La geometria non-euclidea/Nota I/La statica non-euclidea

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La statica non-euclidea

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Nota I - Sulla composizione delle forze concorrenti Nota I - Deduzione statica della trigonometria piana

[p. 184 modifica] La statica non euclidea.


§ 9. Dimostrato così che la legge analitica per la composizione delle forze concorrenti non dipende dal V postulato di Euclide, passiamo a dedurre la legge secondo cui si compongono le forze perpendicolari ad una retta.




Siano A ed A' i punti di applicazione delle due forze P1, P2, d'intensità P; sia C il punto di mezzo del segmento AA' e B [p. 185 modifica]un punto della perpendicolare CB ad AA'. Congiunto A con B e posto:


beta = ABC, alfa = BAC


è chiaro che la forza P1 potrà riguardarsi come la componente d'una forza T1, applicata in A e diretta secondo BA. L'intensità T di questa forza è data da:


P T = —————————.

sen alfa


L'altra componente Q1 di T1, diretta normalmente a P1, ha per intensità:


Q = T . cos alfa = P . ctg alfa.


Ripetendo le stesse considerazioni sulla forza P2 otterremo sul piano i seguenti sistemi di forze:


1°) sistema P1, P2;


2°) sistema P1, P2, Q1, Q2;

3°) sistema T1, T2.


Ammettendo di potere trasportare il punto di applicazione di una forza lungo la sua linea di azione è chiaro che i due primi sistemi risultano equivalenti, e poichè il 2° è equivalente al 3° potremo sostituire le due forze P1, P2 con le due altre T1, T2. Le quali ultime, potendo trasportarsi, lungo la loro linea d'azione, in B, si comporranno nell'unica forza:




cos beta R = 2T . cos beta = 2P . ——————————,

sen alfa


trasportabile alla sua volta in :C, mantenendone fissa la direzione perpendicolare ad AA'. [p. 186 modifica]

Il risultato sopra ottenuto, la cui indipendenza dal postulato di Euclide è manifesta, può applicarsi ai tre tipi di geometria.


GEOMETRIA DI Euclide. Nel triangolo ABC, si ha:


cos beta = sen alfa.


Segue:


R = 2 P.


GEOMETRIA DI Lobacefski-Bolyai. Nel triangolo ABC, denotando con 2b il segmento AA', si ha [§ 57]:


cos beta ————————— = Ch b/k sen alfa


Segue:

R = 2 P . Ch b/k


GEOMETRIA DI RIEMANN. Sempre nello stesso triangolo si ha:


cos beta ————————— = cos b/k sen alfa


per cui:


R = 2 P . cos b/k


CONCLUSIONE. Nel solo spazio euclideo l'intensità della risultante di due forze uguali e perpendicolari ad una retta è uguale alla somma delle intensità delle due forze date. Negli spazi non-euclidei la risultante dipende, nel modo sopra indicato, dalla distanza dei punti d'applicazione delle due componenti1. [p. 187 modifica]

§ 10. Il caso di due forze disuguali P, Q, perpendicolari ad una stessa retta, si tratta in modo analogo al precedente. Nella geometria euclidea si perverrebbe alle note relazioni:

R = P + Q,


 R

— — — — — — = P/q = Q/p; p + q


nella geometria di Lobacefski-Bolyai, il problema della risultante condurrebbe alle formule seguenti:

R = P . Ch p/k + Q . Ch q/k, [vedi formula 187_a.png]


dalle quali, con la solita sostituzione delle funzioni circolari alle iperboliche, si passa immediatamente alle corrispondenti della geometria riemanniana:


R = P . cos p/k + Q. cos q/k, [vedi formula 187_b.png]


In queste formule p, q indicano le distanze dei punti di applicazione di P e Q da quello di R.

Questi risultati possono raccogliersi sotto un’unica forma, valida per la geometria assoluta.


R = P . Ep + Q.Eq,


[vedi formula 187_c.png]R



Per dedurli direttamente bastava far uso, nei ragionamenti sopra accennati, della trigonometria assoluta, in luogo di quella euclidea e non-euclidea.

  1. Per ulteriori sviluppi di statica non euclidea rimandiamo il lettore agli autori seguenti. J. M. De Tilly: «Études de Mécanique abstraite», Mém. Couronnés et autres mém., t. XXI [1870] — J. ANDRADE: «La Statique et les Géométries de Lobatchewsky, d'Euclide et de Riemann.», Nota II dell' Op. citata nella nota 160.