La geometria non-euclidea/Nota I/Sulla composizione delle forze concorrenti
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SULLA COMPOSIZIONE DELLE FORZE CONCORRENTI.
§ 4. Anche l'altro principio fondamentale della statica, cioè la legge del parallelogramma delle forze, nell'usuale interpretazione geometrica che ad esso si accompagna, è in stretta connessione con la natura euclidea dello spazio. Tuttavia se si esamina la parte essenziale di detto principio, vale a dire l’espressione analitica della risultante [R] di due forze [P] uguali e concorrenti, è facile stabilire ch'esso sussiste indipendentemente da qualunque ipotesi sulle parallele. Ciò può mettersi in evidenza deducendo la formula
R = 2P. cos alfa,
ove 2alfa è l'angolo formato dalle due forze concorrenti, dai seguenti principi.
1. Due o più forze applicate ad uno stesso punto ammettono una determinata risultante.
2. La risultante di due forze uguali e contrarie è nulla.
3. La risultante di due o più forze applicate ad uno stesso punto ed aventi la stessa linea d'azione ha per intensità la somma delle intensità delle forze date, ha lo stesso punto di applicazione e linea d'azione.
4. La risultante di due forze uguali applicate ad uno stesso punto è diretta secondo la bisettrice dell'angolo formato dalle due forze.
5. L'intensità della risultante è funzione continua della intensità delle componenti.
Vediamo rapidamente come possa ottenersi lo scopo. Il valore [R] della risultante di due forze d'uguale intensità [P], formanti fra loro l'angolo 2alfa, è funzione solo di P e di alfa, talchè potremo scrivere:
R = 2 ƒ(P, alfa).
Una prima applicazione degli enumerati principi conduce a stabilire la proporzionalità fra R e P, e ciò indipendentemente da qualsiasi ipotesi sulle parallele [cfr. la nota 168]: allora la precedente relazione può scriversi più semplicemente così:
R = 2 P. ƒ(alfa).
Si tratta di assegnare la forma di ƒ(alfa).
§ 5. Calcoliamo ƒ(alfa) per alcuni particolari valori dell'argomento.
1°) Sia alfa = 45°.
Nel punto O, in cui concorrono le due forze P1,P2, d'uguale intensità P, immaginiamo applicate due forze uguali e contrarie, 
perpendicolari ad R e d'intensità ½ R. Nello stesso tempo immaginiamo decomposta R in due altre, dirette secondo R e d'intensità ½ R: potremo allora riguardare ciascuna P come la risultante di due forze ad angolo retto, d'intensità ½ R. Avremo allora:
P = 2 ½ R. ƒ (45°).
D'altra parte, essendo R la risultante di P1 e P2, sarà
R = 2P. ƒ(45°).
Da queste due relazioni si ricava:
ƒ (45°) = ½ radice di 2.
2°) Sia alfa = 60°
Allora in O e in direzione opposta ad R, applichiamo una forza R', 
d'intensità R.
Il sistema formato dalle due forze P e dalla R' è un sistema in equilibrio. Allora, per la simmetria della figura, risulta R' = P, quindi R = P. D'altra parte, essendo
R = 2P. ƒ(60°),
avremo:
ƒ(60°) = ½.
3°) Sia alfa = 36°. [vedi figura 59.png]
Se in O si applicano 5 forze P1, P2, P3, P4, P5, d'intensità P e tali che ciascuna di esse formi con la successiva un angolo di 72°, si ottiene un sistema in equilibrio. Per la risultante R di P2, P3 avremo allora;
R = 2P . ƒ(36°);
per la risultante R' di P1, P4, avremo invece:
R' = 2 P. ƒ (72°). 
D'altra parte R' ha la stessa direzione di P5, cioè direzione uguale e contraria a quella di R, per cui:
2 P. ƒ (36°) = 2 P. ƒ (72°) + P,
quindi:
(1) ƒ (36°) = 2 ƒ (72°) + 1.
Se invece componiamo P1 con P2, e P3 con P4 otteniamo due forze d'intensità 2 P. ƒ (36°), formanti fra loro un angolo di 144°: componendo le due forze ottenute ricaveremo una nuova forza R", d'intensità:
4 P. ƒ (36°). ƒ (72°).
Ma R" per la simmetria della figura, ha la stessa direzione di P5 e senso contrario; perciò, dovendo sussistere l'equilibrio, potremo scrivere:
P = 4 P. ƒ (36°). ƒ (72°),
ovvero:
(2) 1 = 4ƒ (36°). ƒ (72°).
Dalle relazioni (1) e (2), risolvendo rispetto ad ƒ (36°) ed ƒ (72°), si ricava:
[vedi formula 179.png]
§ 6. Con procedimenti analoghi a quelli del precedente si potrebbero dedurre altri valori per ƒ (alfa). Arre standoci però a quelli calcolati e mettendoli a confronto coi corrispondenti valori della funzione cos alfa otteniamo il seguente specchietto:
[vedi formula 180.png]cos 0° =
Lo specchietto ci fa prevedere l'identità delle due funzioni, ƒ(alfa) e cos alfa. Per avere un'ulteriore conferma di questo fatto determiniamo l'equazione funzionale a cui soddisfa ƒ (alfa).
Perciò immaginiamo applicate in un punto O quattro forze P1, P2, P3, P4, 
d'intensità P e formanti fra loro i seguenti angoli:
P1P2 = P3P4 = 2beta,
P2P3 = 2 (alfa – beta),
P1P4 = 2 (alfa + beta).
Determineremo la risultante R di queste 4 forze procedendo in due modi diversi.
Se componiamo P1 con P2 e P3 con P4, otteniamo due forze R1, R2, d'intensità:
2 P. ƒ (beta)
formanti fra loro l'angolo 2alfa. Componendo R1 ed R2 in un'unica forza R, otterremo:
R = 4 P. ƒ (alfa). ƒ (beta),
D'altra parte, componendo P1 con P4 e P2 con P3 si ottengono due risultanti parziali, aventi entrambe la direzione di R e rispettivamente le intensità:
2 P. ƒ (alfa + beta) , 2 P. ƒ (alfa – beta)
Queste due forze si compongono per somma e danno:
R = 2 P. (ƒ (alfa + beta) + ƒ (alfa – beta).
Dal paragone dei due valori di R si deduce:
(1) 2 ƒ (alfa). ƒ (beta) = ƒ (alfa + beta) + ƒ (alfa – beta)
cioè l'equazione funzionale richiesta.
Se ora ricordiamo che:
cos (alfa + beta) + cos (alfa – beta) = 2 cos alfa . cos beta,
e teniamo presente l'identità fra i valori di ƒ (alfa) e cos alfa, dati dalla precedente tabella, e l'ipotesi della continuità di ƒ (alfa), senza ulteriori sviluppi potremo scrivere:
ƒ (alfa) = cos alfa,
e conseguentemente:
R = 2 P. cos alfa.
La validità di questa formula dello spazio euclideo, viene così estesa anche agli spazi non-euclidei.
§ 7. La legge di composizione di due forze uguali e concorrenti permette di risolvere il problema generale della risultante, perchè si possono assegnare, 
senza ulteriori ipotesi, le componenti d'una forza R su due assi ortogonali uscenti dal suo punto di applicazione O.
Infatti siano x, y questi assi ed alfa, beta gli angoli che formano con R. Se per O si traccia la perpendicolare ad OR, essa forma con x l'angolo alfa, e con y l'angolo beta. Su questa retta ed uscenti da O, si immaginino due forze P1, P2 uguali e contrarie, d'intensità ½ R e si decomponga R in due forze P = ½ R, dirette entrambe secondo R. Il sistema P1, P2 P, P ha per risultante R.
Ora, componiamo P1 e P, poi P2 e P: otteniamo due forze X, Y, l'una diretta secondo x, l'altra secondo y, d'intensità:
X = R.cos alfa,
Y = R.cos beta.
Queste due forze sono le componenti di R nei due assi assegnati. Per quanto si riferisce alla loro intensità esse coincidono con quelle che si incontrano nell'ordinaria teoria fondata sul principio del parallelogramma delle forze; ma i segmenti OX ed OY che le rappresentano su gli assi non sono necessariamente, come nel caso euclideo, le proiezioni di R. Infatti, è facile vedere che ove i detti segmenti fossero le proiezioni ortogonali di R su x ed y, varrebbe nel piano l'ipotesi euclidea.
§ 8. Il metodo funzionale usato al § 6, nella composizione delle forze concorrenti, risale in sostanza a D. DE Foncenex [1734-1799]. Con un procedimento analogo a quello che ci condusse all'equazione cui soddisfa la ƒ (alfa) [= y], Foncenex pervenne all'equazione differenziale1:
[vedi formula 183_a.png]
dalla quale, integrando e tenendo conto delle condizioni iniziali del problema, ricavò la nota espressione di ƒ (alfa).
L'applicazione dei principi del calcolo infinitesimale richiede però la continuità e derivabilità di ƒ (alfa), condizioni, osserva Foncenex, insite nella stessa natura [fisica] del problema: ma volendo prevenire « jusqu'aux difficultés les moins fondées» egli ricorre al calcolo delle differenze finite e ad un equazioni alle differenze, che gli permette di ottenere ƒ (alfa) per tutti i valori di alfa commensurabili con pi greco. Il caso degli alfa incommensurabili con pi greco si tratta «par une méthode familière au Géomètres et frequent surtont dans les ecrits des Anciens», vale a dire col metodo d'esaustione2.
Tutto il procedimento di Foncenex, e così quello svolto al § 6, è indipendente dal postulato d'Euclide: tuttavia va notato che Foncenex non aveva lo scopo di liberare la legge di composizione delle forze concorrenti dalla teoria delle parallele, ma piuttosto, quello di dimostrare la legge in discorso, ritenendo forse, come altri geometri [D. Bernoulli , D'ALEMBERT], ch'essa fosse una verità indipendente da qualsiasi esperienza.
- ↑ L'equazione potrebbe ottenersi dalla (1) di § 6, nel modo seguente. Posto beta = d alfa e supponendo ƒ (alfa) sviluppabile in serie di TAYLOR per ogni valore di alfa, si ricava: [vedi formula 183_b.png] Uguagliando i coefficienti di d alfa e ponendo y = ƒ (alfa) e k2 = – ƒ (o), si ottiene: [vedi formula 183_c.png] c.d.d.
- ↑ Cfr. Foncenex: «Sur les principes fondamentaux de la Mechanique.»; Miscellanea Taurinensia, t. II, p. 305-315, [1760-61]. I ragionamenti di Foncenex sono riprodotti e illustrati da A. GENOCCHI, nello scritto: «Sur un Mémoire de Daviet de Foncenex et sur les géométries non euclidiennes.»; Torino, Memorie, (2), t. XXIX, p. 366-71, [1877].