀSZ lasciato Vienna, per assumere l'insegnamento del Diritto al Collegio di Nagy-Enyed [Ungheria], GIOVANNI rimase solo a proseguire nelle sue speculazioni. Fino al 1820 egli fu dominato dall'idea di trovare una dimostrazione per 1'assioma XI, seguendo una via analoga a quella di Saccheri e Lambert. Anzi credè d'aver raggiunto lo scopo, come risulta dalla sua corrispondenza col padre.

Il riconoscimento degli errori commessi fu per GIOVANNI il passo decisivo verso le future scoperte, perchè s'accorse « [p. 88 modifica]che non bisogna fare nessuna violenza alla natura nè modellarla in conformità ad alcuna chimera ciecamente formata, ma si deve invece in modo ragionevole e naturale guardare la natura stessa con la verità ed accontentarsi della rappresentazione meno imperfetta possibile.».

GIOVANNI Bolyai si propose allora di costruire una teoria assoluta dello spazio, seguendo il metodo classico dei greci, cioè applicando il metodo deduttivo, senza però decidere a priori sulla validità o meno del V Postulato.


§ 47. Solo nel 1823 Bolyai penetrò la vera natura del suo problema: nel seguito non vi aggiunse che delle condizioni relative al materiale ed alla forma. Aveva scoperto in quel tempo la formula:


[vedi formula 88.png]

che lega l'angolo di parallelismo pi greco (a) al corrispondente segmento [cfr. Lobacefski, p. 80], relazione che è la chiave di tutta la trigonometria non-euclidea. Ad illustrare le scoperte di GIOVANNI in questo periodo riportiamo un brano della lettera che egli scrisse, da Temesvár, al padre il 3 novembre 1823.

«Sono ormai risoluto di pubblicare un'Opera sulla teoria delle parallele, appena avrò ordinato la materia e le circostanze me lo permetteranno. Non l'ho ancora fatto, ma la via che ho seguito ha certamente, per così dire, quasi raggiunto lo scopo; lo scopo proprio non è raggiunto, ma ho scoperto cose sì belle che ne sono rimasto abbaliato, e si dovrebbero sempre rimpiangere se andassero perdute. Quando le vedrete, lo riconoscerete voi pure. Nell'attesa non vi posso dire altro che questo: Ho dal nulla creato un nuovo universo. Tutto ciò che vi ho comunicato fino ad ora non è che un palazzo di carta di [p. 89 modifica]
fronte a questa torre. Sono tanto persuaso che questo mi farà onore come se ciò fosse già avvenuto.».

WOLFGANG espresse il desiderio di accogliere subito nel «Tentamen» la teoria del figlio, perchè «se la cosa è realmente riuscita è conveniente affrettarsi a renderla di pubblica ragione per due motivi, primo perchè le idee passano facilmente da uno in un altro, che in seguito le può pubblicare prima; in secondo luogo perchè c'è anche qualche verità in ciò, che parecchie cose hanno un'epoca, nella quale esse sono trovate allo stesso tempo in più luoghi, precisamente come in primavera le violette da ogni parte vengono alla luce; e poichè ogni lotta scientifica è solo una gran guerra, alla quale non so quando seguirà la pace, si deve, quando si può, vincere, poichè quì il vantaggio spetta al primo.».

WOLFGANG Bolyai era forse lontano dal supporre che il suo presentimento corrispondesse ad un fatto reale, cioè alla contemporanea scoperta della geometria non euclidea per opera di Gauss, Taurinus, Lobacefski.

Nel 1826 GIOVANNI comunicò il suo lavoro a J. WALTER von ECKWEHR [1789-1857], già suo professore all'Accademia militare e nel 1829 rimise il manoscritto al padre. WOLFGANG non fu molto soddisfatto, segnatamente perchè non riuscì a comprendere come mai nelle formule di GIOVANNI dovesse entrare una costante indeterminata. Nondimeno padre e figlio si intesero per pubblicare in appendice al primo volume del «Tentamen» la nuova teoria dello spazio.

Ecco il titolo dell'opera di GIOVANNI Bolyai: «Appendix scientiam spatii absolute veram exhibens: a veritate aut falsitate Axiomatis XI. Euclidei, a priori haud unquam decidenda, independentem: adjecta ad casum falsitatis quadratura circuli geometrica.»nota.

1 [p. 90 modifica]

L'appendice fu inviata una prima volta [giugno 1831] a Gauss senza che giungesse alla destinazione e una seconda volta nel gennaio del 1832. Sei settimane dopo [6 marzo 1832] Gauss così rispondeva a WOLFGANG:

«Se comincio col dire che non posso lodare questo lavoro [di GIOVANNI], tu certamente per un istante resterai meravigliato; ma non posso dire altra cosa, lodarlo sarebbe lodare me stesso; infatti tutto il contenuto dell'Opera, la via spianata da tuo figlio, i risultati ai quali egli fu condotto coincidono quasi interamente con le mie meditazioni, che hanno occupato in parte la mia mente da trenta a trentacinque anni a questa parte. Così rimasi pienamente stupefatto. In quanto al mio lavoro personale, del quale fin quì ho ben poco confidato alla carta, era mia intenzione di non lasciare che si pubblicasse nulla durante la mia vita. Infatti la maggioranza degli uomini non ha idee chiare sulle questioni di cui si parla, ed io ho trovato ben poche persone che prestassero uno speciale interesse a ciò che loro comunicai su tale soggetto. Per poter prendere questo interesse bisogna prima di tutto aver sentito molto vivamente ciò che manca essenzialmente, e su questa materia quasi tutti sono in una completa oscurità. Al contrario era mia idea di scrivere, col tempo, tutto ciò, perchè esso almeno non perisse con me. E adunque per me una gradevole sorpresa vedere che questa fatica può ora essermi risparmiata, e sono estremamente contento che sia proprio il figlio del mio vecchio amico, che mi abbia preceduto in modo così notevole». [p. 91 modifica]

WOLFGANG comunicò questa lettera al figlio aggiungendo: «La risposta di Gauss rispetto alla tua opera ridonda ad onore della nostra patria e della nostra nazione.».

Un effetto tutto diverso produsse su GIOVANNI la lettera di Gauss. Egli non poteva nè voleva convincersi che altri, prima ed indipendentemente da lui, fosse arrivato alla geometria non-euclidea. Sospettò ancora che il padre avesse comunicato a Gauss le sue scoperte prima d'inviargli l'«Appendix» e che questi volesse appropriarsi la priorità della scoperta. E benchè in seguito dovesse convincersi che un tale sospetto era infondato, GIOVANNI conservò sempre una ingiustificabile avversione per il sommo geometra2.


§ 48. Ecco un cenno dei più importanti risultati contenuti nell'opera di GIOVANNI Bolyai.

a) Definizione delle parallele e loro proprietà indipendenti dal postulato euclideo.

b) Cerchio e sfera di raggio infinito. La geometria sulla sfera di raggio infinito è identica all'ordinaria geometria piana.

c) La trigonometria sferica è indipendente dal postulato d'Euclide. Dimostrazione diretta delle formule.

d) Trigonometria piana nel caso non-euclideo. Applicazioni al calcolo delle aree e dei volumi.

e) Problemi risolubili elementarmente. Costruzione di un quadrato equivalente ad un cerchio, nell'ipotesi della falsità del V postulato. [p. 92 modifica]

Benchè Lobacefski abbia dato un maggiore sviluppo alla geometria immaginaria, specialmente al suo contenuto analitico, Bolyai ha trattato più profondamente la questione della dipendenza o meno delle proposizioni geometriche dal postulato euclideo. Dove Lobacefski mira principalmente a costruire un sistema geometrico sulla negazione del postulato in discorso, GIOVANNI Bolyai mette in evidenza le proposizioni e costruzioni che nell'ordinaria geometria non dipendono da quel postulato. Sifatte proposizioni, ch'egli chiama assolutamente vere, appartengono alla scienza assoluta dello spazio. La ricerca delle proposizioni di questa scienza potrebbe effettuarsi confrontando la geometria di Euclide con quella di Lobacefski. Tutto ciò che hanno di comune le due geometrie, ad es. le formule della trigonometria sferica, appartiene alla geometria assoluta. GIOVANNI Bolyai però non segue questa via: egli dimostra direttamente, cioè indipendentemente dal postulato euclideo, le sue proposizioni assolutamente vere.


§ 49. Un teorema assoluto di Bolyai, meraviglioso per semplicità ed eleganza, è il seguente:

In un triangolo rettilineo le circonferenze di raggio uguale ai lati stanno fra loro come i seni degli angoli opposti.

Sia ABC un triangolo rettangolo in C, e BB' la perpendicolare in B al piano del triangolo. Pei vertici A, C si traccino le rette AA', CC', parallele in un determinato verso a BB', [p. 93 modifica]poi per A si immagini descritta l'orisfera [eventualmente piana] che taglia ortogonalmente le rette AA', BB', CC' rispettivamente nei punti A, M, N. Se si denotano con a', b', c' i lati del triangolo rettangolo orisferico AMN, in forza di quanto altrove si disse [ad es. al § 48, (b,], si avrà:


sen AMN = b' : c'.


Ma sull' orisfera due archi d'oriciclo stanno fra loro come le circonferenze che hanno per raggi [oriciclici] quegli archi, talchè, indicando con cirf. x' la circonferenza di raggio oriciclico x', si potrà scrivere:


sen AMN = cirf. b' : cirf. c'.


D'altra parte, una circonferenza tracciata sull'orisfera con raggio oriciclico x', può riguardarsi come una circonferenza ordinaria, il cui raggio rettilineo x sia la metà della corda dell'arco oriciclico 2x'. Talchè, denotando [vedi simbolo 93.png] la circonferenza di raggio rettilineo x ed osservando che i due angoli ABC, AMN sono uguali, la precedente relazione assume la forma:


[vedi formula 93.png].


Dalla proprietà del triangolo rettangolo ABC, espresso con questa uguaglianza, si può dedurre l'enunciato teorema di Bolyai, nello stesso modo che dalla relazione euclidea:


sen ABC = b : c


si deduce la proporzionalità fra i lati d'un triangolo e i seni degli angoli opposti [Appendix, § 25]. [p. 94 modifica]



Il teorema di Bolyai si esprime poi brevemente così:


(1) [vedi formula 94_a.png].


Se ora volessimo specializzare il sistema geometrico, avremmo:

1°) nell'ip. euclidea:


[vedi formula 94_b.png]



e sostituendo in (1):


(1') a : b : c = sen alfa : sen beta : sen gamma


2°) nell' ip. non-euclidea [cfr. § 34]:

[vedi formula 94_c.png]

ed operando come sopra:

(1") Sh a/k : Sh b/k : Sh c/k = sen alfa : sen beta : sen gamma,


Quest'ultima relazione può riguardarsi come il teorema dei seni della geometria di Lobacefski-Bolyai.


Dalle (1), con procedimenti analoghi agli ordinari basati sulle (1'), Bolyai deduce la proporzionalità fra i seni degli angoli e i seni dei lati in un triangolo sferico. Da ciò risulta l'indipendenza della trigonometria sferica, dal postulato d'Euclide [Appendix, § 26]. Questo fatto mette ancor più in rilievo l'importanza del teorema di Bolyai. [p. 95 modifica]

§ 50. Appartiene pure alla geometria assoluta la seguente costruzione di una parallela per il punto D alla retta AN [Appendix, § 34].

Tracciate le rette DB ed AE perpendicolarmente ad AN, si cali da D la perpendicolare DE alla retta AE. L'angolo EDB del quadrilatero trirettangolo ABDE è retto od acuto, per cui ED è uguale o maggiore ad AB. Con centro A si descriva una circonferenza di raggio ED: essa intersecherà il segmento DB in un punto O, coincidente con B ovvero compreso fra B e D. La retta AO forma con DB un angolo AOB uguale all'angolo di parallelismo corrispondente al segmento BD3 [Appendix, § 27]. Si costruirà dunque per D [p. 96 modifica]una parallela ad AN tracciando la retta DM in modo che l'angolo BDM risulti uguale all' angolo AOB.


§ 51. Fra le costruzioni non-euclidee, date da Bolyai, è molto interessante la quadratura del cerchio. Senza attenerci strettamente al metodo di Bolyai, cerchiamo di porgere questa costruzione nelle sue linee generali.

Premettiamo la costruzione inversa a quella del § 50, necessaria pel nostro scopo.

Costruire, nell'ip. non-euclidea, il segmento corrispondente ad un dato angolo [acuto] di parallelismo.

Dato che il teorema sull'eventuale incidenza delle tre altezze di un triangolo è valido anche nella geometria di Lobacefski-Bolyai, sul lato AB, dell'angolo acuto BAA', [Fig. 43], si fissi un punto B tale che la parallela BB' alla retta AA' formi l'angolo B'BA acuto. Le due semirette AA'..., BB'... ed il segmento AB possono riguardarsi come lati d'un triangolo, di cui un vertice è il punto C infinito, comune alle due parallele AA', BB'. Allora, se dai vertici A e B si calano le perpendicolari AH, BK sui lati opposti, queste perpendicolari s'incontrano in un punto O, interno al triangolo, in


[p. 97 modifica]cui concorre anche la perpendicolare calata da C infinito su AB. Dunque, se da O si abbassa la perpendicolare OL su AB, verrà determinato il segmento AL, corrispondente all'angolo di parallelismo BAA'.



Come caso particolare l'angolo BAA' potrebbe essere di 45°: allora AL sarebbe la costante di Schweikart [Cfr. § 35 ].

Notiamo che il problema risolto potrebbe enunciarsi così: Costruire una retta parallela ad un lato di un angolo acuto e perpendicolare all'altro lato4.


§ 52. Ecco intanto come si utilizza il precedente risultato per costruire un quadrato di area uguale a quella del triangolo massimo.

L'area delta di un triangolo essendo:


k2 (pi greco – A – B – C),


pel triangolo massimo, cioè pel triangolo coi tre vertici all'infinito, avremo:

delta = k2 pi greco [p. 98 modifica]

Per determinare l'angolo omega di un quadrato di area k2 pi greco basta ricordare [Lambert, § 19] che anche l'area di un poligono, come quella del triangolo, è proporzionale alla relativa deficienza, per la qual cosa dovrà sussistere la relazione:


k2 pi greco = k2 (2 pi greco – 4 omega),


da cui:

omega = ¼ pi greco = 45°

Ciò posto consideriamo il triangolo rettangolo OAM, che è l'ottava parte del quadrato in discorso. Ponendo OM = a ed applicando la formula (2) di § 37, si ricava:

Ch a/k = cos ½ 45° : sen 45°,


od anche:

Ch a/k = sen ½ 135° : sen 45°.


Se ora si costruiscono, secondo il § 51, i due segmenti b', c', corrispondenti agli angoli di parallelismo ½ 135°, 45° e si rammenta che [§ 41, (6)]:


[vedi formula 98.png] [p. 99 modifica]

fra i tre segmenti a, b', c' verrà a sussistere la relazione:


Ch a/k CH b'/k = Chc'/k.


Finalmente se si assumono b', c' quali cateto, il primo, e ipotenusa, il secondo, di un triangolo rettangolo, l'altro cateto a' di siffatto triangolo, in forza della (1) di § 36, è determinato dall'equazione:


Ch a'/k Ch b'/k = Ch c'/k.

Paragonando questa uguaglianza con la precedente si ricava: a' = a. Costruito così a è immediatamente costruibile il quadrato d'area uguale a quella del triangolo massimo.


§ 53. Per costruire ora un cerchio d'area uguale a quella di questo quadrato o, ciò che fa lo stesso, a quella del triangolo massimo, è necessario trasformare l'espressione:


[vedi formula 99_a.png]

che dà l'area del cerchio di raggio r [cfr. § 38], introducendo l'angolo di parallelismo pi greco (r/2) corrispondente al semiraggio. Così facendo si ottienenota:

[vedi formula 99_b.png]r

[vedi figura 45.png] D'

5 [p. 100 modifica]altra parte, se dagli estremi del segmento AB = r si conducono le due parallele AA', BB', in modo che gli angoli ch'esse formano con AB siano uguali, sarà:


AA'B = B'BA = pi greco (r/2).


Calata ora la perpendicolare AC su BB' e la perpendicolare AD ad AC e posto:


CAB = alfa , DAA' = z,


si ha:

[vedi formula 100.png]


Utilizzando le formole trigonometriche nel triangolo ABC [p. 101 modifica]è facile eliminare alfa dall'ultimo membro della precedente relazione ed ottenere così6:


[vedi formula 101_a.png]

dalla quale, per mezzo dell'ultima espressione di [vedi simbolo 101.png]r si ottiene:


[vedi formula 101_b.png]


Questa formula, dimostrata per altra via da Bolyai [Appendix, § 43], permette di associare ad ogni cerchio un determinato angolo z. Se fosse z = 45° allora si avrebbe:


[vedi formula 101_c.png]

cioè: l'area del cerchio, il cui angolo z è 45°, è uguale all'area del triangolo massimo e perciò a quella del quadrato del § 52. [p. 102 modifica]

Dato z = A'AD [Fig. 45] si costruisce poi r tracciando: 1°) la retta AC perpendicolare ad AD; 2°) la retta BB' parallela ad AA' e perpendicolare ad AC [§ 51]; 3°) la bisettrice della striscia compresa fra AA', BB' [a mezzo del teorema sul punto d'incontro delle bisettrici in un triangolo con un vertice improprio]; 4°) la perpendicolare AB a questa bisettrice: il segmento AB, compreso fra AA' e BB', è il raggio r.


§ 54. Il problema di costruire poi un poligono equivalente ad un cerchio di area pi greco k2tg2z è, come nota Bolyai, legato intimamente al valore numerico di tg2z. Esso è risolubile per ogni valore intero di tg2z e per ogni valore frazionario, quando però il denominatore della frazione ridotta ai minimi termini cada sotto la forma assegnata da Gauss per l'iscrizione dei poligoni regolari [Appendix, § 43].

La possibilità di costruire un quadrato equivalente ad un cerchio conduce GIOVANNI a concludere: «habeturque aut Axioma XI. Euelidis verum, aut quadratura circuli geometrica; etsi hucusque indecisum manserit, quodnam ex his duobus revera locum habeat.».

L'indecisione così formulata gli parve in quell'epoca [1831] irresolubile imperocchè chiuse il suo scritto con queste parole: «Superesset denique, (ut res omni numero absolvatur), impossibilitatem (absque suppositione aliqua) decidendi, num sigma [sistema euclideo] aut aliquod (et quodnam) S [sistema non euclideo ] sit, demonstrare: quod tamen occasioni magis idoneae reservatur.».

GIOVANNI però non pubblicò mai sifatta dimostrazione.


§ 55. Dopo il 1831 Bolyai si occupò ancora della sua geometria ed in particolare dei seguenti problemi

1°) Connessione fra la trigonometria sferica e la trigometria non-euclidea.

2°) Si può rigorosamente dimostrare che l'assioma euclideo non è una conseguenza dei precedenti? [p. 103 modifica]

3°) Volume del tetraedro in geometria non euclidea.

Per quanto riguarda il primo di questi problemi, Bolyai, oltre rendersi conto della relazione analitica che lega le due trigonometrie [cfr. Lobacefski, § 41], riconobbe che nell'ipotesi non euclidea esistono tre tipi di superficie uniformi(99), su cui valgono rispettivamente la trigonometria non-euclidea, la trigonometria ordinaria, la trigonometria sferica. Sono del primo tipo le superficie piane ed ipersferiche [equidistanti da un piano], del secondo tipo le parasferiche [orisfere di Lobacefski], del terzo tipo le sfere. Dalle superficie ipersferiche si passa alle sferiche attraverso il caso limite delle parasfere. Questo passaggio si realizza analiticamente facendo variare con continuità, dal campo reale al campo immaginario puro, attraverso l'infinito, un certo parametro che comparisce nelle formule [cfr. Taurinus, p. 73].

Il secondo problema, quello relativo all'indimostrabilità dell'assioma XI, Bolyai non riuscì a risolverlo, nè a formarsi una esatta convinzione intorno ad esso. Per un certo tempo credè che non si potesse in alcun modo decidere quale, fra il caso euclideo e quello non euclideo, fosse il vero, appoggiandosi, come già Lobacefski, al valore analitico della nuova trigonometria. Poi si verificò in GIOVANNI un ritorno alle antiche idee, seguito da un nuovo tentativo per dimostrare l'assioma XI. In questo tentativo applica le formule non-euclidee ad un sistema di cinque punti completamente indipendenti. Fra le distanze di questi punti intercede necessariamente una relazione: ora, per un errore di calcolo, GIOVANNI non trovò questa relazione e per un certo tempo credè aver così dimostrata la falsità [p. 104 modifica]dell' ipotesi non-euclidea e l'assoluta verità dell'assioma XI7.

Però nel seguito s'accorse dell'errore, ma non procedè secondo questo indirizzo in ulteriori ricerche perchè il metodo, applicato ad un sistema di sei o più punti, lo avrebbe condotto a calcoli troppo lunghi.

Il terzo problema sopra indicato, relativo al tetraedro, è d'indole puramente geometrica. Le soluzioni di Bolyai furono ritrovate e messe in luce recentemente dallo Stäckel [cfr. nota 99]. Dello stesso problema si era occupato distesamente Lobacefski fin dal 18298, e Gauss, nella lettera in parte riportata a § 47, lo proponeva a GIOVANNI.

Aggiungeremo in fine che G. Bolyai, venuto a conoscenza [1848] delle «Geometrische Untersuchungen» di Lobacefski, se ne occupò con intendimento critico9, e che, per superare il geometra russo, si accinse a comporre una grande opera sulla riforma dei principi della matematica, concepita al tempo della pubblicazione dell'«Appendix», ma non riuscì a condurla a termine10.

  1. Ristampata in formato di Lusso, per cura dell'Accademia Ungherese di Scienze, nell'occasione del 1° centenario della nascita dell'autore. [Budapest, 1902]. Vedi la traduzione italiana di G. BATTAGLINI, nel t. VI del Giornale di Matematiche, p. 97-115 [1868 ].
  2. Per il contenuto di questo e del precedente § cfr.: Stäckel: «Die Entdeckung der nichteuklidischen Geometrie durch Johann Bolyai.», Math. und Naturw. Berichte aus Ungarn, t. XVII, [1901]; Stäckel ed Engel: «Gauss die beiden Bolyai and die nichteuklidische Geometrie.» Math. Ann. t. IL, p. 149-167, [1897]; Bull. Sc. Math., (2), t. XXI, p. 206-228.
  3. Ecco rapidamente come Bolyai dimostra questa proposizione. Le circonferenze AB, ED, generate dai punti B, D nella loro rotazione intorno alla retta AE, possono considerarsi come appartenenti la prima al piano perpendicolare in A all'asse AE, la seconda ad una superficie equidistante da questo piano. L'equidistanza fra superficie e piano è data dal segmento d = BD. Il rapporto fra le due circonferenze in discorso risulta perciò funzione soltanto di d. Questo rapporto può anche esprimersi ricorrendo al teorema di Bolyai [§ 49], il quale, applicato ai due triangoli rettangoli ADE, ADB, conduce alla relazione: [vedi formula 95.png] Da ciò si vede che il rapporto sen u : sen v non varia se, tenuto fisso d, la retta AE si sposta mantenendosi perpendicolare a BD. In particolare se il piede di AE tende all'infinito su AN, u tende a pi greco(d) e v ad un angolo retto. Conseguentemente: [vedi formula 96_a.png] D'altra parte, nel triangolo rettangolo AOB, vale la relazione: [vedi formula 96_b.png] la quale, insieme alla precedente, conduce a stabilire l'uguaglianza dei due angoli Pi greco (d) e AOB, c. d. d.
  4. La soluzione di Bolyai [Appendix, §. 35] è però più complicata.
  5. Infatti, per le proprietà delle funzioni iperboliche si ha: [vedi formula 99_c.png] e per le proprietà dell' angolo di parallelismo [cfr. § 41]: [vedi formula 100_b.png]
  6. Infatti, nel triangolo rettangolo ABC, si ha: ctg pi greco (r/k) ctg alfa = Ch r/k, da cui, essendo Ch r/k = 2 Sh2 r/2k + 1 = 2 ctg2 pi greco (r/2) + 1, si deduce: ctg pi greco (r/2) ctg alfa = 2 ctg2 pi greco (r/2) + 1, e successivamente: ctg alfa - ctg pi greco (r/2) = 1 + tg2 pi greco (r/2). Queste due relazioni permettono di scrivere l'espressione di tg z nel modo richiesto.
  7. Ecco il titolo dello scritto in cui GIOVANNI si proponeva di esporre questa dimostrazione: «Beweis des bis nun auf der Erde immer noch zweifelhaft gewesenen, weltberühmten und, als der gesammten Raum-und Bewegungslehre zum Grunde dienend, auch in der That allerhöchstwichtigsten 11. Euklid'schen Axioms. Von J. Bolyai von Bolya, k. k. Génie-Stabshauptmann in Pension.». Vedi in proposito lo scritto di P. Stäckel: «Untersuchungen aus der Absoluten Geometrie aus Johann Bolyai's Nachlass.» Math. u. Naturw. Berichte aus Ungarn, t. XXIII, p. 280-307 [1902]. A questa scritto rimandiamo per tutto il contenuto del § 55.
  8. Vedi p. 53 e succ. dell'op. citata nella nota 77.
  9. Cfr. P. Stäckel und J. KÜRSCHÁK: Johann Bolyai's Bemerkungen ueber N. Lobatschewskij's Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien.», Math. u. Naturw. Berichte aus Ungarn, t. XVIII, p. 250-279 [1902].
  10. Cfr. P. Stäckel: «Johann Bolyai's Raumlehre.». Math. u. Naturw. Berichte aus Ungarn, t. XIX [1903].